Giáo trình Giải tích 1 - Bùi Xuân Diệu
BÙI XUÂN DIỆU
KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG
Bài Giảng
GIẢI TÍCH I
(lưu hành nội bộ)
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải
Hà Nội- 2009
MỤC LỤC
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5
Chương 1 . Hàm số một biến số (13LT+13BT). . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N, Z, Q, R . . . . . . . . . . . . . . . .
Trị tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ
3.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5
5
7
4
5
6
Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Vô cùng lớn, vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.1
6.2
6.3
Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7
8
9
Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.1
9.2
Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Qui tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10 Các lược đồ khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số . . . . . . . . . . . 34
10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . 35
10.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 2 . Phép tính tích phân một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2
MỤC LỤC
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Nguyên hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tích phân các biểu thức vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Các tiêu chuẩn khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) . . . . . . . . . . . . 51
Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3
4
Các ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1
3.2
3.3
3.4
Tính diện tích hình phằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn . . . . . . . . . . . . . 69
Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . . . . . 70
Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chương 3 . Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1
Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1
1.2
1.3
Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Tính liên tục của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2
Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Đạo hàm theo hướng - Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3
Cực trị của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2
MỤC LỤC
3
3.2
3.3
Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
4
MỤC LỤC
4
CHƯƠNG
1
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT)
§1. SƠ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ LÔGIC; CÁC TẬP SỐ:
N, Z, Q, R
1. Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần này Đại số đã dạy) mà chỉ nhắc lại những
phép suy luận cơ bản thông qua bài giảng các nội dung khác nếu thấy cần thiết.
2. Giới thiệu các tập số; cần nói rõ tập Q tuy đã rộng hơn Z nhưng vẫn chưa lấp đầy
trục số còn tập R đã lấp đầy trục số và chứa tất cả các giới hạn của các dãy số hội tụ,
ta có bao hàm thức
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
§2. TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT
Nhắc lại định nghĩa và nêu các tính chất sau
• |x| ≥ 0, |x| = 0 ⇐⇒ x = 0, |x + y| ≤ |x| + |y|;
• |x − y| ≥ ||x| − |y|| , |x| ≥ A ⇐⇒ x ≥ A hoặc x ≤ −A
• |x| ≤ B ⇐⇒ −B ≤ x ≤ B.
5
6
Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
§3. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ VÀ
CÁC KHÁI NIỆM: HÀM CHẴN, HÀM LẺ, HÀM TUẦN
HOÀN, HÀM HỢP, HÀM NGƯỢC
1. Định nghĩa hàm số:
Nhắc lại định nghĩa ở phổ thông. Chú ý nếu viết dưới dạng ánh xạ f : X → R thì tập
xác định đã rõ chính là X còn biểu thức của f (dưới dạng biểu thức giải tích) là chưa
rõ, có thể không tìm được biểu thức ấy. Còn nếu hàm số được cho dưới dạng biểu thức
giải tích thì cần phải xác định rõ miền xác định của hàm số. Trong chương trình chỉ
tập trung vào cách cho hàm số dạng một hay nhiều biểu thức giải tích.
Một số hàm Dirichlet, dấu, phần nguyên có thể nêu dưới dạng ví dụ hay thể hiện qua
các phần dạy khác.
Tập giá trị của hàm số:
2. Hàm số đơn điệu
3. Hàm số bị chặn (chặn trên, chặn dưới, bị chặn).
4. Hàm chẵn, hàm lẻ (tính chất của đồ thị và kết quả f (x) = hàm chẵn + hàm lẻ).
5. Hàm tuần hoàn:
Nêu qua định nghĩa, ví dụ là các hàm số lượng giác.
Trong phạm vi chương trình chủ yếu là xem có số T = 0(T > 0) nào đó thỏa mãn
f (x + T) = f (x) mà không đi sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > 0 bé nhất).
6. Hàm hợp: định nghĩa và ví dụ.
7. Hàm ngược:
(a) Định nghĩa
(b) Mối quan hệ giữa đồ thị của hai hàm
(c) Định lý về điều kiện đủ để tồn tại hàm ngược, (tăng hay giảm)
(d) Trên cơ sở định lý trên xây dựng các hàm số lượng giác ngược và vẽ đồ thị của
chúng. Ở phổ thông học sinh đã biết y = ax, y = loga x là các hàm ngược của
nhau
8. Hàm số sơ cấp
6
3. Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm
tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược
7
(a) Nêu các hàm số sơ cấp cơ bản:
y = xα, y = ax, y = loga x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x.
