Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier

Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier

Lecture-7

4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier

4.1.1. Biến đổi Fourier

4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier

4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.1. Biến đổi Fourier

 Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có

chu kỳ dài vô hạn

Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn:

và f_T0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với

chu kỳ T₀:

Ta có quan hệ giữa f(t) và f_T0(t) như sau:

f(t)= lim f_T(t)

0

T₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.1. Biến đổi Fourier

 Biểu diễn f_T0(t) dùng chuỗi Fourier

^T⁰^/2f_T(t)e^-jnω⁰^tdt=

^Se^-jnω⁰^tdt=

-S

sinnω₀S

2

1

D_n=

0

-T₀/2

T₀

T₀nω₀

T₀D_n

2sin S

2

n

0

T₀

n

0

2 /T₀

0

 Gấp đôi T₀:

T₀D_n

2sin S

2

n

0

T₀

n

0

2 /T₀

0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.1. Biến đổi Fourier

T₀D_n

 Tiếp tục tăng T₀

2sin S

2

n

0

T₀

n

0

2 /T₀

0

 Khi T₀ , T₀D_n hàm liên tục

lim T .D_n= lim ^T⁰^/2f_T(t)e^-jnω⁰^tdt = f(t)e^-jωtdt=F(ω)

0

-T₀/2

-

T₀

 Phổ của tín hiệu không tuần hoàn:

F(nω₀)

1

D(ω)= lim [D_n] lim

F(ω) lim [Δω]

0

T₀

Δω 0

T₀

2

. Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có tính chất phân bố

. Hàm mật độ phổ tín hiệu, F( ), được xem là phổ tín hiệu

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.1. Biến đổi Fourier

 Tích phân Fourier

1

lim D_ne^{jnω t}

0

F(n ω)e^{jn ωt}ω

f(t) lim f_T(t)

lim

0

T₀

0

n

2

n

1

f(t)

F(ω)e^jωtdω

2π

 Tóm lại ta có kết quả:

f(t) F(ω)

Phương trình phân tích – Biến

đổi Fourier thuận

jωt

F(ω)= f(t)e dt

1

Phương trình tổng hợp – Biến

đổi Fourier ngược

f(t)=

F(ω)e^jωtdω

2π

Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ các thành

phần tần số, e^{j t}

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier

 Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F( ) hữu hạn và

năng lượng sai số bằng 0.

 Điều kiện Dirichlet:

. Điều kiện 1:

|f(t)|dt<

T

. Điều kiện 2: f(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng thời

gian hữu hạn

. Điều kiện 3: f(t) có hữu hạn số gián đoạn trong khoảng thời gian

hữu hạn và gián đoạn phải có độ lớn là hữu hạn

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

 f(t)= (t):

F(ω)= δ(t)e^-jωtdt= δ(t)dt=1

δ(t) 1

(t)

1

t

0

 f(t)=e^-atu(t); a>0:

1

at

jωt

(a+jω)t

F(ω)= e u(t)e dt= e dt=

e

=

0

a+jω

0

1

at

e u(t); a>0

a+jω

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

1

F( )

a²

2

1

F( ) tan ( /a)

F( )

1/a

F( )

/2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

 f(t)=u(t):

1

j t

e dt

j t

F( )

u(t)e dt

e

?

0

j

0

u(t)

1

at

e u(t)

u(t) lime u(t)

a 0

t

0

1

a j

a²

at

j t

F( ) lim e u(t)e dt lim

lim

a 0

2

a 0

a j

a

1

F( ) lim

2

a 0

Diện tích bằng

a

j

1

F( ) ( )

j

u(t) ( ) 1/ j

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản

 f(t) xung cổng đơn vị:

0 t / 2

t

rect

1 t / 2

/2

j

/2

1

e^j

e

/2

j t

e dt

F( )

rect(^t)e dt

e^{j t}

/2

j

/2

j2sin

sin

rect(^t) sinc

2

F( )

sinc

2

j

2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tính chất tuyến tính:

f₁(t) F (ω); f₂(t) F (ω)

a₁f₁(t)+a₂f₂(t) a₁F₁(ω)+a₂F₂(ω)

1

2

 Phép dịch thời gian:

jωt

f(t) F(ω)= f(t)e dt

jωt

f₁(t)=f(t t₀) F (ω)= f(t t₀)e dt

1

= f( )e ^{jω( +t )}d

jωt₀

0

=F(ω)e

j t₀

Linear phase shift

f (t t₀) F( )e

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

Ví dụ:

