Giáo trình Giải tích 1 - Bài 14: Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao, cực trị - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
GIẢI TÍCH I
BÀI 14
§ 3.2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT)
5. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao:
Định nghĩa: Cho
, ta định nghĩa:
z f(x,y)
2f
f
2f
f
f '' (x,y)
; f '' (x,y)
.
2
2
x2
y2
x
y
x x
y y
2f
f
2f
f
''
''
f (x,y)
; f (x,y)
yx
xy
yx y x
xy x y
Tương tự nếu
thì:
z g(x,y,z)
2
3g
x3
g
x
3g
g
g''' (x,y,z)
; g"' (x,y,z)
.
2
3
xyz
x
zyx z y x
x
3g
g
g''' (x,y,z)
,...
2
yx
xxy x x y
Ví dụ 1.
3z
z ln x x2 y2
zxx, zxy, zyy
''
''
''
a)
. Tính
. d)
e)
. Tính
z sin(xy)
xy2
x y
1 xy
b)
c)
xyz . Tính
wxyz
.
''
''
''
'''
z arctan
. Tính
.
zxx, zxy, zyy
w e
y . Tính
z exe
''
''
''
zxx, zxy, zyy
f) g(x,y) (1 x)m(1 y)n . Tính
.
''
''
''
gxx(0,0), gxy (0,0), gyy (0,0)
x2 y2
x2 y2
xy
x2 y2 0
''
''
g) f(x,y)
CMR
f (0,0) 1, f (0,0) 1
yx
xy
0
x 0 y
2xy
x2 y2
x2 y2 0
''
f(x,y)
f(x,y)
h)(K51) 1.
2.
Tính f (0,0)
( )
xy
0
x 0 y
2xy
x2 y2
x2 y2 0
''
yx
( )
Tính f (0,0)
0
x 0 y
y
2
2
z y sin
z x cos
i)(K54) 1. Cho
2. Cho
, tính x zxx 2xyzxy y zyy
(0)
(0)
x
x
2
2
, tính x zxx 2xyzxy y zyy
y
76
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
3
x sin y
, x2 y2 0
x2 y2 0
x2 y2
3. Cho
, tính
f(x, y)
fx(x, y), fxy (0, 0)
0,
2
2
3
y x sin y
x, y 0, 0
2
2
2
)
fxy 0, 0 1
(
f(x, y)
(
f x, y
x
,
x y
0,
x y 0
3
y sin x
x2 y2
, x2 y2 0
x2 y2 0
4. Cho
, tính
fy (x, y), fyx(0, 0)
0,
2
2
3
x y sin x
x, y 0, 0
2
2
2
fyx 0, 0 1
)
f x, y
y
,
x y
0,
x y 0
y
2
2
z yex
A x zxx 2xyzxy y zyy
k)(K55) 1. Cho
2. Cho
. Tính
(0)
(0)
x
2
2
y . Tính
A x zxx 2xyzxy y zyy
z ye
x tany
x2 y2
, x2 y2 0
fxx(0, 0)
l) (K58) Cho f(x, y)
, tính
(
0
)
0,
x2 y2 0
m)(K60)
x4
x2 y2
, x2 y2 0
x2 y2 0
1. Cho
, tính
(
2
)
f(x, y)
fxx(0, 0)
0,
2. Cho các hàm và khả vi đến cấp hai. Bằng cách đạo hàm riêng liên tiếp, thiết lập
,
biết
hệ thức liên hệ giữa các đạo hàm riêng của
không phụ thuộc vào và
z
x
2
2
z (xy) ( )
.
(
x zxx y zyy xzx yzy 0
)
y
''
Định lí Schwart. z = f(x, y) có các đạo hàm riêng f , f '' trong lân cận
xy yx
M0(x0,y0)
và
các
đạo
hàm
riêng
này
liên
tục
tại
''
''
M0(x0,y0) f (M0) f (M0)
.
xy
yx
Chú ý: Định lí này có thể mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao hơn và cho
hàm số n biến số nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục.
Ví dụ 2: Tính các đạo hàm riêng cấp hai: fxy , fyx
77
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
f(x,y) x2y3 y5;
b, f( x, y) exy sin( x2 y2)
a.
dnz d(dn1z), 2 n N
Định nghĩa. z = f(x, y), ta định nghĩa
.
Nhận xét:
y
n
n
+ Khi x, y là các biến số độc lập ta có:
.
dx dy f
d z
x
+Khix,y không phảilà các biếnsố độc lập thì công thức trênkhông cònđúng vớin 2.
y
2
2
2
d2z
dx dy f fxd x fyd y
Thật vậy:
x
dnz n 2
Do đó vi phân toàn phần
bất biến.
của hàm z nhiều biến số không có dạng
Ví dụ 3
a) f(x,y) (1 x)m(1 y)n . Tính d2f 0,0)
b) f(x,y,z) x2 2y2 3z2 2xy 5xz 7yz . Tính d2f(0,0,0)
.