(b) Định nghĩa hàm số sơ cấp:
Nêu ví dụ về 3 lớp hàm sơ cấp: đa thức, phân thức hữu tỷ, hyperbolic.
3.1 Bài tập
Bài tập 1.1. Tìm TXĐ của hàm số
q
2x
4
a) y = lg(tan x)
b) y = arcsin
1 + x
d) y = arccos(2 sin x)
√
x
c) y =
sin πx
Lời giải.
a. TXĐ = {π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ, k ∈ Z} b. TXĐ = {−1/3 ≤ x ≤ 1}
π
π
c. TXĐ = {x ≥ 0, x ∈ Z}
d. TXĐ = {− + kπ ≤ x ≤ + kπ, k ∈ Z}
6
6
Bài tập 1.2. Tìm miền giá trị của hàm số
ꢀ
ꢁ
x
a. y = lg(1 − 2 cos x)
b. y = arcsin lg
10
Lời giải. a. MGT = {−∞ ≤ y ≤ lg 3}
Bài tập 1.3. Tìm f (x) biết
b. MGT = {−π/2 ≤ y ≤ π/2}
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
1
1
x
a. f x +
= x2 +
b. f
= x2.
x
x2
1 + x
ꢂ
ꢃ
2 ∀x = 1.
x
Lời giải. a. ĐS : f (x) = x2 − 2 với |x| ≥ 2.
b. ĐS: f (x) =
1 − x
Bài tập 1.4. Tìm hàm ngược của hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược)
1 − x
1 + x
1
a. y = 2x + 3.
b. y =
c. y = (ex + e−x)
2
1
a) ĐS : y = x −
2
3
2
Lời giải.
1 − x
b) ĐS : y = y =
1 + x
7
8
Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
1
c) Ta có y0 = (ex − e−x) nên hàm số đã cho không là một đơn ánh. Ta phải xét trên 2
2
miền:
p
p
1
Trên miền x ≥ 0, từ y = (ex + e−x)⇒ex = y
y2 − 1⇒x = ln(y + y2 − 1). Ta
2
có song ánh:
[0, +∞) → [1, +∞)
1
x → y = (ex + e−x)
2
q
ln(y + y2 − 1) ← y
√
Vậy hàm ngược trên miền x ≥ 0 là y = ln(x + x2 − 1), x ≥ 1.
√
Trên miền x ≤ 0, tương tự ta có hàm ngược là y = ln(x − x2 − 1), x ≤ 1.
Bài tập 1.5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a. f (x) = ax + a−x(a > 0)
√
b. f (x) = ln(x + 1 − x2)
c. f (x) = sin x + cos x
Lời giải.
a. ĐS: hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b. ĐS: hàm số đã cho là hàm số lẻ.
c. ĐS: hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Bài tập 1.6. Chứng minh rằng bất kì hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng đối
xứng (−a, a) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và
một hàm số lẻ.
Lời giải. Với mỗi f (x) bất kì ta luôn có
1
1
f (x) = [f (x) + f (−x)] + [f (x) − f (−x)]
2
2
|
{z
}
|
{z
}
g(x)
h(x)
trong đó g(x) là một hàm số chẵn, còn h(x) là một hàm số lẻ.
Bài tập 1.7. Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau (nếu có)
a. f (x) = A cos λx + B sin λx
8
3. Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm
tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược
9
1
1
b. f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x
2
3
c. f (x) = sin2 x
d. f (x) = sin(x2)
Lời giải.
a) Giả sử T > 0 là một chu kì của hàm số đã cho. Khi đó
f (x + T) = f (x)∀x ∈ R
⇔A cos λ(x + T) + B sin λ(x + T) = A cos λx + B sin λx ∀x ∈ R
⇔A[cos λx − cos λ(x + T)] + B[sin λx − sin λ(x + T)] = 0 ∀x ∈ R
−λT
λT
λT
⇔2 sin
[A sin(λx +
) + B cos(λx +
)] = 0 ∀x ∈ R
2
2
2
λT
⇔ sin
= 0
2
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
2kπ
⇔ T =
.
