›
›

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính - Trịnh Quốc Lương

Download
CHƯƠNG 3  
HỆ PHƯƠNG TRÌNH  
TUYẾN TÍNH  
I. ĐẶT BÀI TOÁN :  
Hệ phương trình tuyến tính n pt và n  
ẩn có dạng  
Ax = b  
với  
Các phương pháp giải  
➢ Phương pháp giải chính xác  
▪ Phương pháp Gauss  
▪ Phương pháp nhân tử LU  
▪ Phương pháp Cholesky  
➢ Phương pháp giải gần đúng  
▪ Phương pháp lặp Jacobi  
▪ Phương pháp lặp Gauss-Seidel  
II. PHƯƠNG PHÁP GAUSS  
1. Các dạng ma trận đặc biệt :  
a. Ma trận tam giác dưới  
detA = a11a22 . . . ann 0 aii 0, i  
Phương trình có nghiệm  
b. Ma trận tam giác trên :  
detA = a11a22 . . . ann 0 aii 0, i  
Phương trình có nghiệm  
2. Phương pháp Gauss :  
Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo  
dòng để chuyển ma trận A về ma trân tam  
giác trên  
Các phép biến đổi sơ cấp theo dòng  
➢ hoán chuyển 2 dòng  
➢ nhân 1 dòng với 1 số khác 0  
➢ cộng 1 dòng với dòng khác  
Ví dụ : Giải hệ phương trình  
Giải  
Giải pt ma trận tam giác trên, ta được nghiệm  
x = (-7, 3, 2, 2)t  
III. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU  
Phân tích ma trận A thành tích 2 ma trận L và U  
A = LU  
L : ma trận tam giác dưới  
U : ma trận tam giác trên  
Phương trình Ax = b L(Ux) = b  
Ta đưa về giải 2 hệ phương trình  
Phương pháp Doolittle :  
Giả sử A ma trận không suy biến và a11 0  
Ta có thể phân tích A thành  
A = LU  
Ma trân dưới  
Ma trân trên  
Các phần tử của L và U được xác định theo  
công thức  
Ví dụ : Giải hệ phương trình  
Giải  
Ta phân tích  
Giải hệ Ly = b  
Giải hệ Ux = y  
IV. PHƯƠNG PHÁP CHOLESKY  
Phương pháp Cholesky là pp LU với A là ma trận  
đối xứng và xác định dương  
Định nghĩa :  
➢ Ma trân A gọi là đối xứng nếu  
A = At  
➢ Ma trân A gọi là xác định dương nếu  
Để kiểm tra xác định dương, ta dùng đình lý sau:  
Định lý :  
Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả  
các định thức con chính của nó đều dương  
Ví dụ : Kiểm tra tính xác định dương của ma trận  
Giải  
Các định thức con chính:  
Vậy A là xác định dương  
Định lý (Cholesky) :  
Nếu A ma trận đối xứng và xác định dương, thì tồn  
tại ma trận dưới, khả đảo B sao cho  
A = BBt  
Ma trận B = (bij) tìm theo công thức sau :  
Ví dụ : Giải hệ phương trình Ax = b  
Giải  
Ta có A ma trận đối xứng và xác định dương  
Phân tích A = BBt  
Các hệ số  
Giải hệ By = b  
Giải hệ Bt x = y  
Ví dụ :  
a. Kiểm tra tính xác định dương  
b. Phân tích A = BBT theo pp cholesky  
Tính b11+b22+b33  
a. Các định thức con chính:  
Vậy A là xác định dương  
b.  
Các hệ số  
b11+b22+b33 = 6  
V. CHUẨN :  
1. Chuẩn vector :  
Có nhiều công thức chuẩn, thường ta dùng  
chuẩn và chuẩn 1  
x= (x1,x2,…, xn)t  
Tải về để xem bản đầy đủ
ppt 43 trang Thùy Anh 28/04/2022 8840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính - Trịnh Quốc Lương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pptbai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_3_he_phuong_trinh_tuyen_ti.ppt