Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Phân tích hệ thống LTI trong miền thời gian

Ch-2: Phân tích hệ thống LTI trong miền thời gian

Lecture-4

2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống

2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

 Trên thực tế tồn tại rất nhiều hệ thống mô tả bởi PTVP hệ số hằng

. Ví dụ: phương trình xác định mối quan hệ của vận tốc và lực kéo

tác dụng lên xe

dv(t)

m

+Kv(t)=f(t)

Kv(t)

f(t)

dt

dv(t)

m=1000kg; K=300N/(m/s)

1000

+300v(t)=f(t)

Giả sử:

dt

. Tổng quát phương trình VP mô tả cho hệ thống có dạng:

dⁿy(t)

dt

ⁿ

d^n-1y(t)

dt

^n-1

m

dy(t)

dt

d^kf(t)

d^mf(t)

dt

^m

d^m-1f(t)

dt

^m-1

df(t)

dt

+a_n-1

+...+a₁

+a₀y(t)=b_m

+b_m-1

+...+b₁

+b₀f(t)

d^ky(t)

dt^k

n

m

[ a_kD^k]y(t) [ b_kD^k]f(t)

a_n=1; n m

a_k

k=0

b_k

dt^k

k=0

Q(D)y(t) P(D)f(t)

Q(D)

P(D)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

 Giải phương trình để xác định đáp ứng: thường dùng phương pháp

tích phân kinh điển: tổng của 2 đáp ứng tự do & cưỡng bức

 Đáp ứng tự do: đáp ứng bởi các tác nhân nội tại bên trong hệ thống,

thường là do năng lượng tích trữ & tín hiệu vào

 Đáp ứng cưỡng bức (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào của

hệ thống

dv(t)

dt

3

 Ví dụ:

1000

+300v(t)=f(t)

+0.3v(t)=10 f(t)

dt

2t

Với:

f(t)=5000e u(t)

. Bước 1: xác định đáp ứng cưỡng bức v_cb(t)=Ke^-2tkhi t>0

2t

-2Ke 0.3Ke 5e

v_cb(t)= 2.94e

K= 2.94

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

. Bước 2: xác định đáp ứng tự do v_td(t)  giải pt thuần nhất

dv_td(t)

+0.3v_td(t)=0

dt

Phương trình đặc trưng: +0.3=0 = 0.3

0.3t

v_td(t)=K₁e

. Bước 3: xác định đáp ứng tổng

0.3t

2t

v(t)=v_td(t)+v_cb(t)=K₁e

2.94e

 Điều kiện đầu: HT LTI nhân quả

HT phải ở trạng thái nghỉ

dy(0)

dt

dy^n-1(0)

y(0)=

...

0

dt^n-1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

Áp dụng cho ví dụ trước ta được v(0)=0

K₁2.94 0

0.3t

2t

K₁2.94

v(t)=2.94(e

e );t>0

0.3t

2t

v(t)=2.94(e

e )u(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống

a) Phương pháp tính trực tiếp

b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Phương pháp tính trực tiếp

 Xét hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi PTVP

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Phương pháp tính trực tiếp

 Trình tự xác định h(t):

. Xét phương trình Q(D)h_a(t)= (t) khi t>0, tức t=0⁺trở đi

nên h_a(t) là nghiệm của phương trình thuần nhất Q(D)h_a(t)=0

các hằng số trong h_a(t) sẽ được xác định dùng điều kiện đầu tại t=0⁺.

. Do hệ thống ở trạng thái nghỉ nên

n 1

dh_a(0 ) dh_a(0 )

h_a(0 )=

...

0

dt

dt^{n 1}

d^kh_a(t)

dt^k

n

a_k

= (t); a_n1

Q(D)h (t)= (t)

Từ phương trình:

a

k=0

d^k-1h_a(t)

Kết luận:

; k=1  n-1 phải là hàm liên tục tại 0, suy ra:

dt

^k-1

d^kh_a(t) d^{k 1}h_a(0⁺) d^{k 1}h_a(0 )

dt

d^{k 1}h_a(0⁺)

dt^{k 1}

0

dt^k

dt^{k 1}

0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Phương pháp tính trực tiếp

d^kh_a(t)

dt^k

n

Lấy tích phân từ 0^-tới 0⁺hai vế phương trình:

a_k

= (t)

k=0

dⁿh_a(t)

dtⁿ

d^n-1h_a(0⁺)

dt^n-1

0

a_n

dt 1

1/a_n1

Suy ra:

0

Vậy điều kiện đầu để xác định h_a(t) là:

d^n-1h_a(0⁺)

dt^n-1

d^{k 1}h_a(0⁺)

dt^{k 1}

1

;

0, k=1 n 1

h(t)=P(D)h_a(t)

. Xác định

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Phương pháp tính trực tiếp

 Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT nhân quả được mô tả bởi PTVP

(D+2)y(t)=(3D+5)f(t)

. Bước 1: Xác định h_a(t)

Do HT nhân quả nên h_a(t)=0 khi t<0

2t

Khi t>0: h_a(t) là nghiệm của PT

(D+2)h_a(t)=0

h_a(t)=Ke

h_a(0⁺)=K=1

h_a(t)=e u(t)

2t

Áp dụng ĐK đầu tại 0⁺:

. Bước 2: Xác định h(t)

dh_a(t)

h(t)=P(D)h_a(t)=3

dt

+5h_a(t)

2t

h(t)=(3D+5)e u(t) 3δ(t) e u(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)

Sơ đồ hệ thống tính đáp ứng xung theo u(t)

Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT được mô tả bởi PTVP:

(D²+3D+2)y(t)=Df(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống

Q(λ)=λⁿ+a_n-1λ^n-1+....a₁λ+a₀

 Đa thức đặc trưng của hệ thống:

 Nghiệm của Q( )=0 quyết định tính ổn định của hệ thống:

t

0

Img

t

Re{ }<0

LHP

Re{ }>0

t

0

Real

RHP

t

0

t

0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống

 Kết luận:

. Hệ thống ổn định tiệm cận khi tất cả các nghiệm của PT đặc trưng

nằm bên trái của mặt phẳng phức

. Hệ thống ổn biên khi có nghiệm đơn trên trục ảo và các nghiệm còn

lại nằm ở nữa trái của MP phức

. Hệ thống không ổn định khi có nghiệm nằm ở nữa phải hoặc

nghiệm

bội trên trục ảo

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Phân tích hệ thống LTI trong miền thời gian - Bài 4