λ
2π
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T =
.
|λ|
b. Theo câu a) thì hàm số sin x tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số sin 2x tuần hoàn với
2π
1
1
chu kì π, hàm số sin 3x tuần hoàn với chu kì
tuần hoàn với chu kì T = 2π
. Vậy f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x
3
2
3
1 − cos 2x
c. f (x) = sin2 x =
tuần hoàn với chu kì T = π
2
d. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T > 0.Khi đó
sin(x + T)2 = sin(x2)∀x.
√
1. Cho x = 0⇒T = kπ, k ∈ Z, k > 0.
√
2. Cho x = π⇒k là số chính phương. Giả sử k = l2, l ∈ Z, l > 0.
r
π
3. Cho x =
ta suy ra điều mâu thuẫn.
2
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
Bài tập 1.8. Cho f (x) = ax + b, f (0) = −2, f (3) = −5. Tìm f (x).
7
Lời giải. ĐS: f (x) = x − 2.
3
Bài tập 1.9. Cho f (x) = ax2 + bx + c, f (−2) = 0, f (0) = 1, f (1) = 5. Tìm f (x).
9
10
Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
7
17
Lời giải. ĐS: f (x) = x2 + x + 1.
6
6
1
Bài tập 1.10. Cho f (x) = (ax + a−x), a > 0. Chứng minh rằng :
2
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y).
Bài tập 1.11. Giả sử f (x) + f (y) = f (z). Xác định z nếu:
a. f (x) = ax, a = 0.
b. f (x) = arctan x
1
c. f (x) =
x
1 + x
d. f (x) = lg
1 − x
Lời giải.
x + y
a. ĐS: z = x + y
b. ĐS: z =
d. ĐS: z =
1 − xy
x + y
xy
c. ĐS: z =
x + y
1 + xy
§4. DÃY SỐ
Định nghĩa dãy số, các khái niệm về dãy đơn điệu, bị chặn, giới hạn và các phép toán.
Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn (tiêu chuẩn kẹp, tiêu chuẩn đơn điệu, tiêu chuẩn Cauchy).
1. Nhắc lại định nghĩa dãy số và các khái niệm về dãy bị chặn, đơn điệu
2. Định nghĩa giới hạn dãy số và nêu một ví dụ. Các khái niệm về dãy số hội tụ, phân
kỳ. Nêu tính chất giới hạn nếu có là duy nhất, mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
3. Các phép toán
4. Ý tưởng về giới hạn ∞
5. Các tiêu chuẩn hội tụ
(a) Đơn điệu bị chặn, ví dụ mô tả số e.
(b) Tiêu chuẩn kẹp
(c) Định nghĩa dãy Cauchy, tiêu chuẩn Cauchy. Nêu ví dụ dãy (an):
1
1
1
an = 1 + + + · · · +
phân kỳ.
2
3
n
10
4. Dãy số
11
4.1 Bài tập
Bài tập 1.12. Tìm giới hạn của các dãy số sau:
q
p
p
3
a. xn = n − n2 − n
b. xn = n(n + a) − n
c. xn = n + 1 − n3
n
d. xn = sin
2
nπ
sin2 n − cos3 n
e. xn =
2
n
1
a
Lời giải.
a. ĐS:
b. ĐS:
c. ĐS: 0
, x0 = 1.
d. ĐS: phân kì
e. ĐS: 0
2
2
1
Bài tập 1.13. Xét dãy số xn = xn−1
+
xn−1
a. Chứng minh rằng dãy {xn} không có giới hạn hữu hạn.
b. Chứng minh rằng lim xn = +∞.
n→∞
1
Bài tập 1.14. Xét un = (1 + )n.Chứng minh rằng {un} là một dãy số tăng và bị chặn.
n
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
r
1
1
1
1 + (1 + ) + . . . + (1 + ) ≥ (n + 1) n+1 (1 + )n.
n
n
n
1
1
≥ (1 + )n
n
n+1
⇒(1 +
)
n + 1
Hơn nữa ta có
n
1
1
nk
un = (1 + )n =
Ck.
