Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 14

404001 - Tín hiꢀu và hꢀ thꢁng

Lecture-14

Phân tích tín hiꢀu liên tꢁc dùng biꢂn

ñꢃi Laplace

ꢀ Biꢂn ñꢃi Laplace và các tính chꢄt

ꢀ Hàm truyꢅn và ñáp ꢆng cꢇa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Sơ ñꢈ khꢁi và thꢉc hiꢀn hꢀ thꢁng

ꢀ ꢊng dꢋng trong hꢈi tiꢂp và ñiꢅu khiꢌn

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ꢊng dꢋng trong ñiꢅu khiꢌn

ꢀ Phân tích mꢀt hꢁ thꢂng ñơn giꢃn

ꢀ Phân tích hꢁ thꢂng bꢄc 2

ꢀ Quꢅ ñꢆo nghiꢁm sꢂ

ꢀ Các sai sꢂ xác lꢄp

ꢀ ðiꢇu chꢈnh hꢁ thꢂng

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1

Phân tích mꢍt hꢀ thꢁng ñơn giꢎn

ꢀ Xét hꢁ thꢂng ñiꢇu khiꢉn sau:

D(D + a)θ(t) = K_Tf (t)

a = B/ J,K₁= K_T/ J

La.Thi page 91−92

KG(s)

θ_o(s) =

θ_i(s)

θ_o

θ_i

∑

K

G(s)

1+ KG(s)

−

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích mꢍt hꢀ thꢁng ñơn giꢎn

KG(s)

s[1+ KG(s)]

ꢀ ðáp ꢊng vꢋi θ_i(t)=u(t): θ_o(s) =

1

K / s(s +8)

K

G(s) =

⇒θ_o(s) =

=

Giꢃ sꢌ:

ꢁ K=7:

ꢁ K=80:

s(s +8)

s[1+ K / s(s +8)] s(s²+8s + K)

7

⇒θ_o(t) = (1− ⁷₆e^−t+ ¹₆e^−7t)u(t)

θ_o(s) =

s(s²+8s + 7)

80

s(s²+8s +80)

⇒θ_o(t) = [1− ⁵e^−4tcos(8t +153⁰)]u(t)

2

16

s(s²+8s +16)

⇒θ_o(t) =[1−(4t +1)e^−4t]u(t)

θ_o(s) =

ꢁ K=16:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2

Phân tích mꢍt hꢀ thꢁng ñơn giꢎn

within 2% the FV

e_ss=0

PO = 21%

90%

Không có

PO và t_p

10%

t_r

t_p

t_s

Giá trꢍ cꢎa K ñưꢏc lꢐa chꢑn ñꢉ ñꢆt ñưꢏc yêu cꢒu kꢅ thuꢄt cꢎa hꢁ thꢂng

Yêu cꢀu nào là tꢁt cho hꢂ thꢁng?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích mꢍt hꢀ thꢁng ñơn giꢎn

K

ꢀ ðáp ꢊng vꢋi θ_i(t)=tu(t): θ_o(s) =

s²(s²+8s + K)

80

Giꢃ sꢌ: K = 80

⇒θ_o(s) =

s²(s²+8s +80)

⇒θ_o(t) =[−0.1+t + ¹₈e^−8tcos(8t + 36.87⁰)]u(t)

Yêu cꢀu nào là tꢁt cho hꢂ thꢁng?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3

Phân tích mꢍt hꢀ thꢁng ñơn giꢎn

ꢀ Yêu cꢒu thiꢓt kꢓ hꢁ thꢂng:

ꢁ ðáp ꢊng quá ñꢀ

• Chꢈ rꢔ PO vꢋi kích thích u(t)

• Chꢈ rꢔ t_rand/or t_d

• Chꢈ rõ thꢕi gian xác lꢄp t_s

ꢁ Sai sꢂ xác lꢄp: chꢈ rꢔ ss x.lꢄp vꢋi các kích thích u(t), tu(t) và t²u(t)

ꢁ ðꢀ nhꢆy cꢎa hꢁ thꢂng: do sꢐ thay ñꢖi cꢎa thông sꢂ h.thꢂng, nhiꢗu

Không phân tích thông sꢂ này!!!!

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích hꢀ thꢁng bꢏc 2

ꢀ ðáp ꢊng quá ñꢀ phꢘ thuꢀc vào vꢍ trí cꢎa poles và zeros cꢎa T(s).

