Giáo trình Toán cao cấp A2 (Phần 1) - Nguyễn Đức Trung
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
NĂM HỌC: 2016 -2017
TRANG CHỦ:
1
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
LỜI NÓI ĐẦU
CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP
TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2016 - 2017
Chúc mừng các bạn đã bƣớc vào một ngƣỡng cửa mới của cuộc đời.
Việc đỗ Đại học mở ra cho các em một trang mới với đầy cơ hội nhƣng
không kém thách thức. Thách thức không chỉ ở việc học xa nhà hoặc ở môi
trƣờng mà cơ hội tiếp xúc để hỏi đáp với Giảng viên rất hạn chế trên những
giảng đƣờng lớn hàng trăm Sinh viên mà ở khối lƣợng kiến thức đồ xộ.
Tại bậc học Đại học, một môn học đƣợc chia ra làm các phân môn (hay
còn gọi là học phần). Các học phần có tính độc lập tƣơng đối về nội dung
kiến thức nên đƣợc tổ chức học và đánh giá kết quả học tập độc lập hoàn.
Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào cuối chƣơng hoặc chuyên đề
chứ không theo bài (các buổi học). Các bài tập cũng đƣợc giải theo tính chủ
động học tập của Sinh viên. Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học
ở bậc Đại học nên kết quả học tập các môn học Đại cƣơng thƣờng thấp hơn
những môn học chuyên ngành ở năm thứ 3, thứ 4 (hoặc thứ 5).
Tuy nhiên, chƣơng trình giảng dạy Toán Cao Cấp tại Moon.vn vấn thiết
kế bài tập tại cuối các bài học lý thuyết (qua Video theo truyền thống ở
Moon.vn) và cuối các chƣơng (Phần luyện tập chuyên đề). Cũng nhằm để làm
quen với cách học ở Đại học, một số video bài tập đƣợc đƣa ra với mục đích
hƣớng dẫn các em cách làm bài tập và trình bầy ở bậc Đại học.
2
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Thầy thiết kế chƣơng trình với lịch phát sóng sớm để các em có cơ hội
tiếp cận sớm với kiến và kỹ năng làm bài tập tốt. Hy vọng với sự chuẩn bị
sớm và tốt, các em sẽ thành đạt bởi theo kinh nghiệm: 95% thành công do
việc chuẩn bị.
Để các bạn Sinh viên tiện theo dõi chƣơng trình học, Thầy thiết kế
chƣơng trình đào tạo đƣợc đánh mã số chi tiết theo các phân đoạn đơn vị kiến
thức tuần tự để các em dễ dàng theo dõi. Các em có thể vào đƣờng link sau để
biết rõ về toàn bộ chƣơng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7
Tại bậc Phổ thông, các em học một chƣơng trình Toán duy nhất còn đối
với Toán Cao Cấp thì sự khác biệt rất lớn đƣợc thể hiện ở từng Trƣờng, thâm
chí từng khối ngành học trong Trƣờng.
Đối với các khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sƣ phạm, KHTN), Công
nghệ, chƣơng trình Toán Cao Cấp đƣợc học là Toán A gồm có 4 học
phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán
A
o Toán A1: Đại số tuyến tính
o Toán A2: Giải tích 1
o Toán A3: Giải tích 2
o Toán A4: Giải tích 3
Đối với các khối ngành Nông – Lâm – Y – Dƣợc, chƣơng trình Toán
Cao Cấp đƣợc học là Toán B gồm có 2 học phần riêng biệt với đƣờng
o Toán B1: Đại số tuyến tính
o Toán B2: Giải tích
Đối với các khối ngành Kinh tế, Thƣơng mại, Tài chính, Ngân hàng,
Luật hoặc Quản trị kinh doan ... chƣơng trình Toán Cao Cấp đƣợc học
là Toán C gồm có 2 học phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán
o Toán C1: Đại số tuyến tính
o Toán C2: Giải tích
3
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đã đƣợc bố trí với các nội dung chi tiết
cho từng khối ngành thông qua hệ thống video bài giảng cùng giáo trình đầy
đủ cũng nhƣ các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài
tập cho cả Toán A, Toán B và Toán C. Đi kèm lý thuyết cơ bản là một kho dữ
liệu khổng bài tập đƣợc tổng hợp từ các Đề thi giữa và cuối Học kỳ các năm
gần đây của các khối ngành:
Toán A1, A2, A3 và A4: hơn 3500 bài tập
Toán B1 và B2: gần 2000 bài tập
Toán C1 và C2: gần 2000 bài tập
Các bài tập trọng yếu đƣợc quay Video đi kèm lời giải giúp các em ôn tập
dễ dàng, tiếp cận phƣơng pháp giải nhanh chóng và chính xác.
Thầy và đội ngũ các Supper Mods (cũng đều là các Giảng viên dạy Đại
học) rất vui đƣợc trao đổi trên diễn đàn Toán cao cấp tại Moon.VN trên
Facebook với đƣờng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/
Các em cũng có thể thắc trực tiếp với thầy tại trang Facebook cá nhân với
đƣờng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan
Chúc các em nhanh chóng thu lƣợm đƣợc những kiến thức, hoàn thiện kỹ
năng và vận dụng sáng tạo !
