Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace

Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace

Lecture-11

6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến đổi Laplace

6.3. Sơ đồ khối và thực hiện hệ thống

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến đổi Laplace

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

6.2.3. Tính ổn định của hệ thống LTI mô tả bởi PTVP

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

 Hàm truyền của hệ thống LTI: xét HT LTI có đáp ứng xung h(t):

y(t)=f(t) h(t)

Ta có:

Y(s)=F(s)H(s)

H(s)=Y(s)/F(s)

Với H(s) là biến đổi Laplace của h(t) còn được gọi là hàm truyền

của hệ thống

 Biểu diễn hệ thống LTI bằng hàm truyền

 Hàm truyền của hệ thống LTI ghép liên tầng:

H(s)=H₁(s)H₂(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

 Hàm truyền của hệ thống LTI ghép song song:

H(s)=H₁(s)+H₂(s)

 Hàm truyền của hệ thống LTI ghép hồi tiếp:

H₁(s)

H(s)=

1+H₁(s)H₂(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

 Hàm truyền của HT LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

Q(D)y(t)=P(D)f(t)

D^ky(t) s^kY(s)

D^kf(t) s^kF(s)

Q(s)Y(s)=P(s)F(s)

Y(s) P(s)

H(s)=

F(s) Q(s)

Ví dụ: xác định hàm truyền của HT LTI mô tả bởi PTVP

(D²+2D+3)y(t)=Df(t)

P(s)

s

H(s)=

Q(s) s²2s 3

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

 Ví dụ về xác định hàm truyền của hệ thống

. Ví dụ 1: Hệ thống cơ học

x: chiều cao mặt đường, y: chiều cao xe

d²y(t) dy(t)

dx(t)

m

+b +ky(t)=b +kx(t)

dt dt

dt

²

2

b

D + _m^bD+ _m^ky(t)= D+ _m^kx(t)

m

(b/m)s+(k/m)

s²+(b/m)s+(k/m)

(b/m)s+(k/m)

s²+(b/m)s+(k/m)

H(s)

X(s)

Y(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

. Ví dụ 2: mạch điện

1H

y(t)

(D²+4D+3)y(t)=Df(t)

4

1

3

+

-

f (t)

F

s

H(s)=

s

²

+4s+3

 Với hệ thống là mạch điện ta có thể đưa biến đổi Laplace vào mạch

và giải mạch trực tiếp như là mạch thuần trở. Dưới đây là mô tả cho

hệ thống là mạch điện thuộc hệ thống LTI nhân quả

v_R(t)=Ri_R(t)

V_R(s)=RI_R(s)

• Trở R:

1

V_C(s)= I_C(s)

Cs

dv_c(t)

I_C(s)=CsV_C(s)

V_L(s)=LsI_L(s)

i_C(t)=C

v_L(t)=L

• Điện dung C:

dt

di_L(t)

dt

• Điện cảm L:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

n

i_j(t)=0

v_j(t)=0

I_j(s)=0

• KCL:

• KVL:

j=1

n

j=1

n

V_j(s)=0

j=1

. Ví dụ 3:

y(t)

1H

s

Y(s)

4

1

+

f (t)

+

-

F

-

F(s)

3/ s

3

s

H(s)=

F(s)

Y(s)

s

²

+4s+3

s

²

+4s+3

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

. Ví dụ 4: Bộ khuếch đại

R_f

R

F(s)

Y(s)

k

F(s)

Y (s)

R_f

H(s)

k

R

. Ví dụ 5: Bộ tích phân

1/Cs

R

F(s)

s

Y (s)

1/ RC

s

k

s

1

RCs

H(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

. Ví dụ 6: Hệ thống bậc 1

R_f

ka

s a

R

1/Cs

F(s)

Y(s)

F(s)

Y (s)

R_f

k ;a

1

R_fC

R

R_f

1/Cs

k(s a)

(s b)

Y(s)

1/C_fs

R

F(s)

C

C_f

1

R_fC_f

1

RC

Y (s)

k ;a ;b

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

 Ví dụ: Xét hệ thống cơ học sau

(b/m)s+(k/m)

s²+(b/m)s+(k/m)

X(s)

