Giáo trình Toán rời rạc - Bài: Định lý Ramsey - Trần Vĩnh Đức
Định lý Ramsey
Trần Vĩnh Đức
HUST
Khẳng định
Trong số 6 người luôn có ba người đôi một quen nhau hoặc ba
người đôi một lạ nhau.
party 50 years
after graduation
lonely hearts
party
party of
admirers
meeting of two
mafia bosses
Bài tập
Hãy chứng minh rằng trong 9 người luôn có 3 người đôi một quen
nhau hoặc 4 người đôi một không quen nhau.
Lý thuyết Ramsey
Lý thuyết Ramsey, theo tên
của nhà toán học người
Anh, Frank Plumpton
Ramsey.
Hình: F. P. Ramsey (1903-1930)
Khẳng định
Trong sáu người bất kỳ luôn tồn tại ba người sao cho hoặc là họ
quen nhau từng đôi một hoặc họ không quen nhau từng đôi một.
Viết lại khẳng định trên một cách ngắn gọn dùng ký hiệu ”mũi
tên” như sau:
K6 → K3, K3
với ý nghĩa
▶
K6= “6 đối tượng và 15 cặp không thứ tự để thể hiện quan
hệ (quen hoặc lạ) giữa các đối tượng này”
▶
K3, K3 = “Ba đối tượng quen nhau từng đôi một”, “Ba đối
tượng không quen nhau từng đôi một”
Ký hiệu Kn
Kn = “một tập n đối tượng và mọi cặp không thứ tự
(cạnh) các đối tượng này”
Ký hiệu mũi tên
▶
Nếu ta xem mỗi cặp không thứ tự như một cạnh. Cặp đối
tượng quen nhau xem như cạnh tô màu xanh. Cặp đối tượng
không quen nhau như các cạnh tô màu đỏ.
▶
Vậy
K6 → K3, K3
có nghĩa là
“Dù có tô xanh đỏ các cạnh của K6 ta luôn tìm được
một K3 có toàn cạnh đỏ hoặc một K3 toàn cạnh xanh”
Chứng minh K6 → K3, K3
▶
Xét một đối tượng p của K6. Vì có 5 cạnh liên quan đến p có
mầu đỏ hoặc xanh nên có ít nhất 3 cạnh cùng màu. Ta giả sử
3 cạnh này cùng màu đỏ. (Nếu màu xanh ta lập luận tương
tự.) Có ba đối tượng a, b, c nối với p qua ba cạnh đỏ này.
a
▶
Bây giờ, nếu tồn tại một cạnh nối giữa
a − b hoặc a − c hoặc b − c có màu đỏ,
p
b
c
vậy ta được một K3 đỏ.
▶
Nếu không thì ta được K3 xanh liên
quan đến a, b, c.
K5
̸
Khẳng định
K5 → K3, K3
là sai vì có cách tô màu cạnh K5 không tạo ra K3 đỏ hoặc K3
xanh.
Câu hỏi
Giả sử Kn → Ka, Kb. Giải thích tại sao Kp → Ka, Kb với mọi
p > n.
Câu hỏi
▶
Chứng minh rằng Kb → K2, Kb.
Chứng minh rằng Kb−1 ̸→ K2, Kb.
▶
Câu hỏi
Chứng minh rằng K11 → K3, K4.
Định lý (Ramsey)
Với hai số nguyên m ≥ 2 và n ≥ 2, luôn tồn tại một số nguyên
dương p sao cho
Kp → Km, Kn.
Cho trước số nguyên m và n, luôn có số nguyên dương
p sao cho, nếu tô màu xanh hoặc đỏ lên cạnh của Kp thì
luôn tìm được hoặc một Km đỏ hoặc một Kn xanh.
Rõ ràng, với mọi q ≥ p ta luôn có
Kp → Km, Kn
⇒
Kq → Km, Kn.
Số Ramsey
▶
Số nguyên p nhỏ nhất sao cho
Kp → Km, Kn
gọi là số Ramsey.
Số Ramsey p này được ký hiệu là r(m, n).
▶
Ví dụ
Ta có r(3, 3) = 6 vì
K6 → K3, K3 và K5 ̸→ K3, K3.
Câu hỏi
Giải thích tại sao ta luôn có r(a, b) = r(b, a).
Bài tập
Tính các số Ramsey sau
1. r(2, n) = r(n, 2)
2. r(3, 4) = r(4, 3)
3. r(3, 5) = r(5, 3)
Định lý (Ramsey, dạng đơn giản)
Với hai số nguyên m ≥ 2 và n ≥ 2, luôn tồn tại một số nguyên
dương p sao cho
Kp → Km, Kn
Chứng minh định lý Ramsey
▶
Ta chỉ ra sự tồn tại của r(m, n) bằng quy nạp theo cả m và n.
▶
Bước cơ sở:
▶
Nếu m = 2 thì r(2, n) = n,
▶
nếu n = 2 thì r(m, 2) = m.
Bước quy nạp
▶
Giả sử rằng m ≥ 3 và n ≥ 3 và tồn tại cả
r(m, n − 1) và r(m − 1, n)
.
▶
Đặt
p = r(m − 1, n) + r(m, n − 1)
▶
Ta sẽ chỉ ra rằng Kp → Km, Kn.
Chứng minh Kp → Km, Kn
▶
Xét một điểm x của Kp. Đăt Rx là tập điểm nối với x bằng
một cạnh màu đỏ, và Bx là tập điểm nối với x bởi một cạnh
màu xanh.
Vậy
▶
|Rx| + |Bx| = p − 1
= r(m − 1, n) + r(m, n − 1) − 1
chỉ ra rằng
1. |Rx| ≥ r(m − 1, n), hoặc
2. |Bx| ≥ r(m, n − 1).
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
21580
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán rời rạc - Bài: Định lý Ramsey - Trần Vĩnh Đức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_toan_roi_rac_bai_dinh_ly_ramsey_tran_vinh_duc.pdf
