Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 12

404001 - Tín hiꢀu và hꢀ thꢁng

Lecture-12

Phân tích tín hiꢀu liên tꢁc dùng biꢂn

ñꢃi Laplace

ꢀ Biꢂn ñꢃi Laplace và các tính chꢄt

ꢀ Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Sơ ñꢈ khꢁi và thꢉc hiꢀn hꢀ thꢁng

ꢀ ꢀng dꢁng trong hꢂi tiꢃp và ñiꢄu khiꢅn

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Ví dꢀ: xét hꢁ thꢂng LTIC có phương trình:

(D²+5D + 6)y(t) = (D +1) f (t)

1

y(0⁻) = 2; y^,(0⁻) =1; f (t) = e^−4tu(t)

⇒ F(s) =

s + 4

Lꢃy biꢄn ñꢅi Laplace hai vꢄ:

2

s Y(s) − sy(0 ) − y (0 ) +5 sY(s) − y(0 ) + 6Y(s) = sF(s) − f (0 ) + F(s)

−

,

−









⇒ (s²+5s + 6)Y(s) − 2s −11= (s +1)F(s)

2s +11 (s +1)

(s²+ 5s + 6) (s²+5s +6)

13

3

2

=

F(s)

−

s + 2 s +3 s + 4

−

⇒ Y(s) =

+

y(t) = ¹₂³e^−2t−3e^−3t− ₂³e^−4tu(t)

(

)

Zero-input

Zero-state

ꢁ Biꢄn ñꢅi Laplace cho phép xác ñꢆnh cꢇ zero-input & zero-state

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Xét hꢁ thꢂng LTIC có phương trình:

Q(D)y(t) = P(D) f (t)

Q(D) = Dⁿ+ a_n−1Dⁿ⁻¹+...+ a₁D + a₀

P(D) = b_mD^m+b_m−1D^m−1+...+b D +b₀

1

y(0⁻) = y'(0⁻) = ... = y⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁻) = 0

ꢂ Ta cꢈn tính ñáp ꢉng zero-state, nên:

Q(s)Y(s) = P(s)F(s)

ꢂ Lꢃy biꢄn ñꢅi Laplace 2 vꢄ ta có:

Y (s) = H (s)F (s)

⇒

P(s) b_ms^m+b_m−1s^m−1+...+b s +b₀

1

Hàm truyền

của hệ thống

H(s) =

=

Q(s)

sⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+...+ a₁s + a₀

F (s)

H (s)

Y (s)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Xác ñꢆnh ñưꢊc hàm truyꢋn H(s) cꢌa hꢁ thꢂng cho phép:

ꢂ Tính ñáp ꢉng zero-state vꢍi tín hiꢁu vào bꢃt kỳ

ꢂ Khꢇo sát tính ꢅn ñꢆnh cꢌa hꢁ thꢂng

ꢂ Thꢎc hiꢁn hꢁ thꢂng

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Xác ñꢆnh hàm truyꢋn cꢌa hꢁ thꢂng

ꢂ Ví dꢀ 1:

x: chiꢋu cao mꢏt ñưꢐng, y: chiꢋu cao xe

d²y(t)

dt²

dy(t)

dx(t)

∴ m

+ b

+ ky(t) = b

+ kx

dt

2

k

⇔ D + ^bD + ^ky(t) = _m^bD + _mx(t)

(

)

(

)

m

b

_ms +

k

m

X (s)

Y(s)

b

_ms +

k

m

⇒ H (s) =

2

s + s +

b

k

m

2

s + s +

b

k

m

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢂ Ví dꢀ 2:

1H

y(t)

∴ (D²+ 4D +3)y(t) = Df (t)

4Ω

1

3

+

-

s

f (t)

F

⇒ H(s) =

s²+ 4s + 3

ꢁ Vꢍi hꢁ thꢂng là mꢑch ñiꢁn ta có thꢒ ñưa biꢄn ñꢅi Laplace vào mꢑch

và giꢇi mꢑch trꢎc tiꢄp như là mꢑch thuꢈn trꢓ

• Trꢓ R: v_R(t) = Ri_R(t) ⇒V_R(s) = RI_R(s)

dv_c(t)

dt

1

⇒ I (s) = CsV (s)

i (t) = C

⇒V_C(s) =

I_C(s)

• ðiꢁn dung C:

• ðiꢁn cꢇm L:

C

Cs

di_L(t)

dt

⇒V_L(s) = LsI_L(s)

v_L(t) = L

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

n

i (t) = 0

I (s) = 0

• KCL:

• KVL:

⇒

∑

j

∑

j

j=1

n

v (t) = 0

V (s) = 0

∑

j

j=1

ꢂ Ví dꢀ 3:

y(t)

1H

s

Y(s)

4

4Ω

1

+

f (t)

F

-

F(s)

3/ s

3

s

∴H(s) =

s²+ 4s + 3

F(s)

Y(s)

s²+ 4s + 3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢂ Ví dꢀ 4: Bꢔ khuꢄch ñꢑi

