Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự

Ch-7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự

Lecture-14

7.3. Bộ lọc Butterworth

7.4. Bộ lọc Chebyshev

7.5. Các phép biến đổi tần số

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.2. Bộ lọc Butterworth

Trên thực tế người ta tìm được các phép biến đổi để thiết

kế bộ lọc thông cao, thông dãi, chắn dãi dựa vào bộ lọc

thông thấp  Tập trung khảo sát thiết kế bộ lọc thông

thấp (xem như bộ lọc mẫu – Prototype Filter)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Butterworth bậc n:

1

|H(jω)|=

2n

ω

1+

ω_c

. Tại tần số , đáp ứng biên độ bằng 1/(2)^1/2hoặc -3dB  công

c

suất suy giảm ½ : gọi là tần số cắt, tần số 3dB hoặc tần số ½

công suất

 Yêu cầu thiết kế:

. Chỉ rỏ

p

. Chỉ rỏ G( ) G_p

p

. Chỉ rỏ

s

. Chỉ rỏ G( ) G_s

s

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

 Xác định bậc n của bộ lọc và theo các yêu cầu thiết kế:

c

2n

ω_x

ω_c

G(ω_x) 10log₁₀1+

G(ω_p)= 10log₁₀1+

. Độ lợi (dB) tại tần số :

x

2n

ω_p

ω_c

G_p

G_s

. Độ lợi (dB) tại tần số :

p

2n

ω_s

ω_c

G(ω_s) 10log₁₀1+

. Độ lợi (dB) tại tần số :

s

2n

G_p/10

p

G_s/10

10

1

2n

10

s

1

c

2n

G_p/10

p

G_s/10

s

10

1

10

1

c

G_p/10

G_s/10

log (10

1)/(10

1)

n

2log( / )

s

p

s

c

G_p/10

G_s/10

(10 1)^1/2n

(10

1)^1/2n

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

 Xác định hàm truyền H(s) bậc n:

. Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa ( =1) như sau:

c

1

| H( j ) |

2n

1

. Suy ra H(s) khi biết hàm truyền của đáp ứng chuẩn hóa:

s s/

c

H(s)

H (s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

 Xác định hàm truyền bậc n của bộ lọc chuẩn hóa:

. Xác định các poles của bộ lọc chuẩn hóa:

1

H( j )H( j )

2n

1

s j

1

H(s)H( s)

1 (s/ j)²ⁿ

s²ⁿ

( j)²ⁿ

Các poles của H(s)H(-s) phải thỏa:

1

e

^{j (2k 1)}

j e^{j / 2}

s

²ⁿ

e

^{j (2k n 1)}

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

Vậy các poles của H(s)H(-s) là:

(2k n 1)

j

s_ke²ⁿ;k 1,2,3,...,2n

Im

j

H(s)

H(-s)

H(s)

H(-s)

n

1

2n

-1

Re

-1

Re

-j

j

2n

(2k n 1)

Kết luận: n poles của H(s):

s_ke ;k 1,2,3,...,n

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

. Hàm truyền H(s) có dạng:

1

H(s)

(s s₁)(s s₂)(s s₃)...(s s_n)

j

(2k n 1)

s_ke²ⁿ;k 1,2,3,...,n

Im

j

s₁

Ví dụ: xét trường hợp n=4

s₁e^{j5 /8}

s₂e^{j7 /8}

s₃e^{j9 /8}

s₄e^{j11 /8}

0.3827 j0.9239

0.9239 j0.3827

0.3827 j0.9239

s₂

Re

-1

s₃

-j

s₄

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

1

H(s)

(

s

0.3827

j

0.9239)(

s

0.3827

j

0.9239)(

s

0.9239

j

0.3827)(

s

0.9239

j

0.3827)

1

H(s)

(s²0.7654s 1)(s²1.8478s 1)

1

H(s)

s

⁴

2.6131

s

³

3.4142

s

²

2.6131

s

1

Làm tương tự ta có thể tính được cho trường hợp bậc n bất kỳ:

1

H(s)

B_n(s) sⁿa_{n 1}s^{n 1}... a₁s 1

B_n(s): Gọi là đa thức Butterworth!!!