/2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Phép dịch tần số (điều chế):

jωt

f(t) F(ω)= f(t)e dt

jω₀t

f₁(t)=f(t)e^{jω t}

F (ω)= f(t)e e dt = f(t)e ^{j(ω ω )t}dt F(ω ω₀)

jωt

0

1

f(t)e^jω⁰^tF(ω ω₀)

1

f(t)cosω₀t

f(t)sinω₀t

F(ω ) F(ω+ )

Ví dụ:

0

2

1

F(ω ) F(ω+ )

0

j2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tính đối ngẫu:

jωt

f(t) F(ω)= f(t)e dt

1

F(ω)e^jωtdω

jωt

f(t)=

f( t)=

F(ω)e dω

2

1

jωt

2πf( ω)= F(t)e dt

f( ω)=

F(t)e dt

2π

F(t) 2πf( ω)

δ(t) 1

1 2πδ( ω)=2πδ(ω)

Ví dụ:

t

rect

τ

ωτ

2

π

ω

τsinc

sinc ω₀t

rect

ω₀

2ω₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Phép tỷ lệ thời gian:

jωt

f(t) F(ω)= f(t)e dt

f₁(t)=f(at) F (ω)= f(at)e dt

1

ω

j τ

1

1 ω

a

a 0:F (ω)= f(τ)e dτ = F

1

a a

1 ω

a

1 ω

f(at) F

|a| a

ω

j τ

1

a

= F

a 0:F (ω)=

f(τ)e dτ

1

a a

a

 Phép đảo thời gian:

jωt

f( t) F( ω)

f(t) F(ω)= f(t)e dt

1

2a

a|t|

e

Ví dụ:

2

a j a j a²

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tích chập trong miền thời gian:

f₁(t) F (ω); f₂(t) F (ω)

1

2

jωt

f(t)=f₁(t) f₂(t) F(ω)= f₁(t) f₂(t)e dt

jωt

F(ω)=

f₁(τ)f₂(t τ)dτ e dt

+

jωt

jωτ

= f₁(τ) f₂(t τ)e dt dτ

f₁(τ)F (ω)e dτ

2

-

jωτ

F (ω) f₁(τ)e dτ F (ω)F (ω)

2

1

2

f₁(t) f₂(t) F (ω)F (ω)

1

2

2t

ωT

4

T

2

rect( _T) sinc

Ví dụ:

rect( ²_T^t) rect( ²_T^t)= ^T₂

²sinc²

t

T

ωT

4

T

4

Có:

^T₂sinc²

t

T

ωT

4

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tích chập trong miền tần số:

f₁(t) F (ω); f₂(t) F (ω)

1

2

1

f(t)=

[F (ω) F (ω)]e^jωtdω

1

2

2π

1

[ F (τ)F (ω-τ)dτ]e^jωtdω

1

2

2π

1

F (τ)[ F (ω-τ)e^jωtdω]dτ

1

2

2π

1

F (τ)e^jτt[ F (x)e^jxtdx]dτ

1

2

2π

f₂(t) F (τ)e^jτtdτ

2πf₁(t)f₂(t)

1

2πf₁(t)f₂(t) F (ω) F (ω)

1

2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Đạo hàm trong miền thời gian:

F(ω)e^jωtdω

1

2π

f(t) F(ω)

f(t)

df(t)

dt

df(t)

dt

jωF(ω)e^jωtdω

jωF(ω)

1

2π

dⁿf(t)

dtⁿ

(jω)ⁿF(ω)

 Đạo hàm trong miền tần số:

dF(ω)

dω

jωt

f(t) F(ω)= f(t)e dt

= -jtf(t)e dt

_ndⁿF(ω)

dωⁿ

dF(ω)

tⁿf(t) j

tf(t) j

dω

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tích phân trong miền thời gian:

t

f(t) u(t)

f(τ)u(t τ)d

f(τ)dτ

f(t) u(t) F(ω)[πδ(ω)+1/jω]

= πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω

t

f(τ)dτ πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω

Ví dụ: Xác định biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:

f₂(t)

f₁(t)

2

1

-1

t

1

-1

1

-1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier - Bài 7