Giáo trình Giải tích 2 - Bài 9

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

GIẢI TÍCH 2

BÀI 9

CHƯƠNG IV. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

A. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

§1. Tích phân đường loại 1

1. Đặt vấn đề



2. Định nghĩa. f x, y xác định trên đường cong

. Chia C thành n phần

C  AB





(không dẫm lên nhau) bởi các điểm A  A₀, A₁, ..., A_n B.

Gọi tên và độ dài của cung thứ i : A A là s_i, i  1, n .

i1 i

n

Lấy tuỳ ý M_i(x_i; y_i) 

, lập tổng I 

f M s .

_i

A A



n

i

i1 i



i1

Nếu có

với mọi cách chia C và mọi cách chọn điểm M_ithì ta gọi I là tích

lim I_n I

n

phân đường loại một của hàm f(x, y) lấy trên đường cong C và kí hiệu

f x, y ds

^{I }^{f x, y ds }













C

AB

Ví dụ 1. Tính

C: x²+ y²= 9, x  0, từ (0 ; 3) đến (0 ; 3)

2ds,



C

1, x  







Ví dụ 2. Xét D x, y ds, C: 0  x  1, y = 0, D x, y 











0, x I

C

3. Sự tồn tại.

Định lí 1. f(x, y) liên tục trên đường cong trơn C thì tồn tại

 Ý nghĩa cơ học

f x, y ds







C

f(x, y) > 0 là mật độ khối lượng của đường cong vật chất C thì có khối lượng của

đường cong là

^{m }^{f x, y ds}





C

5. Tính chất. Có tính chất giống như tích phân xác định trừ ra tính chất sau

f x, y ds  f x, y ds













AB

BA

6. Cách tính. Ta cần tính

f x, y ds







C

32

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

b

²

1 y x dx

 

x, y x

 

a) C : y = y(x), a  x  b, khi đó ta có

f x, y ds  f











C

a

x²

1

4y





Ví dụ 1. Tính

, C : y 

ds

nối điểm A 1;

với B(2 ; 2).

I 







2

 2

x

C

Ví dụ 2. Tính xy ds , C : |x| + |y| = a, a > 0.



C



²

 

   

 

b) C: x = x(t), y = y(t),   t  , thì có

x t  y t dt

^{f x, y ds }^{f x t ; y t}











C



Ví dụ 1. Tính

Ví dụ 2. Tính

, C : x²+ y²= R², x  0, y  0

xy ds



C

x  y ds , C : x²+ y²=ax.



^

C

c) x = x(t), y = y(t), z = z(t),   t  , thì có



²

 

     

x t , y t , z t

 

f x, y, z ds  f





x t  y t  z t dt







C



3

t², z  t³, 0  t  1

Ví dụ 1. Tính

Ví dụ 2. Tính

x  y ds, x  t, y 



^

2

C

ds

₂, x = a cost, y = a sint, z = bt, t  0.

2



_Cx  y  z

§2. Tích phân đường loại hai

1. Đặt vấn đề





 

2. Định nghĩa. Cho hàm vectơ

xác định trên đường

F M  P M i  Q M j





 

cong C nối hai điểm A, B,

, vectơ

là vectơ

C  AB

T M  cos M i  sin M j







tiếp tuyến với C tại M, (M) =

, khi đó tích phân đường loại một của hàm

T,Ox

 

 

f x, y  F.T  P M cos M Q M sin M trên đường C





 

 





I  F.T ds  P M cos M  Q M sin M ds



C



 

cùng được gọi là tích phân đường loại hai của hàm

hay của các hàm P(M),

F M

Q(M) lấy trên C đi từ A đến B. Ta cũng có

I  P x, y dx  Q x, y dy













AB

Tương tự, ta cùng có tích phân đường loại hai của hàm

33

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn



3

 

F M  P M i  Q M j  R M k, M   là

^{I }^{P x, y, z dx  Q x, y, z dy  R x, y, z dz  P cos  Qcos  Rcos ds}

^

















C

, ,  lần lượt là các góc giữa tiếp tuyến T với các trục Ox, Oy, Oz

2

xdx  e^xydy

Ví dụ 1. Tính

, C: y = 1, x : 0  2



C

Ví dụ 2. Xét sinx²dx  dy , C : x = 2, y : 0  1



C

3. Sự tồn tại

Định lí 1. Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên đường cong trơn từng khúc C thì

tồn tại

P x, y dx Q x, y dy











C

4. Ý nghĩa cơ học : Tính công của lực di chuyển chất điểm dọc theo đường cong C.

5. Tính chất : Có các tính chất giống như tích phân xác định, chẳng hạn :

P dx  Qdy   Pdx  Qdy





AB

BA

6. Cách tính.

a) Nếu C : y = y(x), x : a  b thì có

b

 

x,y x

   



y x dx

Pdx  Qdy  P





 Q



x, y x









C

a

Ví dụ 1. Tính xydx  y  x dy ,







C

a) C : y = x², x : 0  1

b) C : y = 0, x : 0  1

c) x = 1, y : 0  1

dx  dy

x  y

Ví dụ 2. Tính

, ABCDA là chu tuyến hình vuông với các đỉnh



ABCDA

A(1 ; 0), B(0 ; 1), C(1 ; 0), D(0, 1).

b) C: x = x(t), y = y(t), t:   , có



     









Pdx  Qdy  P x t , y t x t Q x t , y t y t dt















C



34

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

Ví dụ 1. Tính xdx  x  y dy , C : x = R cost, y = R sint, t : 0  2







_C



C

x  y dx  x  y dy









Ví dụ 2. Tính

, C là x²+ y²= a²theo chiều ngược chiều

2



x  y

kim đồng hồ.

Chú ý. Tương tự cũng có công thức khi C : x = x(t), y = y(t), z(t), t :   

7. Công thức Green

Định lí 1. Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một

trên miền D compact, giới hạn bởi đường cong kín, trơn từng khúc C, thì có



Pdx  Qdx 

Q  P dxdy



D

_y



x







C

2









Ví dụ 1. Tính

Ví dụ 2. Tính

, C: x²+ y²= R²

1 x ydx  1 y xdy





C

, C : x²+ y²= ax.

xy  x  y dx  xy  x  y dy











C

8. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

Định lí 1. (ĐL mệnh đề tương đương). Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cùng với

các đạo hàm riêng cấp một trong miền D đơn liên thì bốn mệnh đề sau là tương

đương

P Q

1/



,  x, y D





y

x

2/ Pdx  Qdx  0,  L kín thuộc D.





L

3/

Pdx  Qdy chỉ phụ thuộc vào A, B mà không phụ thuộc vào đường nối A, B.





AB

4/ U x, y : du  Pdx Qdy





B

Chú ý :

dU  U  U(B) U(A)



A



AB

2 ; 3





Ví dụ 1.

xdy  ydx



1; 2





35

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

thao.nguyenxuan@hust.edu.vn

1;1



^







3 3

2

4 2

Ví dụ 2. Tính

4x y  3y  5 dx  3x y  6xy  4 dy



0 ; 0





x

2

Ví dụ 3. Tính

,

_{2 2}[(x  2y )dx  2xydy]



_L(x  y )

ở đó L:

³, đi từ A(1,0) đến B(0,1).

y  1 x

Chú ý. Tương tự có thể mở rộng định lí này cho đường cong trong không gian:

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t :   .

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

36

Giáo trình Giải tích 2 - Bài 9 - Nguyễn Xuân Thảo