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

Coefficients of Butterworth Polynominal B_n(s)=sⁿ+a_n-1s^n-1+…+a₁s+1

n

a₁

a₂

a₃

a₄

a₅

a₆

a₇

a₈

a₉

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

Butterworth Polynominal in Factorized Form

n

B_n(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth:

Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa mãn các yêu cầu

sau: Độ lợi dãi thông (0 <10) không nhỏ hơn -2dB; độ lợi dãi

chắn ( 20) không vượt quá -20dB

G_p/10

G_s/10

log (10

1)/(10

1)

n

. Bước 1: Xác định

2log( / )

s

p

. Bước 2: Xác định :

c

p

s

c

G_p/10

G_s/10

(10 1)^1/2n

(10

1)^1/2n

. Bước 3: Xác định H(s): dùng n (bước 1) tra bảng (hoặc tính)

s s/

c

. Bước 4: Xác định H(s):

H(s)

H (s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.3. Bộ lọc Butterworth

log (10²1)/(10^0.21)

2log2

10

. Bước 1:

. Bước 2:

n

3.701

 chọn n=4

10.694

11.26

8

c

(10^0.21)^1/8

20

 chọn =11

c

(10²1)^1/8

10

11

G( ) 10log₁₀1

p

1.66dB 2dB

8

20

11

G( ) 10log₁₀1

s

20.8dB 20dB

1

H(s)

. Bước 3:

. Bước 4:

(s²0.76536686s 1)(s²1.84775907s 1)

1

H(s)

2

s

11

s

11

s

11

s

11

[

0.76536686

1][

1.84775907

1]

14641

(s²8.41903546s 121)(s²20.32534977s 121)

H(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.4. Bộ lọc Chebyshev

 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Chebyshev:

1

2 2

| H( j ) |

1 C_n( )

c

. Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa ( =1):

c

1

2 2

1 C_n( )

| H( j ) |

. Vậy khi có H(s)  H(s) bằng cách:

s s/

c

H(s)

H (s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.4. Bộ lọc Chebyshev

 Xét đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp chuẩn hóa Chebyshev :

1

| H( j ) |

2 2

1 C_n( )

1

C_n( ) cos ncos

;| | 1

1

C_n( ) cosh ncosh

;| | 1

C_n( ) là một đa thức thỏa tính chất sau:

C_n( ) 2 C_{n 1}( ) C_{n 2}( );n 2

C₂( ) 2 1

2

C₀( ) 1

C₁( )

Có:

và

Một cách tương tự ta có thể tính được bảng C_n( )!!!

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.4. Bộ lọc Chebyshev

Chebyshev Polyminals

n

C_n( )

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.4. Bộ lọc Chebyshev

1

| H( j ) |

 Đáp ứng biên độ bộ lọc Chebyshev:

2

1 C_n²( )

Pass-band

p

c

Độ gợn r (Độ lơi max/Độ lơi min) trong dãi thông:

2

r 10log (1 )

(dB)

10

-r G_p(Butterworth)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.4. Bộ lọc Chebyshev

 Xác định và bậc(n) của bộ lọc Chebyshev thỏa yêu cầu thiết kế:

2

10log₁₀(1 ) r

10^{r /10}1

r

. Xác định :

design

2 2

. Độ lợi tại tần số : G 10log₁₀[1 C_n( )]

p

2 2

10log₁₀[1 C_n( )]

s

. Độ lợi tại tần số :

G_s

s

p

1/2

G_s/10

10 1

1

s

cosh ncosh

10^{r /10}1

p

1/ 2

G_s/10

10 1

1

cosh /

1

n

cosh

10^{r /10}1

1

s

p

G_s/10

10 1

1

cosh[ncosh ( / )]

s

p

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.4. Bộ lọc Chebyshev

 Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc:

Người ta tính được các poles của H(s) như sau:

(2k 1)

2n

(2k 1)

2n

s_ksin

sinh x jcos

cosh x

k 1,2,3,...,n

Im

H(s)

H(-s)

1

x sinh

n

60⁰

a sinh x;b cosh x

Re

60⁰

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7.4. Bộ lọc Chebyshev

K_n

(s s₁)(s s₂)...(s s_n)

K_nK_n

C_n^'(s) sⁿa_{n 1}s^{n 1}... a₁s a₀

H(s)

K_nđược lựa chọn để bảo đảm độ lợi DC:

a₀n odd

K_n

a₀

n even

2

1

Để việc thiết kế được đơn giản, người ta thành lập bảng C’_n(s)

hoặc giá trị của các poles với một số độ gợn r thường gặp 

Tra bảng!!!

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự - Bài 14