Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier - Bài 7 - Trần Quang Việt
Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier
Lecture-7
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier
4.1.1. Biến đổi Fourier
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
1
4.1.1. Biến đổi Fourier
ꢀ Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có
chu kỳ dài vô hạn
Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn:
f (t)
và fT0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với
chu kỳ T0:
fT (t)
0
T0
f(t)= lim fT (t)
Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau:
T →∞
0
0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.1. Biến đổi Fourier
ꢀ Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier
T0/2
S
1
1
2 sinnω0S
T0 nω0
fT (t)e-jnω tdt=
e-jnω tdt=
-S
0
0
Dn =
∫
∫
T0Dn
0
-T0/2
T0
T0
2sinωS
2π
ω = nω0 = n
ω
T0
nω0
ω0 = 2π /T0
ꢀ Gấp đôi T0:
T0Dn
2sinωS
2π
ω = nω0 = n
ω
T0
nω0
ω0 = 2π /T0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2
4.1.1. Biến đổi Fourier
ꢀ Tiếp tục tăng T0
T0Dn
2sinωS
2π
ω = nω0 = n
ω
T0
nω0
ω0 = 2π /T0
ꢀ Khi T0ꢁ∞, T0Dn ꢁ hàm liên tục
T0/2
∞
fT (t)e-jnω tdt = f(t)e-jωtdt=F(ω)
0
lim T .D = lim
[
]
0
n
∫
∫
0
T →∞ -T0/2
-∞
T0→∞
0
ꢀ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn:
F(nω0 )
1
D(ω)= lim [Dn ] = lim
=
F(ω) lim [∆ω]
= 0
∆ω→0
T0→∞
T0→∞
T0
2π
ꢂ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có tính chất phân bố
ꢂ Hàm mật độ phổ tín hiệu, F(ω), được xem là phổ tín hiệu
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.1. Biến đổi Fourier
ꢀ Tích phân Fourier
∞
∞
1
= lim
D ejnω t
0
f(t) = lim fT (t)
= lim
F(n∆ω)ejn∆ωt ∆ω
∑
n
∑
0
T0 →∞
T0 →∞
∆ω→∞
n=−∞
n=−∞ 2π
∞
1
f(t) =
2π
F(ω)ejωtdω
∫
−∞
ꢀ Tóm lại ta có kết quả:
f(t) ↔ F(ω)
∞
Phương trình phân tích – Biến
đổi Fourier thuận
F(ω)=
f(t)e− jωt dt
∫
−∞
∞
1
Phương trình tổng hợp – Biến
đổi Fourier ngược
f(t)=
F(ω)ejωtdω
∫
−∞
2π
Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ các thành
phần tần số, ejωt
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier
ꢀ Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F(ω) hữu hạn và
năng lượng sai số bằng 0.
ꢀ Điều kiện Dirichlet:
ꢂ Điều kiện 1:
|f(t)|dt<∞
∫
T
ꢂ Điều kiện 2: f(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng thời
gian hữu hạn
ꢂ Điều kiện 3: f(t) có hữu hạn số gián đoạn trong khoảng thời gian
hữu hạn và gián đoạn phải có độ lớn là hữu hạn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
ꢀ f(t)=δ(t):
∞
∞
F(ω)= δ(t)e-jωtdt= δ(t)dt=1
δ(t) ↔ 1
∫
∫
−∞
−∞
δ (t)
1
↔
ω
t
0
0
ꢀ f(t)=e-atu(t); a>0:
∞
∞
∞
1
1
F(ω)= e−atu(t)e− jωtdt= e−(a+jω)tdt= −
e−(a+jω)t
=
∫
∫
−∞
0
a+jω
a+jω
0
1
e−atu(t); a>0↔
a+jω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
1
F(ω) =
a2 +ω2
∠F(ω) = −tan−1(ω / a)
F(ω)
1/ a
∠F(ω)
π / 2
ω
−π / 2
ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
ꢀ f(t)=u(t):
+∞
+∞
+∞
u(t)e− jωt dt = e− jωt dt = −
1
F(ω) =
e− jωt = ?