Có cách ñꢉ xác ñꢍnh nhanh chóng các thông sꢂ (PO, t_r, t_s) cꢎa hꢁ

thꢂng bꢄc 2 không có ñiꢉm zero dꢐa vào vꢍ trí cꢎa các poles.

ꢂ Chúng ta sꢙ khꢃo sát chi tiꢓt hꢁ thꢂng này (cơ sꢚ nghiên cꢊu hꢁ

thꢂng bꢄc cao hơn)

ꢀ Xét hꢁ thꢂng bꢄc 2 có hàm truyꢇn vòng kín T(s) như sau:

ω_n²

T(s) =

s²+ 2ζω_ns +ω_n²

ꢁ Hai poles cꢎa hꢁ thꢂng là:

s_1,2= −ζω_njω_n1−ζ ²

ꢁ ðáp ꢊng vꢋi u(t):

1

ω_n²

1

s + 2ζω_n

Y(s) =

= −

s s²+ 2ζω_ns +ω_n²s s²+ 2ζω_ns +ω_n²

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4

Phân tích hꢀ thꢁng bꢏc 2



1

n



y(t) = 1−

e^{−ζω t}sin(ω 1−ζ ²t + cos⁻¹ζ ) u(t)





n

1−ζ ²









y(t)

y(t_p)

1

0.9

4

t_s=

t_r

ζω_n

0.5

ζ <1

π

t_p=

ω_n1−ζ ²

0.1

0

t

1−ζ ²

t_p

t_d

t_s

PO =100e^{−ζπ /}

1− 0.4167ζ + 2.917ζ ²

1.1+ 0.125ζ + 0.469ζ ²

t_r≈

t_d≈

ω_n

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích hꢀ thꢁng bꢏc 2

1−ζ ²

PO =100e^{−ζπ /}

4

t_s=

ζω_n

1−0.4167ζ + 2.917ζ ²

t_r≈

ω_n

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5

Phân tích hꢀ thꢁng bꢏc 2

KG(s)

K

ꢀ Ví dꢘ:

T(s) =

=

[1+ KG(s)] s²+8s + K

Yêu cꢒu thiꢓt kꢓ: chꢑn K sao cho PO≤16%, t_r≤0.5s, t_s≤2s?

ꢁ Xác ñꢍnh miꢇn cho phép cꢎa các poles

jω

K=64

PO ≤16%; t_r≤ 0.5; t_s≤ 2

6

K=25

4

2

ꢁ Xác ñꢍnh quꢅ tích các poles khi K

thay ñꢖi (quꢅ ñꢆo nghiꢁm sꢂ)

K=0

K=16

s²+8s + K = 0

σ

0

−2

−4

−2

⇒ s_1,2= −4 16− K

t_r= 0.5

K=25

K=64

−4

ꢁ Xác ñꢍnh giá trꢍ cꢎa K

25 ≤ K ≤ 64

−6

t_s= 2

PO =16%

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

ꢀ Xét hꢁ thꢂng vꢋi hꢁ sꢂ khuꢓch ñꢆi K thay ñꢖi như sau:

∑

F(s)

K

G(s)

Y(s)

−

H(s)

KG(s)

Hàm truyꢇn vòng kín cꢎa hꢁ thꢂng:

T(s) =

1+ KG(s)H(s)

Phương trình ñꢛc trưng cꢎa hꢁ thꢂng:

1+ KG(s)H(s) = 0

Chúng ta sꢙ khꢃo sát quꢅ ñꢆo cꢎa nghiꢁm phương trình ñꢛc trưng

(poles cꢎa hꢁ thꢂng) khi K thay ñꢖi tꢜ 0 ñꢓn ∞ ꢂ Quꢅ ñꢆo nghiꢁm sꢂ.