∑
n
n
k=0
k! = 1.2 . . . k ≥ 2k−1∀k ≥ 2
1
nk
n.(n − 1) . . . (n − k + 1) 1
1
1
⇒Cnk.
=
.
<
≤
2k−1
nk
k!
k!
1
1
1
2k−1
⇒un < 1 + 1 + + + . . . +
22
< 3.
2
1
1
Bài tập 1.15. Cho sn = 1 + + . . . + .Chứng minh rằng {sn} tăng và bị chặn.
1! n!
Lời giải. Chú ý : lim un = lim sn = e.
n→+∞
n→+∞
1 + a + . . . + an
Bài tập 1.16. Tính lim
n ; |a| < 1, |b| < 1.
n→+∞
1 + b + . . . + b
11
12
Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
Lời giải.
1 + a + . . . + an
1 − an+1 1 − b
1 − b
1 − a
lim
= lim
.
=
n
1 − a 1 − bn+1
n→+∞
n→+∞
1 + b + . . . + b
q
p
√
Bài tập 1.17. Tính lim
2 + 2 + . . . + 2 (n dấu căn).
n→+∞
q
p
√
Lời giải. Đặt un = 2 + 2 + . . . + 2 ta có u2n+1 = 2 + un. Trước hết chứng minh {un}
là một dãy số tăng và bị chặn, 0 ≤ un ≤ 2. Theo tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn, {un} là một
dãy số hội tụ. Giả sử lim un = a, 0 < a < 2 thì từ phương trình u2n+1 = 2 + un, cho n → ∞
n→∞
ta có
a2 = a + 2
q
p
√
Vậy a = 2 hay lim
2 + 2 + . . . + 2 = 2
n→+∞
√
Bài tập 1.18. Tính lim (n − n2 − 1) sin n.
n→+∞
√
sin n
Lời giải. lim (n − n2 − 1) sin n = lim
= 0 (theo tiêu chuẩn kẹp)
√
n→+∞ n + n2 − 1
n→+∞
Bài tập 1.19. Tính lim [cos(ln n) − cos(ln(n + 1))].
n→+∞
Lời giải. Ta có
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
ln n + ln(n + 1)
ln n − ln(n + 1)
cos(ln n) − cos(ln(n + 1)) = −2 sin
. sin
2
2
n
ln n+1
ln n(n + 1)
= −2 sin
sin
2
2
nên
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
n
ln n+1
2
ꢄ
ꢄ
ꢄ
0 ≤ |cos(ln n) − cos(ln(n + 1))| ≤ 2 sin
ꢄ
n
ln n+1
Mặt khác lim sin
= 0 nên theo nguyên lý giới hạn kẹp
n→∞
2
lim [cos(ln n) − cos(ln(n + 1))] = 0
n→+∞
n
Bài tập 1.20. Chứng minh rằng lim
= 0.
n
n→+∞
2
Lời giải.
n(n − 1)
n
2n
2
2n = (1 + 1)n >
⇒0 <
<
.
2
n − 1
Dùng nguyên lý kẹp ta có điều phải chứng minh.
12
5. Giới hạn hàm số
13
2n
Bài tập 1.21. Chứng minh rằng lim
= 0.
n→+∞
n!
Lời giải. Ta có
2n
2 2 2
2
2
0 <
= . . . . . < 2. ∀n ≥ 2
n!
1 2 3 n n
Bài tập 1.22. Tính
1
1
22
n
2n
a. lim ( +
+ . . . +
+ . . . +
)
)
n→+∞
2
1
1
32
n
3n
b. lim ( +
n→+∞
3
Lời giải. Gợi ý :
1
a. Tính Sn − Sn⇒ lim Sn = 2.
n→+∞
2
1
3
b. Tính Sn − Sn⇒ lim Sn = .
n→+∞
3
4
√
√
n
n
Bài tập 1.23. Chứng minh rằng lim
n = 1; lim
a = 1, a > 0.