∫
−∞
u(t)
∫
0
jω
0
1
e−atu(t)
u(t) = lime−atu(t)
a→0
t
0
+∞
1
a − jω
2
a +ω
⇒ F(ω) = lim
e−atu(t)e− jωtdt =lim
= lim
a→0
2
∫
−∞
a→0 a + jω
a→0
a
1
⇒ F(ω) = lim
+
a→0 a2 +ω2
jω Diện tích bằng π
1
⇒ F(ω) = πδ (ω) +
jω
u(t) ↔πδ(ω)+1/ jω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
5
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
ꢀ f(t) xung cổng đơn vị:
0
1
t >τ / 2
t
r ect
=
(τ )
t <τ / 2
τ / 2
+∞
τ / 2
1
e
jωτ / 2 − e− jωτ / 2
F(ω) =
rect(τt )e− jωt dt =
e− jωt dt = −
−τ / 2
ejωt
=
∫
∫
ωτ
−∞
jω
jω
−τ / 2
ωτ
2
j2sin
sin
(
)
(
)
t
τ
ωτ
2
2
ωτ
2
⇒
⇔ F(ω) =
=τ
=τ sinc
rect( )↔τsinc
(
)
ωτ
2
jω
(
)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Tính chất tuyến tính:
f1(t) ↔ F (ω); f2 (t) ↔ F (ω)
a1f1(t)+a2f2(t) ↔a1F1(ω)+a2F2(ω)
1
2
ꢀ Phép dịch thời gian:
∞
f(t) ↔ F(ω)= f(t)e− jωtdt
∫
−∞
∞
f1(t)=f(t − t0 ) ↔ F (ω)= f(t − t0 )e− jωtdt
1
∫
−∞
∞
=F(ω)e− jωt
0
0
=
f(τ )e− jω(τ +t )dτ
∫
−∞
f(t−t0)↔F(ω)e−jωt
Linear phase shift
0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Ví dụ:
−ωτ / 2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Phép dịch tần số (điều chế):
∞
f(t) ↔ F(ω)= f(t)e− jωtdt
∫
−∞
∞
∞
f1(t)=f(t)ejω t ↔ F (ω)= f(t)e e− jωtdt = f(t)e− j(ω−ω )tdt = F(ω − ω0 )
jω0t
0
0
1
∫
∫
−∞
−∞
f(t)ejω0t ↔F(ω−ω0)
1
1
Ví dụ: f(t)cosω0t ↔ F(ω −ω0 ) + F(ω+ω0 )
2
2
1
1
f(t)sinω0t ↔ F(ω −ω0 ) − F(ω+ω0 )
j2
j2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Tính đối ngẫu:
∞
f(t) ↔ F(ω)= f(t)e− jωtdt
∫
−∞
∞
∞
1
1
F(ω)ejωtdω
f( − t)=
F(ω)e− jωtdω
f(t)=
∫
∫
−∞
−∞
2π
2π
∞
∞
1
2πf( −ω)= F(t)e− jωtdt
f( −ω)=
F(t)e− jωtdt
∫
∫
−∞
−∞
2π
F(t) ↔ 2πf( − ω)
δ(t) ↔1
1↔ 2πδ( − ω)=2πδ(ω)
Ví dụ:
t
ωτ
π
ω
rect
↔ τsinc
sinc ω t ↔
rect
(
)
0
τ
2
ω0
2ω0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Phép tỷ lệ thời gian:
∞
∞
f(t) ↔ F(ω)= f(t)e− jωtdt
f1(t)=f(at) ↔ F (ω)= f(at)e− jωtdt
1
∫
∫
−∞
−∞
ω
∞
− j
τ
1
1
ω
a
a > 0: F (ω)=
f(τ)e dτ = F
1
∫
1
−∞
a
a
a
1
ω
f(at) ↔
F
ω
∞
− j
τ
1
ω
|a|
a
a
=
F
a < 0:F (ω)=
f(τ)e dτ
1
∫
−∞
−a
a
−a
ꢀ Phép đảo thời gian:
∞
f(t) ↔ F(ω)= f(t)e− jωtdt
f( − t) ↔ F( −ω)
∫
−∞
e−atu(t) ↔1/(a + jω)
eatu( − t) ↔1/(a − jω)
Ví dụ:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
8
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Tích chập trong miền thời gian:
f1(t) ↔ F (ω); f2 (t) ↔ F (ω)
1
2
+∞
f(t)=f1(t)∗f2 (t) ↔ F(ω)= f1(t)∗f2 (t)e− jωtdt
∫
−∞
+∞
+∞
F(ω)=
f1(τ)f2 (t − τ)dτ e− jωtdt
∫ ∫
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
f2 (t − τ)e− jωtdt dτ
=
-∞
f1(τ)F (ω)e− jωτdτ
=
f1(τ)
2
∫
∫
∫
-∞
−∞
+∞
= F (ω) f1(τ)e− jωτdτ = F (ω)F (ω)
2
1
2
∫
−∞
f1(t)∗f2 (t) ↔ F (ω)F (ω)
1
2
rect( 2t ) ↔ sinc
T
2
ωT
4
Ví dụ:
(
)
T
rect( 2t )∗rect( 2t )= T ∆
↔
2 sinc2
4
t
T
ωT
4
Có:
T
T
T
2
2 ( ωT )
t
T
2
∆
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