2
c) z x2 2y y2 4lnx 10lny. Tính d2(1,2)
.
d)
xy . Tính
z e d z
3
e) z ex cosy . Tính
.
d z
f)(K52) 1. f(x,y) x2y . Tính d2f(1,1)
2. f(x,y) y3x . Tính d2f(1,1)
(
(
2dx2 4dxdy
6dxdy 6dy2
)
)
2
g)(K57) 1) f x, y xy . Tính d2f(1, 1)
(4dxdy)
3
2) f x, y yx . Tính d2f(1, 1)
(6dxdy)
h)(K59) Cho
có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục; còn x, y
w f(x,y)
không là các biến số độc lập. Tính d2f (x,y)
.
2
y
2
2
dx
dy f fxd x fyd y
x
6. Công thức Taylor
Định lí: f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp (n + 1), liên tục trong lân cận nào đó
của M0(x0,y0). Nếu M0(x0 x,y0 y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có:
1
1
f(x0 x,y0 y) f(x0,y0) df(x0,y0) d2f(x0,y0) ... dnf(x0,y0)
2!
n!
1
dn1f(x0 x,y0 y), 0 1
(n 1)!
Ví dụ 4
f(x,y) x2 3y2 2xy 6x 2y 4
a. Khai triển
thành chuỗi Taylor ở lân
cận điểm ( - 2, 1).
78
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
f (x,y) ex siny
b. Khai triển Maclaurin
đến bậc 3.
1
f (x,y)
c. Khai triển Maclaurin
.
1 x y xy
x
d. Viết công thức Taylor hàm
ở lân cận điểm (1, 1) đến bậc hai.
f(x,y) y
3
e(K59) 1) Cho hàm ẩn z xác định bởi
, biết z(1, 1) = 1. Hãy
z 2xz y 0
tính một số số hạng của khai triển hàm z theo luỹ thừa của (x 1) và (y +1).
(1 2(x 1)(y 1)...)
2) Cho hàm ẩn z xác định bởi z3 2xz y 0, biết z(1, -1) = 1. Hãy
tính một số số hạng của khai triển hàm z theo luỹ thừa của (x 1) và (y - 1).
(1 2(x 1)(y 1)...)
y
2
f(K62) Cho hàm số z arccot . Tính
dz,d z.
x
y
x
1
(
dx
dy;
(2xydx2 2(x2 y2)dxdy 2xydy2))
x2 y2
x2 y2
(x2 y2)2
§3. Cực trị
Đặt vấn đề
I. Định nghĩa:z f(M), M Rn
Tabảo z đạtcực tiểu tạiM0 f(M) > f(M0), M U(M0)\{M0}.
.
Tương tự z có cực đại tại
Ví dụ 1. a) z x2 y2
II. Quy tắc tìm cực trị
M U(M1)\{M1}.
M1 f(M) f(M1),
b) z 4 x2 y2
a, z = f(x,y), đặt p f' , q f' , a f'' , b f'' , c f"
2
2
x
y
xy
x
y
'
'
'
'
Định lí 1. z = f(x,y) đạt cực trị tại
= 0.
M0,fx,fy fx(M0) fy (M0)
'
'
f (M0) 0 fy (M0)
x
Định nghĩa: ta gọi M0 là điểm tới hạn
'
'
fx(M0), fy (M0)
Định lí 2: Giả sử z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong lân cận
nào đó của M0(x0,y0)
fx' (M0) 0 fy' (M0) (điểm dừng). Khi đó:
,
+ Nếu b2 ac 0 thì f(x, y) đạt cực trị tại M0; cực tiểu nếu a >0, cực đại nếu a
<0.
+ Nếu b2 ac 0 thì f(x, y) không đạt cực trị tại M0.
+ Nếu b2 ac 0 thì không có kết luận gì về cực trị tại M0.