α2n⇒α2n <
n→+∞
n→+∞
√
n(n − 1)
2
Lời giải. Đặt αn = n − 1⇒n = (1 + αn)n >
. Áp dụng nguyên
n
2
n − 1
√
n
lý giới hạn kẹp ta có lim αn = 0. Vậy lim n = 1.
n→∞
n→∞
1. Nếu a = 1, xong.
√
√
√
n
n
n
2. Nếu a > 1, 1 ≤ a ≤ n ∀n > a⇒ lim
a = 1
n→+∞
√
√
1
n
n
3. Nếu a < 1, đặt a0 = ⇒ lim a0 = 1⇒ lim
a = 1.
n→+∞
a
1
1
Bài tập 1.24. Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh rằng dãy số un = 1 + + . . . +
phân kì.
2
n
a1 + a2 + . . . an
Bài tập 1.25. Chứng minh rằng nếu lim an = a thì lim
= a.
n→+∞
n→+∞
n
√
n
Bài tập 1.26. Chứng minh rằng nếu lim an = a, an > 0∀n thì lim
a1.a2 . . . an = a.
n→+∞
n→+∞
13
14
Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
§5. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Định nghĩa giới hạn hàm số
(a) Nêu các định nghĩa: lim f (x) trong quá trình
x → xo, x → xo+, x → xo−, x → ∞
(b) Tính duy nhất của giới hạn
2. Các phép toán
3. Giới hạn của hàm hợp:
Nếu có lim u(x) = uo, lim f (u) = f (uo) và có hàm hợp f (u(x)) thì lim f (u(x)) =
x→xo
u→uo
x→xo
f (uo).
lim B(x) ln A(x)
Áp dụng lim A(x)B(x) = ex→x
.
o
x→xo
4. Giới hạn vô cùng
Bài tập 1.27. Tính
ꢂ ꢃ
x100 − 2x + 1
0
a. lim
x→1 x50 − 2x + 1
0
ꢂ ꢃ
(xn − an) − nan−1(x − a)
(x − a)2
0
0
b. lim
x→a
Pn(x)
(x − x0).Pn−1(x)
(x − x0).Qm−1(x)
Pn−1(x)
= lim
TQ : Pn(x0) = Qm(x0) = 0. lim
= lim
.
x→x0
x→x0
x→x0
Q
Qm(x)
m−1(x)
49
24
n(n − 1)
Lời giải. a. ĐS :
b. ĐS:
.an−2
2
Bài tập 1.28. Tìm giới hạn
q
p
x + x +
√
√
√
ꢀ
ꢁ
x
∞
∞
x
√
a. lim
ĐS : ∼
= 1
x→+∞
x
x + 1
√
b. lim ( 3 x3 + x2 − 1 − x) (∞ − ∞)
x→+∞
Lời giải.
a.
q
p
√
√
x + x +
√
x
x
x
√
lim
= lim
= 1
x→+∞
x + 1
b.
x2 − 1
1
3
p
lim ( 3 x3 + x2 − 1 − x) = lim
=
p
√
(x3 + x2 − 1)2 + x 3 x3 + x2 − 1 + x2
3
x→∞
x→+∞
14
6. Vô cùng lớn, vô cùng bé
15
§6. VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ
6.1 Vô cùng bé (VCB)
1. Định nghĩa; nêu mối liên hệ
lim f (x) = ` ⇐⇒ f (x) = ` + α(x);
x→a
trong đó α(x) − VCB trong quá trình x → a. Phân biệt với khái niệm rất bé.
2. Một số tính chất:
(a) Tổng hai VCB (đối với một VCB người ta không quan tâm đến dấu của nó).
(b) Tích của VCB với một đại lượng bị chặn.
(c) Tích các VCB.
3. So sánh các VCB trong cùng một quá trình
(a) VCB cùng bậc, VCB tương đương
Nêu các công thức thay tương đương hay dùng trong quá trình x → 0
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x
ax − 1
∼ ex − 1 ∼
∼ ln(a + x)
ln a
√
√
1
αx
m
m
1 + αx − 1 ∼ ln 1 + αx = ln (1 + αx) ∼
m
m
x2
1 − cos x ∼
.