↔ sinc
( T )
4
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Tích chập trong miền tần số:
f1(t) ↔ F (ω); f2 (t) ↔ F (ω)
1
2
+∞
1
f(t)=
[F (ω)∗F (ω)]ejωtdω
1
2
∫
−∞
2π
1
+∞
+∞
−∞
=
[
F (τ)F (ω-τ)dτ]ejωtdω
1
2
∫ ∫
−∞
2π
1
+∞
+∞
=
=
F (τ)[ F (ω-τ)ejωtdω]dτ
1
2
∫
∫
−∞
−∞
2π
+∞
+∞
F (τ)ejτt[ F (x)ejxtdx]dτ
1
1
2
∫
∫
−∞
−∞
2π
+∞
= f2 (t) F (τ)ejτtdτ
= 2πf1(t)f2 (t)
1
∫
−∞
2πf1(t)f2(t) ↔F(ω)∗F (ω)
1
2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
9
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Đạo hàm trong miền thời gian:
+∞
1
2π
f(t) ↔ F(ω)
f(t) =
F(ω)ejωtdω
∫
−∞
+∞
df(t)
dt
df(t)
dt
jωF(ω)ejωtdω
↔ jωF(ω)
1
2π
=
∫
−∞
dnf(t)
dtn
↔ (jω)nF(ω)
ꢀ Tích phân trong miền thời gian:
+∞
t
f(t)∗u(t) =
f(τ)u(t − τ)dτ = f(τ)dτ
∫
∫
−∞
−∞
f(t)∗u(t) ↔ F(ω)[πδ(ω)+1/jω]
= πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
t
f(τ)dτ ↔ πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
∫
−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Liên hiệp phức và tính đối xứng liên hiệp phức:
+∞
∞
f(t) ↔ F(ω)= f(t)e− jωtdt
1
2π
f(t) =
F(ω)ejωtdω
∫
∫
−∞
−∞
+∞
+∞
f*(t) = [21π
F(ω)ejωtdω]* = 2π
F* (ω)e− jωtdω
1
∫
∫
−∞
−∞
+∞
F*( − ω)ejωtdω
1
=
2π
∫
−∞
f* (t) ↔ F*( − ω)
F( −ω)=F* (ω)
f(t):Real
|F(ω)| : even function of ω
∠F(ω) : odd function of ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
10
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
ꢀ Định lý Parseval:
+∞
+∞
+∞
+∞
=
f(t)f*(t)dt =
F(ω)ejωtdω]∗dt
1
f(t)[ 2π
Ef =
|f(t)|2dt
∫
∫
∫
∫
−∞
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
1
1
2π
=
F*(ω)[ f(t)e-jωtdt]dω =
F*(ω)F(ω)dω
2π
∫
∫
∫
−∞
−∞
−∞
+∞
|F(ω)|2dω
1
Ef = 2π
Định lý Parseval
∫
−∞
|F(ω)|2 Mật độ phổ năng lượng
Ví dụ: f(t)=sinc(t) ↔ F(ω)=2πrect( ω2 )
+∞
1
4π2rect2 ( ω2 )dω
1
2π
Ef =
= 2π dω = 4π
∫
∫
−∞
−1
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
ꢀ Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier:
+∞
1
D ejnω t
với: Dn =
f(t)e− jnω tdt
0
0
f(t)=
∑
n
∫
T0
T0
n=−∞
ꢀ Biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn:
+∞
f(t) ↔ F(ω)=
2πD δ(ω − nω )
∑
n
0
n=−∞
ꢀ Ví dụ 1:
f ( t )
T0=4S
T0
nπ
+∞
1
Dn = sinc(
nπ
)
F(ω)=
πsinc( )δ(ω − nω0 )
∑
2
2
2
n=−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
F(ω)
π
2
2
ω
−ω0 ω0
∞
ꢀ Ví dụ 2: xác định phổ của hàm phân bố lược f(t)=
δ(t − kT)
∑
k=−∞
f(t)
1
t
0
-2T
T
2T
-T
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
+∞
2π
2nπ
1
F(ω)=
δ(ω −
)
Dn =
∑
T
T
T
n=−∞
F(ω)
2π
T
2π
4π
ω
0
4π
2π
−
−
T
T
T
T
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
12
12 trang
29/04/2022
4680
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier - Bài 7 - Trần Quang Việt", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_chuong_4_bieu_dien_tin_hieu_d.pdf