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Giá trꢍ cꢎa s trong mp-s làm cho hàm truyꢇn vòng hꢚ KG(s)H(s)

bꢝng -1 chính là các poles cꢎa hàm truyꢇn vòng kín

1+ KG

(

s

)

H

(

s

)

= 0 ⇔ KG

(

s

)

H

(

s

)

= −1





KG s H s =1

( )

⇒



∠KG s H s = 180⁰2l +1

( ) ( )

(

)





l = 0,1, 2,…





G s H s =1 K

( ) ( )

⇔



∠G s H s = 180^o2l +1

l = 0,1, 2,…

( ) ( )

(

)





Independent of K

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

ꢀ Quꢅ ñꢆo nghiꢁm sꢂ ñưꢏc vꢙ tuân theo các quy luꢄt sau:

Áp dụng các quy luật dùng ví dụ sau:

Ví dꢘ 1: vꢙ quꢅ ñꢆo nghiꢁm sꢂ cꢎa hꢁ thꢂng sau khi K thay ñꢖi

1

∑

F(s)

K

Y(s)

s(s +1)(s + 2)

−

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Luꢃt #1

Giꢃ sꢌ G(s)H(s) có n poles và m zeros:

n nhánh cꢎa quꢅ ñꢆo nghiꢁm bꢄt ñꢀu (K=0) tꢅi n poles.

m trong n nhánh kꢆt thúc (K=∞) tꢅi m zeros

n-m nhánh còn lꢅi kꢆt thúc ꢇ vô cùng theo các ñưꢕng

tiꢁm cꢄn.

Bưꢋc 1: Vꢙ n poles và m zeros cꢎa G(s)H(s) dùng ký hiꢁu

x và o

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Áp dꢈng bưꢉc #1

Vꢙ n poles và m zeros cꢎa

G(s)H(s) dùng ký hiꢁu x và o

1

G(s)H(s) =

(

)( )

s s +1 s + 2

ꢁ Có 3 poles:

s = 0,s = −1,s = −2

ꢁ Không có zero

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Luꢃt #2

Các ñiꢊm trên trꢈc thꢋc thuꢀc quꢅ ñꢆo nghiꢁm khi bên

phꢃi nó có tꢌng sꢁ poles thꢋc và zeros thꢋc cꢎa

G(s)H(s) là mꢍt sꢁ lꢎ

Bưꢋc #2: Xác ñꢍnh các nghiꢁm trên trꢘc thꢐc. Chꢑn

ñiꢉm kiꢉm tra tùy ý. Nꢓu tꢖng sꢂ cꢎa cꢃ poles thꢐc và

zeros thꢐc bên phꢃi cꢎa ñiꢉm này là lꢙ thì ñiꢉm ñó

thuꢀc quꢅ ñꢆo nghiꢁm sꢂ.

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Áp dꢈng bưꢉc #2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Luꢃt #3

Giꢃ sꢌ G(s)H(s) có n poles và m zeros:

Các nghiꢁm s có giá trꢏ lꢉn phꢃi tiꢂm cꢃn theo ñưꢕng thꢞng

bꢄt ñꢀu tꢅi ñiꢊm trên trꢈc thꢋc:

p −

z _i

∑

i

n

m

s = σ

=

0

n − m

theo hưꢉng cꢐa góc:

180^o2ℓ + 1

(

n − m

)

φ_ℓ=

Bưꢋc #3: Xác ñꢍnh n - m tiꢁm cꢄn cꢎa các nghiꢁm. Tꢆi s = σ₀

trên trꢘc thꢐc. Tính và vꢙ các ñưꢕng tiꢁm cꢄn theo góc φ_ℓ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Áp dꢈng bưꢉc #3

p + p₂+ p₃0−1−2

1

s =σ₀=

=

= −1

3−0

3

1 8 0 2 ℓ + 1

(

n − m

)

φ _ℓ=

ℓ = 0,1, 2,…

0

180 2×0+1



(

3−0

)

φ₀=

= 60⁰



⇒



180⁰

(

2×1+1

)

φ₁=

= 180⁰







3−0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Luꢃt #4

Phương trình ñꢛc trưng cꢎa hꢁ thꢂng có thꢉ viꢓt là: KG(s)H(s) = -1

ðiꢊm tách phꢑi thꢒa ñiꢓu kiꢂn sau:

dK

= 0

ds

Bưꢋc #4: xác ñꢍnh ñiꢉm tách. Biꢉu diꢗn K dưꢋi dꢆng:

−1

K =

.

