Giáo trình Giải tích 2 - Bài 9 - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
GIẢI TÍCH 2  
BÀI 9  
CHƯƠNG IV. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT  
A. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG  
§1. Tích phân đường loại 1  
1. Đặt vấn đề  
2. Định nghĩa. f x, y xác định trên đường cong  
. Chia C thành n phần  
C AB  
(không dẫm lên nhau) bởi các điểm A A0, A1, ..., An B.  
Gọi tên và độ dài của cung thứ i : A A si, i 1, n .  
i1 i  
n
Lấy tuỳ ý Mi(xi ; yi)   
, lập tổng I   
f M s .  
i   
A A  
n
i
i1 i  
i1  
Nếu có  
với mọi cách chia C và mọi cách chọn điểm Mi thì ta gọi I là tích  
lim In I  
n  
phân đường loại một của hàm f(x, y) lấy trên đường cong C và kí hiệu  
f x, y ds  
I f x, y ds   
C
AB  
Ví dụ 1. Tính  
C: x2 + y2 = 9, x 0, từ (0 ; 3) đến (0 ; 3)  
2ds,  
C
1, x  
Ví dụ 2. Xét D x, y ds, C: 0 x 1, y = 0, D x, y   
0, x I  
C
3. Sự tồn tại.  
Định lí 1. f(x, y) liên tục trên đường cong trơn C thì tồn tại  
Ý nghĩa cơ học  
f x, y ds  
C
f(x, y) > 0 là mật độ khối lượng của đường cong vật chất C thì có khối lượng của  
đường cong là  
m f x, y ds  
C
5. Tính chất. Có tính chất giống như tích phân xác định trừ ra tính chất sau  
f x, y ds f x, y ds  
AB  
BA  
6. Cách tính. Ta cần tính  
f x, y ds  
C
32  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
b
2  
1y x dx  
   
x, y x  
   
a) C : y = y(x), a x b, khi đó ta có  
f x, y ds f  
C
a
x2  
1
4y  
Ví dụ 1. Tính  
, C : y   
ds  
nối điểm A 1;  
với B(2 ; 2).  
I   
2
2  
x
C
Ví dụ 2. Tính xy ds , C : |x| + |y| = a, a > 0.  
C
2  
2  
   
     
   
b) C: x = x(t), y = y(t),   t  , thì có  
x t y t dt  
f x, y ds f x t ; y t  
C
Ví dụ 1. Tính  
Ví dụ 2. Tính  
, C : x2 + y2 = R2, x 0, y 0  
xy ds  
C
x y ds , C : x2 + y2 =ax.  
  
C
c) x = x(t), y = y(t), z = z(t),   t  , thì có  
2  
2  
2  
   
       
x t , y t , z t  
   
   
f x, y, z ds f  
x t y t z t dt  
C
3
t2, z t3, 0 t 1  
Ví dụ 1. Tính  
Ví dụ 2. Tính  
x y ds, x t, y   
  
2
C
ds  
2 , x = a cost, y = a sint, z = bt, t 0.  
2
2
C x y z  
§2. Tích phân đường loại hai  
1. Đặt vấn đề  
  
   
   
   
2. Định nghĩa. Cho hàm vectơ  
xác định trên đường  
F M P M i Q M j  
   
   
   
cong C nối hai điểm A, B,  
, vectơ  
là vectơ  
C AB  
T M cosM i sinM j  
tiếp tuyến với C tại M, (M) =  
, khi đó tích phân đường loại một của hàm  
T,Ox  
   
   
   
   
   
f x, y F.T P M cosM Q M sinM trên đường C  
   
   
   
   
   
I F.T ds P M cosM Q M sinM ds  
C
C
   
cùng được gọi là tích phân đường loại hai của hàm  
hay của các hàm P(M),  
F M  
Q(M) lấy trên C đi tA đến B. Ta cũng có  
I P x, y dx Q x, y dy  
AB  
Tương tự, ta cùng có tích phân đường loại hai của hàm  
33  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
3
   
