Giáo trình Giải tích 2 - Bài 10

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

GIẢI TÍCH 2

BÀI 10

B. TÍCH PHÂN MẶT

§1. Tích phân mặt loại 1

1. Đặt vấn đề

2. Định nghĩa.

 Cho hàm số

3

 

f M

xác định trên mặt S nào đó





 Chia mặt S thành n phần bất kì không dẫm lên nhau, gọi tên và diện tích của

chúng là S_i, i  1, n.

n

 Lấy điểm tuỳ ý M x ; y ; z S , lập tổng I 

_i



_i



f M S .

_i



i

n

i



n1

 Nếu

sao cho d  0,  cách chia S và cách chọn M_ithì ta gọi I là tích

lim I_n I

n

phân mặt loại một của hàm số f(M) trên mặt S và kí hiệu

 

hoặc

I  f M dS

I  f x, y, z dS







S

y²z²

2dS, S  x²



 1, z  0

Ví dụ 1. Tính



4

9

S

Chú ý.

chính là diện tích của mặt S.

dS



S

2. Tính chất. Có các tính chất giống như tích phân đường loại một

3. Sự tồn tại

Định lí 1. Cho hàm f(x, y, z) liên tục trên mặt trơn hay trơn từng phần S

f x, y, z dS

^{ }





S

4. Cách tính. z = z(x, y) xác định trên

², khi đó có

D 



f x, y, z x, y

²

^{f x, y, z dS }

1 z_x z_ydxdy













S

D

Ví dụ 1. Tính

Ví dụ 2. Tính

, S là mặt bán cầu x²+ y²+ z²= R², z  0.

2

x  y dS



S

bị cắt bởi mặt trụ x²+ y²= ax, a > 0.

2

, S :

xy  yzzx dS

z  x  y



^

S

37

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

§2. Tích phân mặt loại hai

1. Đặt vấn đề

2. Định nghĩa.

a) Định nghĩa. Cho mặt S giới hạn bởi một đường trơn từng khúc C. Lấy M₀ S



và dựng pháp tuyến N của S tại M₀, nếu xuất phát từ M₀đi theo một đường cong

kín bất kì L trên S không cắt đường biên C trở lại vị trí M₀mà hướng của pháp

tuyến tại M₀không thay đổi thì mặt S gọi là mặt hai phía. Trường hợp ngược lại thì

S được gọi là mặt một phía.

Mặt S được gọi là định hướng từng phần nếu nó liên tục và được chia thành một

số hữu hạn phần định hướng bởi các đường trơn từng khúc.

Cho mặt định hướng S giới hạn bởi đường cong C. Ta gọi hướng dương trên C

ứng với phía đã chọn của S xác định theo quy tắc bàn tay phải.

b) Định nghĩa tích phân mặt loại hai.



 

 Cho hàm vectơ

xác định trên mặt hai phía S

F  P M i Q M j  R M k

 Chọn một phía của S ứng với pháp tuyến



 

N M  i cos M  j cos M  k cos M

  



 Ta gọi tích phân mặt loại một của hàm

trên mặt S:

F.N  i cos  j cos  k cos

 

I  F.N dS 

P cos  Qcos  Rcos dS





^

S



 

F M

là tích phân mặt loại hai của hàm

(hay của các hàm P, Q, R) lấy trên phía

đã chọn của mặt S.

Ví dụ 1. Tính

P cos  Qcos  Rcos dS, S : x² y² 1, z  2, hướng lên

^



S

trên, trong đó

z

zy

2

y

2

P  z^x,Q  e sinx , R  x  y





Chú ý. Gọi hình chiếu của S_ilên các mặt phẳng Oyz, Ozx, Oxy lần lượt là

 

2

^{ }, khi đó có

S_i¹, S_i, S_i³

 

2

i

 

3

cos M S  S ¹cos M S  S

cos M S  S

_i

,

.