2
(b) Vô cùng bé bậc cao
i. Định nghĩa
ii. Hiệu hai VCB tương đương
iii. Tích hai VCB
4. Qui tắc ngắt bỏ các VCB và qui tắc thay tương đương
(a) Nếu α ∼ α, β ∼ β thì
α
α
lim = lim ; lim (α.γ) = lim (α.γ)
β
β
α + α1
β + β1
α
β
(b) Nếu α1 = o (α) , β1 = o (β) thì lim
= lim
15
16
Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
5. Ứng dụng khử một số dạng vô định
Chú ý: Học sinh hay nhầm
• Thay tương đương khi có hiệu hai VCB
• Nếu f là một hàm, α ∼ α =⇒ f (α) ∼ f (α).
6.2 Vô cùng lớn (VCL)
1. Định nghĩa
2. Mối liên hệ giữa VCB và VCL. Từ đó suy ra các kết quả tương tự như đối với các
VCB.
3. Qui tắc thay tương đương và ngắt bỏ VCL.
ꢀ
ꢁ
∞
4. Ứng dụng khử dạng
.
∞
Chú ý: Còn tồn đọng một số dạng vô định, ví dụ
x − sin x
lim
; lim xsin x; . . .
x3
+
x→0
x→0
6.3 Bài tập
Bài tập 1.29. Tìm giới hạn
√
p
ꢂ ꢃ
m
n
1 + αx − 1 + βx
0
0
a. lim
x→0
x
√
p
ꢂ ꢃ
m
1 + αx. n 1 + βx − 1
0
b. lim
x→0
x
0
Lời giải.
a.
√
m
p
p
√
m
n
n
1 + αx − 1 + βx
1 + βx − 1
1 + αx − 1
=
−
x
x
x
√
p
α
β
m
n
Vì 1 + αx − 1 ∼ x, 1 + βx − 1 ∼ x, nên
m
n
√
p
m
n
1 + αx − 1 + βx
α
β
lim
=
−
x→0
x
m
n
b.
!
√
p
p
√
m
m
1 + αx. n 1 + βx − 1
1 + βx − 1
n
√
1 + αx − 1
α
β
m
lim
= lim
1 + αx.
+
=
+
x→0
x
x→0
x
x
m
n
16
6. Vô cùng lớn, vô cùng bé
17
Bài tập 1.30. Tìm giới hạn
ꢂ ꢃ
√
√
sin x − sin a
0
a. lim
b. lim (sin x + 1 − sin x)
x→a
x→+∞
x − a
0
√
√
ꢂ ꢃ
ꢂ ꢃ
3
cos x − cos x
0
1 − cos x cos 2x cos 3x
0
0
c. lim
d. lim
sin2 x
x→0
0
x→0
1 − cos x
−1
Lời giải.
a. ĐS : cos a
b. ĐS : 0
c. ĐS :
d. ĐS : 14
12
Bài tập 1.31. Tìm giới hạn
x−1
ꢂ
ꢃ
x2 − 1
x2 + 1
x+1
√
1
∞
x
a. lim
b. lim (cos x) (1 )
+
x→∞
x→0
√
√
n+1
c. lim [sin(ln(x + 1)) − sin(ln x)]
d. lim n2( n x −
x), x > 0
x→∞
n→∞
x−1
ꢂ
ꢃ
x2 − 1
x2 + 1
x+1
Lời giải.
a) Đây không phải là dạng vô định, lim
= 1.
x→∞
lim B(x) ln A(x)
b) Áp dụng công thức lim A(x)B(x) = ex→x
.
0
x→x0
√
√
x
1
x
ꢅ
√ ꢆ
ln cos
x
− sin
1
2
√
lim ln cos
x
= lim
= lim
= −
(L’Hospital)
+
+
+
x
x→0
x→0
x→0
2 x
nên
1
x
ꢅ
√ ꢆ
1
2
lim ln cos
x
= e−
+
x→0
c) ĐS: 0.
d)
√
√
lim n2( n x −
x), x > 0
− 1)
n+1
n→∞
1
1
2
n
n+1
= lim n (x − x
)
n→∞
1
1
2
n(n+1)
n+1
= lim n x (x
n→∞
1
xn(n+1) − 1
1
1
n+1
2
= lim n x
.
.
1
n→∞
n(n + 1)
n(n + 1)
1
xn(n+1) − 1
1
n+1
n
= lim
.x
.