Y(s)

3s+2

H(s)=

3s+2

Giả sử chọn m=1, k=2, b=3 

s²+3s+2

1

s

X(s)=

Giả sử x(t)=u(t) 

Y(s)=H(s)X(s)=

s s²+3s+2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

1 1 2

Y(s)= +

s s+1 s+2

t

y(t)= 1+e 2e u(t)

2t

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

2s+5

s²+2s+5

H(s)=

Nếu chọn m=1, k=5, b=2 

1 2s+5

s s²+2s+5

Y(s)=X(s)H(s)=

t

y(t)= 1 e (cos2t sin2t) u(t)

1

2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

 Xác định giá bắt đầu và giá trị xác lập của đáp ứng

y(0 ) lim[sY(s)]

s

limy(t) lim[sY(s)]

t

s 0

3s+2

s s²+3s+2

Y(s)=

Ví dụ:

3s 2

s s²3s 2

y(0 ) lims

0

s

3s 2

s s²3s 2

lim y(t) lims

1

t

s 0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.3. Tính ổn định của hệ thống LTI mô tả bởi PTVP

 Các poles của hàm truyền H(s) chính là nghiệm của PTĐT (xem

lại chương 2) nên tính ổn định của hệ thống tùy thuộc vào vị trí của

các poles trong mặt phẳng phức

 Hệ thống ổn định tiệm cận nếu: tất cả các poles nằm ở LHP

 Hệ thống ổn định biên nếu: không có pole nào ở RHP và có poles

đơn trên trục ảo

 Hệ thống không ổn định nếu có

một trong 2 ĐK: có pole ở RHP hoặc

có pole lặp trên trục ảo.

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3. Sơ đồ khối và thực hiện hệ thống

6.3.1. Thực hiện hệ thống ở mức sơ đồ khối

6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch điện Op-amp

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3.1. Thực hiện hệ thống ở mức sơ đồ khối

b_ms^m+b_m-1s^m-1+...+b₁s+b₀

H(s)=

 Xét hệ thống với hàm truyền:

sⁿ+a_n-1s^n-1+...+a₁s+a₀

 Ta có thể thực hiện hệ thống theo 3 cách khác nhau:

a) Dạng trực tiếp

b) Dạng ghép liên tầng

c) Dạng ghép song song

 Dựa trên cơ sở bộ tích phân hoặc vi phân + khuếch đại & bộ cộng

 Thực tế không dùng bộ vi phân  không ổn định!!!

 Nếu m>n  H(s) là bộ vi phân bậc m-n  không xét trên thực tế!!!

 Bài toán tổng quát trên thực tế m n – tổng quát m=n:

b_nsⁿ+b_n-1s^n-1+...+b₁s+b₀

H(s)=

sⁿ+a_n-1s^n-1+...+a₁s+a₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Dạng trực tiếp (dạng chính tắc)

b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀

H(s)=

 Xét hàm truyền bậc 3:

s³+a₂s²+a₁s+a₀

b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀

s³+a₂s²+a₁s+a₀

F(s)

Y(s)

1

X(s)

b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀

Y(s)

s³+a₂s²+a₁s+a₀

H₁(s)=X(s)/F(s)

H₂(s)=Y(s)/X(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Dạng trực tiếp (dạng chính tắc)

1

X(s)

Y(s)

X(s)

H₁(s)=

H₂(s)=b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀

s³+a₂s²+a₁s+a₀F(s)

s³X (s)

b₃

F(s)

Y(s)

-

s

a₂

a₁

b₂

s²X (s)

s

b

1

sX(s)

X(s)

a₀

b₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Dạng trực tiếp (dạng chính tắc)

b_nsⁿ+b_n-1s^n-1+...+b₁s+b₀

sⁿ+a_n-1s^n-1+...+a₁s+a₀

 Tổng quát cho hàm truyền bậc n:

H(s)=

sⁿX (s)

b_n

F(s)

Y(s)

-

- -

s

b_{n 1}

a_{n 1}

s^{n 1}X (s)

s

a_{n k}

s^{n k}X (s)

b_{n k}

s

sX(s)

X(s)

a₁

a₀

b

1

s

b₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Bài 11