_i _i



i

Do đó ta cùng kí hiệu tích phân mặt loại hai là

I  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy



S

3. Tính chất. Có các tính chất tương tự như tích phân đường loại hai

4. Định lí tồn tại. Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định hướng từng phần S

thì tích phân mặt loại hai của các hàm đó lấy theo một phía của S là tồn tại.

5. Cách tính.

 Ta có

Rdxdy

^{Pdydz  Qdzdx  Rdxdy }^{Pdydz }^{Qdzdx }

S

38

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

Rdxdy

^{ Ta tính một tích phân trong vế phải, chẳng hạn I }

1

S

Cho S : z = f(x, y) xác định trên D.

Tích phân lấy theo phía trên của mặt S là

I₁ R x, y, z x, y dxdy











D

^{Tích phân lấy theo phía dưới của mặt S là I  }^{R x, y, z x, y dxdy}









D

Ví dụ 1.

zdxdy , S là phía ngoài mặt cầu x²+ y²+ z²= 1



S

x²y²z²

a²b²c²

Ví dụ 2.

x³dydz, S là phía trên của nửa trên của mặt Ellipsoid

,

 1





S

.

z  0

§3. Công thức Stokes

1. Đặt vấn đề

2. Công thức Stokes

Định lí 1. Các hàm P, Q, R cùng các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên mặt định

hướng từng phần S, giới hạn bởi đường trơn từng khúc C, thì ta có công thức



P cos  Qcos  Rcos ds









C



_z





_x



x



_y







R Q cos  P  R cos  Q  P cos dS

^_



y

z



S



x







R Q dydz  P  R dzdx  Q  P dxdy



_x

_z





_y



y

z



S





ở đó :

là vectour tiếp tuyến với C, còn

  (cos ,cos ,cos )



là vectour pháp tuyến với S.

N  (cos,cos,cos )

Chú ý. 1/ Trong mặt phẳng thì công thức Stokes trở thành công thức Green đã biết.

2/ Công thức Stokes còn viết dưới dạng sau

dydz dzdx dxdy



x

P



y

Q



z

R

P dx  Qdy  Rdz 

;







C

S

39

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

cos cos cos



x

P



y

Q



z

R



P cos  Qcos  Rcos ds 











C

S

Ví dụ 1. Tính y dx  zdy  xdz, C: x²+ y²+ z²= a², x +y+ z = 0, lấy hướng





C

ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn thừ phía dương của Ox.

 

y  z dx  z  x dy  x  y dz,

Ví dụ 2.













C

x z

ở đó C : x² y² a²,   1 a  0, h  0 hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu





a h

nhìn từ phía dương của trục Ox.

2. Định lí bốn mệnh đề tương đương.

Từ công thức Stokes có thể chứng minh được định lí bốn mệnh đề tương đương

cho tích phân đường trong khôn gian.

Định lí 1. Các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục cùng với các đạo hàm

riêng cấp một trên miền V đơn liên thì bốn mệnh đề sau là tương đương

P R

z x

R Q

Q P

x y

1)

,



,



y

z

2) Pdx  Qdy  Rdz  0,  đường cong kín L  V.





L

3)

không phụ thuộc vào đường nối các điểm A, B  V mà chỉ

Pdx  Qdy  Rdz





AB

phụ thuộc vào điểm đầu A và điểm cuối B.

4)  U(x, y, z):

du  Pdx  Qdy  Rdz

Ví dụ 1. yzdx  zxdy  xy dz, ở đó C là đường cong kín bất kì





C

3. Ý nghĩa vật lí.



a) Lưu số (hoàn lưu) của trường vectơ

dọc theo chu tuyến kín C

F  Pi  Qj  Rk

là



T  F. ds  Pdx  Qdy  Rdz





C

b) Vectơ xoáy



 

rotF M

Định nghĩa. Vectơ xoáy (

) tại M trong trường vectơ

là

F  Pi  Qj  Rk

40

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn



R Q

y z

P R



Q P























 

rotF M 



i 

j 

k

















z x

x y



qr

Ví dụ 1. Tìm vectơ xoáy của điện trường

E 

r³

Vectơ xoáy có các tính chất sau:

 Tuyến tính





 

, là hằng số







rot uc  gradu  c c









rot uF  urotF  gradu  F



 



c) Công thức Stokes dưới dạng vectơ.

