›
›

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân - Trịnh Quốc Lương

Download
Chương 5  
TÍNH GẦN ĐÚNG  
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN  
I. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :  
Cho hàm y = f(x) và bảng số  
x xo x1 x2  
y yo y1 y2  
. . . xn  
. . . yn  
Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng  
đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa thức  
nội suy Newton)  
Ta có  
1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút :  
Đặt h = x1- x0  
x x0 x1  
y y0 y1  
Đa thức nội suy Lagrange  
Suy ra công thức đạo hàm cho 2 điểm :  
❖ Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Tính xấp xỉ  
f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001  
giải  
Ta có  
h
f’(1.8)  
0.1  
0.01  
0.001  
f’(1.8) = 0.555555555  
2. TH bảng có 3 điểm nút cách đều :  
x x0 x1 x2  
y y0 y1 y2  
h = x2 - x1 = x1 - x0  
Đa thức nội suy Lagrange  
Do đó với mọi x [x0, x2] ta có  
Suy ra đạo hàm cấp 1  
Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến  
Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng  
tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)  
Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi  
thường viết dưới dạng (thay x2 = x0)  
đạo hàm cấp 2  
Thay x1 = x0 ta được  
❖ Ví dụ : Cho hàm  
a. Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ  
f’(1.25) với h = 0.01  
b. Tính xấp xỉ f”(1.25) với h = 0.01  
giải  
-0.320416958  
So với kết quả chính xác  
f’(1.25)= -0.320422170423379  
-0.526643001  
So với kết quả chính xác  
f”(1.25) = -0.526640385697715  
Bài tập : Cho hàm f và bảng số cách đều  
x
y
1.2 1.4 1.6 1.8  
2.32 2.53 2.77 2.89  
Xấp xỉ f bằng đa thức Newton tiến, tính gần đúng f’(1.25)  
Giải : Ta lập bảng các sai phân hữu hạn  
2
3
xk  
f(xk)  
2.32  
yk  
yk  
yk  
1.2  
0.21  
0.24  
0.12  
Newton tiến  
1.4  
1.6  
1.8  
2.53  
2.77  
2.89  
0.03  
-0.15  
-0.12  
Newton lùi  
II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :  
Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b]. Ta  
cần tính gần đúng tích phân :  
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng  
nhau với bước h = (b-a)/n  
xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b  
1. Công thức hình thang mở rộng :  
❖ Công thức sai số :  
2. Công thức Simpson mở rộng:  
❖ Công thức sai số :  
Chú ý : với công thức simpson n phải là số chẵn  
❖ Ví dụ : Tính gần đúng tích phân  
a. Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5  
b. Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8  
giải  
a. h=0.2, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=5 đoạn  
bằng nhau  
x0 = 0 < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = 1  
Công thức hình thang  
= 0.945078781  
b. h=0.125, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=8  
đoạn bằng nhau  
x0 = 0 < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5  
x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1  
Công thức Simpson  
= 0.94608331  
❖ Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần  
đúng tích phân  
với f cho bới bảng số  
x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2  
f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14  
giải  
Công thức Simpson  
x 1.0  
1.2  
1.4 1.6 1.8  
2.0  
2.2  
y 2.9584 4.3730 5.8358 14.65 30.9609 76.3038 98.6471  
I = 37.1004  
Tải về để xem bản đầy đủ
pptx 24 trang Thùy Anh 28/04/2022 4820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân - Trịnh Quốc Lương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pptxbai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_5_tinh_gan_dung_dao_ham_va.pptx