1
n→∞
n + 1
n(n + 1)
= ln x
17
18
Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)
Bài tập 1.32. Khi x→0 cặp VCB sau có tương đương không ?
q
√
α(x) = x + x và β(x) = esin x − cos x
Lời giải. ĐS : β(x) = o(α(x))
Bài tập 1.33. Tìm giới hạn
lim B(x) ln A(x)
Áp dụng lim A(x)B(x) = ex→x
.
0
x→x0
1
∞
b. lim (sin x)tg x (1∞)
x
a. lim (1 − 2x) (1 )
π
+
x→0
x→ 2
1
sin x
sin x
x−sin x
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
1 + tg x
sin x
c. lim
(1∞)
d. lim
(1∞)
x→0 1 + sin x
x→0
x
Thay tương đương :
ꢂ ꢃ
0
0
ꢂ ꢃ
eαx − eβx
x
0
eαx − eβx
0
0
e. lim
f. lim
x→0
0
x→0 sin αx − sin βx
ꢂ ꢃ
ax − xa
g. lim
x→a
x − a
Lời giải.
a. ĐS: e−2
b. ĐS: 1
f. ĐS: 1
c. ĐS: 1
g. ĐS: aa(ln a − 1)
d. ĐS: e
e. ĐS: α − β
§7. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Định nghĩa: Cho f (x) xác định trong một lân cận nào đó của xo (xác định cả tại xo)
nếu có lim = f (xo)
x→xo
(∀ε > 0, ∃δ(ε, xo) > 0 : ∀x, |x − xo| < δ ta có |f (x) − f (xo)| < ε) .
2. Liên tục một phía và mối quan hệ với liên tục.
3. Các khái niệm hàm liên tục trên một khoảng, một đoạn. Hình ảnh hình học.
4. Các phép toán số học đối với các hàm số cùng liên tục (tại xo, bên phải xo, bên trái
xo).
5. Sự liên tục của hàm ngược
18
7. Hàm số liên tục
Định lý 1.1. (Sự liên tục của hàm ngược)
19
Nếu X là một khoảng, y = f (x) đồng biến (nghịch biến) liên tục trên X. Khi đó có
hàm ngược y = g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) và liên tục trên f (X).
Ví dụ: Các hàm số lượng giác ngược là liên tục trên tập xác định của chúng.
6. Sự liên tục của hàm hợp
Suy ra kết quả: X-khoảng, đoạn, nửa đoạn.
Mọi hàm số sơ cấp xác định trên X thì liên tục trên X.
7. Các định lý về hàm liên tục
Định lý 1.2. Nếu f (x) liên tục trên khoảng (a, b) mà giá trị f (xo), xo ∈ (a, b) dương
(hay âm) thì tồn tại một lân cận U(xo) sao cho ∀x ∈ U(xo), f (x) cũng dương hay âm.
Hình ảnh hình học.
Định lý 1.3. Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó bị chặn trên đoạn đó. Hình ảnh
hình học.
Định lý 1.4. Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được GTLN, NN trên đoạn
này. Hình ảnh hình học.
* Liên tục đều, hình ảnh hình học của liên tục đều.
Định lý 1.5. (Định lý Cantor)
Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì nó liên tục đều trên đó (thay [a, b] bằng khoảng (a, b)
thì định lý không còn đúng). Mô tả hình học.
Định lý 1.6. (Định lý Cauchy)
Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và có f (a). f (b) < 0 thì ∃α ∈ (a, b) để f (α) = 0.
Nêu một ví dụ, nêu ứng dụng dùng để thu hẹp khoảng nghiệm của phương trình.
Hình ảnh hình học.
Corollary 1.1. Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] , A = f (a) = B = f (b) thì nó nhận
mọi giá trị trung gian giữa A và B.
Corollary 1.2. Cho f (x) liên tục trên [a, b] , m, M lần lượt là các GTNN, LN của hàm
số trên đoạn này thì [m; M] là tập giá trị của hàm số.
8. Điểm gián đoạn của hàm số
19
Tải về để xem bản đầy đủ
98 trang
23880
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_1_bui_xuan_dieu.pdf