R

−

+

F(s)

Y(s)

k

+

−

+

F(s)

Y(s)

−

∴H(s) = − ^R= k

f

R

ꢂ Ví dꢀ 5: Bꢔ tích phân

1/Cs

R

k

s

−

F(s)

Y(s)

+

−

+

−

+

F(s)

Y(s)

−1/ RC

s

k

s

1

∴H(s) = − _RCs

=

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢂ Ví dꢀ 6: Hꢁ thꢂng bꢕc 1

R_f

ka

s + a

R

1/Cs

F(s)

Y(s)

−

+

−

+

−

F(s)

Y(s)

R _f

k = − ; a =

1

R _fC

R

R_f

1/Cs

k ( s+a )

( s+b)

F(s)

Y(s)

1/C_fs

−

+

R

+

−

+

F(s)

C

1

C

1

Y(s)

k = − ; a =

;b =

RC

C

R _f

f

−

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Xác ñꢆnh ñáp ꢉng zero-state cꢌa hꢁ thꢂng

Ví dꢀ: Xét hꢁ thꢂng cơ hꢗc sau

b

_ms +

k

m

X (s)

Y(s)

2

s + s +

b

m

k

m

3s + 2

s ²+ 3s + 2

Giꢇ sꢖ cho m=1, k=2, b=3 ꢃ

Giꢇ sꢖ x(t)=u(t) ꢃ X ( s ) =

H (s ) =

1

s

3 s + 2

s s ²+ 3 s + 2

⇒ Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) =

(

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

)

5

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

1

2

⇔ Y ( s ) =

+

−

s + 1 s + 2

s

⇒ y (t ) = 1 − e ^{− t}− 2 e ^{− 2 t}u (t )

(

)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

2 s + 5

H ( s ) =

Nꢄu chꢗn m=1, k=5, b=2 ꢃ

s ²+ 2 s + 5

1

2 s + 5

s ²+ 2 s + 5

  







⇒ Y ( s ) = X ( s ) H (s ) =

  

s

  

− t − t

∴ y (t ) = 1 − e co s(2t ) + e s in 2t u (t )

1

2





( )_



Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Giá trꢆ bꢘt ñꢈu và kꢄt thúc cꢌa ñáp ꢉng

y (0 ⁺) = lim sY ( s )

s → ∞

lim y (t ) = lim sY ( s )

t → ∞

s → 0

3 s + 2

s s ²+ 3s + 2

E x : Y ( s ) =

(

)

3s + 2

s s ²+ 3 s + 2

y (0 ⁺) = lim s

= 0

s → ∞

(

)

3s + 2

s s ²+ 3 s + 2

lim y (t ) = lim s

= 1

t → ∞

s → 0

(

)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Khꢇo sát tính ꢅn ñꢆnh cꢌa hꢁ thꢂng

ꢂ Các poles cꢌa hàm truyꢋn H(s) chính là các modes ñꢏc trưng (xem

lꢑi chương 2) nên tính ꢅn ñꢆnh cꢌa hꢁ thꢂng tùy thuꢔc vào vꢆ trí cꢌa

các poles trong mꢏt phꢙng phꢉc

ꢂ Hꢁ thꢂng ꢅn ñꢆnh tiꢁm cꢕn nꢄu: các poles nꢚm ꢓ LHP

ꢂ Hꢁ thꢂng ꢅn ñꢆnh biên nꢄu: không có pole nào ꢓ RHP và có poles

ñơn trên trꢀc ꢇo

ꢂ Hꢁ thꢂng không ꢅn ñꢆnh nꢄu có

mꢔt trong 2 ðK: có pole ꢓ RHP hoꢏc

có pole lꢏp trên trꢀc ꢇo.

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7

Sơ ñꢈ khꢁi và thꢉc hiꢀn hꢀ thꢁng

ꢀ Sơ ñꢛ khꢂi hꢁ thꢂng

ꢀ Thꢎc hiꢁn hꢁ thꢂng

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Sơ ñꢈ khꢁi hꢀ thꢁng

ꢀ Ghép Cascade:

F(s)

W (s)

Y(s)

F(s)

Y(s)

H₁(s)

H₂(s)

H₁(s)H₂(s)

=

ꢀ Ghép Parallel:

H₁(s)

F(s)

Y(s)

F(s)

Y(s)

∑

H₁(s) + H₂(s)

H₂(s)

ꢀ Ghép Feedback:

E(s)

F(s)

Y(s)

G(s)

∑

F(s)

Y(s)

G(s)

=

1+G(s)H (s)

H(s)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8

Thꢉc hiꢀn hꢀ thꢁng

ꢀ Xét hꢁ thꢂng vꢍi:

b_ms^m+b_m−1s^m−1+...+b s +b₀

sⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+...+ a₁s + a₀

1

H(s) =

ꢀ Ta có thꢒ thꢎc hiꢁn hꢁ thꢂng theo 3 cách khác nhau:

ꢂ Dꢑng trꢎc tiꢄp

ꢂ Dꢑng nꢂi tiꢄp

ꢂ Dꢑng song song

ꢁ Dꢎa trên cơ sꢓ bꢔ tích phân hoꢏc vi phân + khuꢄch ñꢑi & bꢔ cꢔng

ꢁ Thꢎc tꢄ không dùng bꢔ vi phân ꢃ không ꢅn ñꢆnh!!!