79
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Ví dụ 2: Tìm các cực trị của các hàm số sau:
2
2
a(K50) 1)
(zCT(1 ; 0) = 1)
z x 2x arctany
z arccot x2 y2 2y
2
2)
(
zCD 0 ;1 1
)
2
3
4
b(K51) 1)
2)
(zCĐ(6 ; 3) = 27,
(zCĐ(3 ; 6) = 27,
cực trị tại (0 ; 0)
cực trị tại (0 ; 0)
z 3x y x y
z 3xy2 y3 x4
1
e
2
2y
c(K52) 1)
2)
(zCT
)
z (x 2x y)e
1;
2
2
1
z x y
(zCĐ(1 ; 1) = 3)
xy
d) (K53) z x3 y3 3xy
(zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị tại (0 ; 0)
1
e 1) z x4 y4 2x2 4xy 2y2 2) z x4 y4 x2 y2 xy 1
4
2
2
2
2
(x y )
3)
4) z 1 (x2 y2)2/3
6) z x2 xy y2 4lnx 10lny
z (x y )e
5) z xy ln(x2 y2)
f) x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0
3
g(K54) 1) z ex 2x 3y y
(zCĐ(0 ; 1) = 2, cực trị tại (2 ; 1)
y3 3y 2
x
3
z 0
M 0 ; 1
1
e
2x 3y y 2 0
x
x
+)
+)
2
ex 3 3y 0
2
z 0
M 2 ;1
2
y
y 1
x
3
x
2
x
,
,
zyy e 6y
z e 2x 3y y 4
zxy e 3 3y
xx
Mi
M1
M2
A
B
0
0
C
Kết luận
zCĐ(M1) = 2
2
2e2
3
6
6e2
12
12e4
Không có cực trị
z ey 3x x 2y
(zCĐ(1 ; 0) = 2, cực trị tại (1 ; 2)
2)
h(K55) 1)
(3 ; 0)
(zCĐ(1 ; 1) = 1,
cực trị tại (0 ; 0), (0 ; 3),
z xy 3 x y
(zCĐ(1 ; 1) = 1, cực trị tại (0 ; 0), (0 ; 3),
2)
z xy x y 3
(3 ; 0)
2
4
z x2 y
min
z
1; 2 7
3)
(
, (1 ; 2) không là cực trị)
x
y
80
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
1
2
2
z
max
1;1 5
4)
(
, (1 ; 1) không là cực trị)
z x y
x
y
3
3
2
2
k(K56) 1)
2)
z 2x 2y 3x 3y
(zmax(0 ; 1) = 1, zmin(1 ; 0) = 1, tại (0 ; 0), (1 ; 1) không là cực trị)
2
2
3
3
z 3x 3y 2x 2y
(zmin(0 ; 0) = 0, zmax(1 ; 1) = 2 tại (0 ; 1), (1 ; 0) không là cực trị)
2
z x2 y2
3)
4)
,
,
(zmin(1 ; 1) = 4 = zmin(1 ; 1))
(zmax(1 ; 1) = 4 = zmax(1 ; 1))
xy
2
z
x2 y2
xy
5) z x2 2y3 2x 3y2
6) z 2x3 y 2 3x2 2y
(zmin(1 ; 1) = 2, tại (1 ; 0) không là cực trị)
(zmin(1 ; 1) = 2, tại (0 ; 1) không là cực trị)
2 1
l(K57) 1) z x2 y
(
min
)
z
1, 1 5, CT 1,1
x y
4
2
2) z x y2
(
z
max
2, 1 7, CT 2, 1
)
x
y
m(K58)
1) z e2x 4x 2xy y
z e2x x y)(x y 2
2
2
(zmin(0; 0) = 0, cực trị tại (-1 ; -1))
4
2)
(z (2 ; 1) =
,
cực trị tại (-1 ; -1))
e
CĐ
3) z x4 y4 (x y)3
(zmin(3 ; 3) = -54, cực trị tại (0 ; 0))
4) Tìm a, b,c để hàm số z 2x3 3xy 2y3 ax by c đạt cực trị tại
M(1,1) và có z(M) = 0.
(a=b=-9, c=11)
n(K59)
z 2x4 y4 4x2 2y2
1)
(
zmin(0;1) 1 ; (0 ;0) không là cực trị)
z x2 2xy 2 2y 4 4y 1
2)
(
zmin(1;1) 2 ; (0 ;0) không là cực trị)
1 1
z x3 2xy y2 x 2
3)
(
zmin(1;1) 1
;
không là cực trị)
( ; )
3 3
2
2
4) z 2x2 3y2 e(x y )
o(K60)
zmin(0;0) 1
( )
z x3 x2y 2y2 1
z 12xy 8x3 y3 2
1)
2)
(
(6;9) ; (0 ;0) không là cực trị)
(
zmin(1;2) 6 ; (0 ;0) không là cực trị)
81
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
3
1
2
3) z x3 y4 3xy2
(
zmin(1;1)
;
,
không là cực trị)
(1;1) (0;0)
2
1
4) z x4 y2 2xy
2
1
1
(
zmin(1;1)
,
zmin(1;1)
,
không là cực trị)
(0;0)
2
2
16
1
z x2
y 3
5)
(
;
không là cực trị)
zmin(2;1) 17 (2;1)
x
y
p(K61)
1)
1
x3
y
y3 3 .
zmin(1;1) 1
(
(
)
z
x
y 3 xy
2) z
x y 12
.
)
zmax(4;3) 3
3) z x2 3y2 5xy 3x y.
q(K62)
1) z x3 2xy 7x 6y y2 4.
trị)
(
(
không là cực trị do 0)
(1;1)
1 10
;
không là cực
zmin(1;2) 6 ( ; )
3 3
1
1
13
2) z x4 2xy 4x 4y y2 1.
không là cực trị)
(
zmin(
;2
;
(0;2)
4
2
2
z 3xey x3 e3y.
zmax(1;0) 1 (0;2)
3)
(
;
không là cực trị)
Have a good understanding!
82
7 trang
26/04/2022
12200
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 14: Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao, cực trị - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_1_bai_14_dao_ham_rieng_va_vi_phan_cap_c.pdf