F ds  rotFNdS







C

S



Do đó có: lưu số của trường vectơ F theo một đường cong kín C bằng thông



lượng của vectơ

qua mặt S giới hạn bởi đường cong C.

rotF

§ 4. Công thức Ostrogradsky

 Đặt vấn đề

1. Công thức

Định lí 1. (Công thức Ostrogradsky). Các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên

3

tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một trong miền compact V 

mặt cong kín trơn từng phần S, thì ta có công thức

giới hạn bởi



P Q R

x y z





,

Pdydz  Qdzdx  Rdxdy 



dV









_

S

V

trong đó tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S.

Ví dụ 1.

xdydz  ydzdx  zdxdy , S là phía ngoài mặt cầu x²+ y²+ z²= a².



S

, ở đó S là phía ngoài mặt cầu x²+ y²+ z²= a².

3

Ví dụ 2.

x dydz  y dzdx  z dxdy



S

2. Ý nghĩa Vật lí.

a) Dive của trường vectơ

 Định nghĩa. Cho trường vô hướng u, vectơ gradient của trường vô hướng u là





   

u

x

u

y

u

z

, là các vectơ đơn vị trên các trục

k i , j, k

gradu 

i 

j 

41

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

 Tính chất.

+) Tuyến tính



+) grad u u  u gradu  u gradu .



_{1 2}



1

2

1



²

 



+)

.

gradf u  f u gradu

Ví dụ (Bài toán con muỗi). Con muỗi đậu trong trường nhiệt độ T. Hỏi con muỗi

cần bay theo hướng nào để được mát nhanh nhất.

 



b) Công thức Ostrogradsky dưới dạng vectơ

divF dV , ở đó

^{FN dS }

S

V



P Q R

,

divF 



x y z

ở đó N là vectour pháp tuyến phía ngoài của mặt S kín.

c) Điểm nguồn, điểm rò, trường vectơ có thông lượng bảo toàn



 

. Gọi V’ là miền giới hạn bởi mặt kín

divF M  0

 Cho

liên tục tại M  V và

divF

S’ trong lân cận đủ nhỏ của M. Từ công thức ở mục b)  thông lượng qua mặt S’

từ trong ra ngoài là số dương, hay thông lượng vào mặt S’ ít hơn thông lượng ra

khỏi mặt đó. Khi đó điểm M được gọi là điểm nguồn của trường.



 

Ngược lại nếu divF M  0 thì M được gọi là điểm rò của trường.



 Nếu

trường thì trường không có các điểm nguồn và điểm rò.

divF(M)  0,M 



Khi đó ta bảo F là trường ống.



 Nếu

trường thì F được gọi là trường bảo toàn.

rot F(M)  0,M 

 F được gọi là trường điều hòa

F vừa là trường ống, vừa là trường thế.





Ví dụ 1. Tính thông lượng của trường

mặt toàn phần của hình trụ x²+ y² a², 0  x  h.

qua mặt xung quanh và

F  xi  yj  zk



r³



qr

Ví dụ 2. Tính thông lượng của điện trường

(Định luật

, r  xi  yj  zk

E 

Gauss)

3. Toán tử Haminton





x



y



z

a) Định nghĩa.

  i

 j

 k

b) Tính chất



u  gradu







F  divF

42

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn



i

j

k







 F 

 rotF

x y z

P

Q

R

²

 ₂

, ở đó  là toán tử Laplace

  

 



x²y²z²



 











div gradu   u  u







rot gradu  0







 div rotF  0

Thank you and Good bye!

43

Giáo trình Giải tích 2 - Bài 10 - Nguyễn Xuân Thảo