ꢀ Nꢄu m>n ꢃ H(s) là bꢔ vi phân bꢕc m-n ꢃ không xét trên thꢎc tꢄ!!!

ꢀ Bài toán tꢅng quát trên thꢎc tꢄ m≤n – tꢅng quát m=n:

b_nsⁿ+b_n−1sⁿ⁻¹+...+b s +b₀

sⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+...+ a₁s + a₀

1

H(s) =

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Dꢊng trꢉc tiꢂp

b₃s³+b₂s²+b s +b₀

s³+ a₂s²+ a₁s + a₀

1

ꢀ Xét trưꢐng hꢊp ñơn giꢇn:

H(s) =

F(s)

b₃s³+b₂s²+b s+b₀

Y(s)

1

s³+a₂s²+a₁s+a₀

F(s)

X (s)

Y(s)

1

3

b s +b s +bs +b

2

s³+a₂s²+a₁s+a₀

3

2

1

0

H₁(s)

H₂(s)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9

Dꢊng trꢉc tiꢂp

H₁(s) =

1

H₂(s) = b₃s³+ b₂s²+b s +b₀

s³+ a₂s²+ a₁s + a₀

1

s³X (s)

F(s)

b₃

Y(s)

∑

-

∑

-

1

s

a₂

b₂

s²X (s)

1

s

a₁

b₁

sX(s)

1

s

X(s)

a₀

b₀

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Dꢊng trꢉc tiꢂp

b_nsⁿ+b_n−1sⁿ⁻¹+...+b s +b₀

sⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+...+ a₁s + a₀

1

ꢀ Tꢅng quát cho H(s) bꢕc n:

H(s) =

sⁿX(s)

F(s)

b_n

Y(s)

∑

- -

∑

-

1

s

b_{n −1}

a_{n −1}

s

ⁿ⁻¹X(s)

1

s

a_{n − k}

b_{n − k}

s^n−kX(s)

1

s

sX(s)

X(s)

a₁

b₁

b₀

1

s

a₀

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10

Dꢊng trꢉc tiꢂp

ꢀ Ví dꢀ: Vꢜ sơ ñꢛ thꢎc hiꢁn hꢁ thꢂng sau

5

s + 5

s + 7

a)

c)

b)

s + 2

4s + 28

s²+ 6s + 5

s

d )

s + 7

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Thꢉc hiꢀn theo dꢊng nꢁi tiꢂp và song song

ꢀ Thꢎc hiꢁn H(s) có các poles thꢎc ñơn:

4s + 28

Ví dꢀ: xét hꢁ thꢂng sau:

H (s) =

s²+ 6s + 5

4s + 28

1







 

 





⇒ H (s) =



s + 1

s + 5

 

F(s)

Y(s)

1

s + 5

4 s + 28

s+1

ꢂ Dꢑng nꢂi tiꢄp:

6

2

⇒ H (s) =

−

s + 1 s + 5

6

s + 1

+

F(s)

Y(s)

ꢂ Dꢑng song song:

∑

−

2

s + 5

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11

Thꢉc hiꢀn theo dꢊng nꢁi tiꢂp và song song

ꢀ Thꢎc hiꢁn H(s) có nghiꢁm lꢏp lꢑi:

7s²+ 37s + 51

(s + 2)(s + 3)²

Ví dꢀ: xét hꢁ thꢂng sau:

H (s) =

5

2

3

⇒ H (s) =

+

−

s + 2 s + 3 (s + 3)²

5

+

s + 2

F(s)

+

Y(s)

2

∑

−

1

3

s + 3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Thꢉc hiꢀn theo dꢊng nꢁi tiꢂp và song song

ꢀ Thꢎc hiꢁn H(s) có các cꢎc liên hiꢁp phꢉc:

10s + 50

Ví dꢀ: xét hꢁ thꢂng sau:

H (s) =

(s + 3)(s²+ 4s + 13)

2

1 + j2

1 − j2

Không

thꢎc

hiꢁn

⇒ H (s) =

⇔ H (s) =

−

s + 3 s + 2 − j3 s + 2 + j3

−

2

2s − 8

ñưꢊc

−

s + 3 s²+ 4s + 13

2

s + 3

+

F(s)

Y(s)

∑

−

Thꢎc hiꢁn theo dꢑng trꢎc tiꢄp

Thꢎc hiꢁn nhꢐ hꢁ thꢂng bꢕc 2

2 s−8

s²+4s+13

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

12

Thꢉc hiꢀn hꢀ thꢁng dùng Op-amp

2s +5

s²+ 4s +10

Ex : H(s) =

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

13

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 12 - Trần Quang Việt