   
   
   
F M P M i Q M j R M k, M là  
I P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz P cosQcosRcosds  
  
C
C
, , lần lượt là các góc giữa tiếp tuyến T với các trục Ox, Oy, Oz  
2
xdx exy dy  
Ví dụ 1. Tính  
, C: y = 1, x : 0 2  
C
Ví dụ 2. Xét sinx2dx dy , C : x = 2, y : 0 1  
C
3. Sự tồn tại  
Định lí 1. Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên đường cong trơn từng khúc C thì  
tồn tại  
P x, y dx Q x, y dy  
C
4. Ý nghĩa cơ học : Tính công của lực di chuyển chất điểm dọc theo đường cong C.  
5. Tính chất : Có các tính chất giống như tích phân xác định, chẳng hạn :  
P dx Qdy   Pdx Qdy  
AB  
BA  
6. Cách tính.  
a) Nếu C : y = y(x), x : a b thì có  
b
   
x,y x  
     
y x dx  
Pdx Qdy P  
Q  
x, y x  
C
a
Ví dụ 1. Tính xydx y x dy ,  
C
a) C : y = x2, x : 0 1  
b) C : y = 0, x : 0 1  
c) x = 1, y : 0 1  
dx dy  
x y  
Ví dụ 2. Tính  
, ABCDA là chu tuyến hình vuông với các đỉnh  
ABCDA  
A(1 ; 0), B(0 ; 1), C(1 ; 0), D(0, 1).  
b) C: x = x(t), y = y(t), t:   , có  
       
       
Pdx Qdy P x t , y t x t Q x t , y t y t dt  
C
34  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
Ví dụ 1. Tính xdx x y dy , C : x = R cost, y = R sint, t : 0 2  
C  
C
x y dx x y dy  
Ví dụ 2. Tính  
, C x2 + y2 = a2 theo chiều ngược chiều  
2
2
x y  
kim đồng hồ.  
Chú ý. Tương tự cũng có công thức khi C : x = x(t), y = y(t), z(t), t :    
7. Công thức Green  
Định lí 1. Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một  
trên miền D compact, giới hạn bởi đường cong kín, trơn từng khúc C, thì có  
Pdx Qdx   
Q P dxdy  
D
y
  
x
  
C
2
2
Ví dụ 1. Tính  
Ví dụ 2. Tính  
, C: x2 + y2 = R2  
1x ydx 1y xdy  
C
, C : x2 + y2 = ax.  
xy x y dx xy x y dy  
C
8. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân  
Định lí 1. (ĐL mệnh đề tương đương). Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cùng với  
các đạo hàm riêng cấp một trong miền D đơn liên thì bốn mệnh đề sau là tương  
đương  
P Q  
1/  
, x, y D  
y  
x  
2/ Pdx Qdx 0, L kín thuộc D.  
L
3/  
Pdx Qdy chỉ phụ thuộc vào A, B mà không phụ thuộc vào đường nối A, B.  
AB  
4/ U x, y : du Pdx Qdy  
B
Chú ý :  
dU U U(B) U(A)  
A
AB  
2 ; 3  
Ví dụ 1.  
xdy ydx  
1; 2  
35  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
1;1  
  
3 3  
2
4 2  
Ví dụ 2. Tính  
4x y 3y 5 dx 3x y 6xy 4 dy  
0 ; 0  
x
2
Ví dụ 3. Tính  
,
2 2 [(x 2y )dx 2xydy]  
L (x y )  
ở đó L:  
3 , đi từ A(1,0) đến B(0,1).  
y 1x  
Chú ý. Tương tự có thể mở rộng định lí này cho đường cong trong không gian:  
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t :   .  
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!  
36  
pdf 5 trang Thùy Anh 26/04/2022 17660
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 9 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_2_bai_9_nguyen_xuan_thao.pdf