G(s)H(s)

Tính và giꢃi dK/ds=0 ñꢉ tìm pole là ñiꢉm tách

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Áp dꢈng bưꢉc #4

−1

K =

= −s(s +1)(s + 2)

G( s )H( s )

K = −s³−3s²− 2s

dK / ds = −s³− 3s²− 2s

⇒ −3s ²− 6 s − 2 = 0

s₁= − 1.5774 , s₂= −0.4226

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11

Quꢐ ñꢑo nghiꢀm sꢁ

Bưꢉc #5

Vꢙ n-m nhánh kꢓt thúc ꢚ vô cùng dꢑc theo các

ñưꢕng tiꢁm cꢄn

jω?

Cho:

s = jω

1+ KG

(

s

)

H

(

s

)

= 0

Thꢓ vào:

⇒ ω = 0 or ω =

2

- jω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các sai sꢁ xác lꢏp

ꢀ Sai sꢂ xác lꢄp là sꢐ sai khác giꢟa tín hiꢁu vào f(t) và ra y(t) tꢆi xlꢄp

e(t) = f (t) − y(t) ⇒ E(s) = F(s) −Y (s) = F(s)[1−T(s)]

⇒ e_ss= lim e(t) = lim sE(s) = lim sF(s)[1−T(s)]

t→∞

s→0

e_ss= e_s= lim[1−T(s)]

ꢁ Vꢋi f(t)=u(t):

⇒ e_s=1−T(0)

s→0

[1− T(s)]

ꢁ Vꢋi f(t)=tu(t):

e_ss= e_r= lim

s

s→0

⇒ e_r= −T '(0)

if T(0) =1

[1−T(s)]

ꢁ Vꢋi f(t)=(1/2)t²u(t):

if T(0) =1 and T '(0) = 0

e_ss= e_p= lim

s²

s→0

⇒ e_p= −T ''(0)/ 2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

12

Các sai sꢁ xác lꢏp

ꢀ Vꢋi hꢁ thꢂng hꢠi tiꢓp ñơn vꢍ:

∑

K

F(s)

G(s)

Y(s)

−

ꢁ ðꢍnh nghĩa các hꢝng sꢂ sau:

K = lim[KG(s)]

• Hꢝng sꢂ sai sꢂ vꢍ trí:

p

s→0

• Hꢝng sꢂ sai sꢂ vꢄn tꢂc:

K = lim s[KG(s)]

v

s→0

K_a= lim s²[KG(s)]

• Hꢝng sꢂ sai sꢂ gia tꢂc:

s→0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các sai sꢁ xác lꢏp

ꢁ Các sai sꢂ xác lꢄp ñưꢏc tính như sau:

1/ s²

1+ KG(s) K_v

1

1/ s

1

e_s= lim s

=

; e_r= lim s

=

1+ KG(s) 1+ K_p

s→0

1/ s³

1+ KG(s) K_a

1

e_p= lim s

=

s→0

ꢁ Phân loꢆi hꢁ thꢂng ñiꢇu khiꢉn:

• Hꢁ thꢂng loꢆi 0: e_s=finite; e_r= e_p=∞. Ví dꢘ: G(s) =

s + 2

(s +1)(s +10)

1

• Hꢁ thꢂng loꢆi 1: e_s=0; e_r=finite; e_p=∞. Ví dꢘ:

G(s) =

s(s +8)

• Hꢁ thꢂng loꢆi 2: e_s=e_r=0; e_p=finite. G(s) có 2 poles tꢆi gꢂc tꢑa ñꢀ

• Hꢁ thꢂng loꢆi q: có q poles tꢆi gꢂc tꢑa ñꢀ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

13

Các sai sꢁ xác lꢏp

ꢁ Kꢓt luꢄn: vꢋi hꢁ thꢂng hꢠi tiꢓp ñơn vꢍ viꢁc tăng sꢂ poles tꢆi gꢂc tꢑa

ñꢀ sꢙ cꢃi thiꢁn chꢡt lưꢏng cꢎa hꢁ thꢂng ꢚ chꢓ ñꢀ xác lꢄp.

Vꢃy có nên tăng sꢁ poles tꢅi gꢁc tꢔa ñꢍ?

p −

z _i

∑

=

∑

i

n

m

s = σ

0

n − m

180^o2ℓ + 1

(

n − m

)

φ_ℓ=

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các sai sꢁ xác lꢏp

ꢀ Nói chung trong thiꢓt kꢓ hꢁ thꢂng ngưꢕi ta phꢃi xác ñꢍnh rõ e_ss

∑

F (s)

G(s)

Y (s)

K

Ví dꢈ:

−

1

KG(s)

K

G(s) =

⇒ T(s) =

=

[1+ KG(s)] s²+8s + K

s(s +8)

Yêu cꢒu thiꢓt kꢓ: chꢑn K sao cho PO≤16%, t_r≤0.5s, t_s≤2s,

e_s=0 và e_r≤0.15

ꢁ ðꢃm bꢃo yêu cꢒu quá ñꢀ: 25≤K≤64

ꢁ ðꢃm bꢃo yêu cꢒu xác lꢄp:

e_s= 0;e_r= 8/ K;e_p= ∞

⇒ 8/ K ≤ 0.15 ⇒ K ≥ 53.34

ꢁ Kꢓt luꢄn: 53.34 ≤ K ≤ 64

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

14

ðiꢅu chꢒnh hꢀ thꢁng

ꢀ Trong ví dꢘ trưꢋc ta thꢡy chꢡt lưꢏng xác lꢄp tꢂt nhꢡt khi K

lꢋn nhꢡt!!!

⇒ e

( )

= 8/ K = 8/64 = 0.125

K = 64

r

min

Nꢆu yêu cꢀu thiꢆt kꢆ là e_r<0.125?

jω

K=64

6

K=25

4

2

Dꢕi sang trái

K=0

K=16

p −

z _i

∑

i

σ

n

m

s = σ

=

0

−2

−4

−2

n − m

t_r= 0.5

K=25

Nꢂi tiꢓp G(s) vꢋi G_c(s):

−4

K=64

s +α

G_c(s) =

Bꢍ ñiꢓu

chꢖnh

−6

t_s= 2

PO =16%

s + β

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ðiꢅu chꢒnh hꢀ thꢁng

ꢀ Hꢁ thꢂng có bꢀ ñiꢇu chꢈnh:

G_c(s)

∑

F (s )

K G (s)

Y (s )

−

ꢁ Ví dꢘ:

1

G(s) =

;PO ≤16%; t_r≤ 0.5; t_s≤ 2;e_s= 0;e_r≤ 0.05

s(s +8)

e_r= 8/ K ≤ 0.05 ⇒ K ≥160

Giꢃ sꢌ chꢑn:

s +8

K

G (s) =

⇒ KG_c(s)G(s) =

c

s +30

s(s +30)

600

⇒ T(s) =

Và chꢑn K=600:

2

s + 30s + 600

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

15

ðiꢅu chꢒnh hꢀ thꢁng

600

T(s) =

;PO ≤16%; t_r≤ 0.5; t_s≤ 2;e_s= 0;e_r≤ 0.05

2

s + 30s + 600

⇒ ω_n= 600

⇒ ζ = 0.61

;ζω =15

n

4

t_s=

= 4/15 = 0.266 < 2

ζω_n

PO = 8.9% <16%

t_r= 0.0747 < 0.5

e_s= 0

e_r= 0.05

ðꢅt ñưꢗc mꢔi yêu cꢀu thiꢆt kꢆ!!!

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ðiꢅu chꢒnh hꢀ thꢁng

ꢁ Vꢋi hꢁ thꢂng ñiꢇu khiꢉn hꢠi tiꢓp ñơn vꢍ thì G_c(s)=1/s sꢙ bꢃo ñꢃm

cꢃi thiꢁn chꢡt lưꢏng xác lꢄp. Tuy nhiên lꢆi làm giꢃm chꢡt lưꢏng quá

ñꢀ, và tính ꢖn ñꢍnh cꢎa hꢁ thꢂng!!! ðꢉ dung hòa ngưꢕi ta chꢑn G_c(s)

như sau:

s +α

G_c(s) =

s + β

α và β chꢔn rꢘt nhꢒ và tꢙ sꢁ α/β rꢘt lꢉn

p −

z _i

∑

=

∑

i

n

m

s = σ

0

n − m

= K .G (0) = α / β K ⇒ e

( )

s

c

1

K

=

< e_s=

(

)

(

)

p

v

p

c

p

c

1+ (K _p)_c

1+ K _p

= K .G (0) = α / β K

(

)

⇒ e =1/(K_v)_c< e_r=1/ K_v

(

)

v

c

v

r

c

⇒ e

=1/(K_a)_c< e_p=1/ K_a

(

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

)

= K .G (0) = α / β K

p

(

)

(

)

a

c

a

c

16

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 14 - Trần Quang Việt