4
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
MỤC LỤC
§1: SỐ THỰC............................................................................................ 7
§2: SỐ PHỨC............................................................................................ 9
§4: MỘT SỐ VÍ DỤ ................................................................................ 25
§4: MỘT SỐ VÍ DỤ ................................................................................ 45
§1:ĐẠO HÀM ......................................................................................... 54
5
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
6
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
CHƢƠNG I: GIỚI HẠN DÃY SỐ
§1: SỐ THỰC
1) Sự cần thiết mở rộng tập hợp số hữu tỉ : Trong thực tế và nghiên cứu số
hữu tỷ không đáp ứng đƣợc,nên nhất thiết phải mở rộng tập hợp số
Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phƣơng số đó đƣợc kết quả bằng 2
2) Định nghĩa:
1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn đƣợc xem là biểu diễn một số vô
tỷ
2. Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là
và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số
thực
đƣợc xác định bởi
.
Nếu với mỗi tập X x có một số M sao cho x Mthì nói tập X bị
chặn trên bởi số M.Trái lại nếu có số m để x mthì nói tập X bị chặn dƣới
.Tập bị chặn trên(dƣới) có thể không bị chặn dƣới(trên).Số M hay m đƣợc gọi
là cận trên hay dƣới của tập X.
Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dƣới) có vô số cận trên(dƣới).
3. Định nghĩa
Số bé nhất trong các cận trên đƣợc gọi là cận trên đúng và đƣợc gọi
là M = SupX
.
xX
Số lớn nhất trong các cận dƣới đƣợc gọi là cận dƣới đúng đƣợc gọi là
m = inf X
.
xX
3) Định lý
7
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Số M đƣợc gọi là cận trên đúng của tập
X
xo X sao cho xo M
Số m đƣợc gọi là cận dƣới đúng của tập
xo X sao cho xo m
.
.
X
8
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
§2: SỐ PHỨC
2.1.Dạng đại số của số phức.
-Định nghĩa số i: Số i đƣợc gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i2 1.
-Định nghĩa số phức: Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó
z a bi đƣợc gọi là số phức. Số thực a đƣợc gọi là phần thực và số thực b đƣợc
gọi là phần ảo của số phức z. Phần thực của số phức z a bi đƣợc kí hiệu là
Re(z). Phần ảo của số phức z a bi đƣợc kí hiệu là Im(z).
-Khi cộng (trừ) hai số phức ta cộng (trừ) phần thực và phần ảo tƣơng ứng.
-Khi nhân hai số phức ta thực hiện giống nhƣ nhân hai biểu thức đại số với
chú ý i2 1.
-Muốn chia hai số phức ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.
-Số phức z a bi đƣợc gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi.
*Tính chất của số phức liên hợp:
Cho z và w là hai số phức,
z w
và là hai số phức liên hợp tƣơng ứng. Khi đó:
(i) z z là một số thực.
(ii) z.z là một số thực.
(iii) z z khi và chỉ khi z là một số thực.
(iv) z w z w
(v) z.w z.w
(vi) z z
9
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
n
(vii) zn z với mọi n
.
2.2.Dạng lƣợng giác của số phức.
Modun của số phức z a bi là một số thực dƣơng đƣợc định nghĩa nhƣ sau
mod(z) z a2 b2
Nếu coi số phức z a bi là một điểm có tọa độ a,b thì
2
2
z a2 b2 a 0 b 0 là khoảng cách từ điểm
a,b đến gốc tọa độ.
Góc
đƣợc gọi là argument của số phức z và đƣợc kí hiệu là arg(z) .
a
a
cos
a2 b2
r
b
Tìm argument số phức
hoặc tan với 0 2
b
b
a
sin
a2 b2
r
Dạng lƣợng giác của số phức z a bi là z r cos isin
10
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Nhân hai số phức ở dạng lƣợng giác: modun nhân với nhau và argument
cộng lại.
Chia hai số phức ở dạng lƣợng giác: modun chia cho nhau và argument trự
ra.
2.3.Dạng mũ của số phức.
Định lý Euler: ei cosisin
.
2.4.Nâng số phức lên lũy thừa.
Lũy thừa bậc n của i: Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in ir với r là phần dƣ
của n chia cho 4.
Ví dụ: Tính z i1987
1987 4.4963 z i3 i
Công thức De-Moivre: Cho r 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó
r cosisin n rn cosnisinn
Khai căn bậc n của số phức
2k
2k
n
n
n
z r cos isin z r cos
isin
k
n
n
2.5.Định lý cơ bản của đại số.
Đa thức P z bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.
Ví dụ: Giải phƣơng trình sau trong 0
2
2
9
9
9
z i z i z cos
isin
11
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
2
2
k2
k2
zk cos
isin
, k 0,1,...,8
9
9
2.6. Một số ví dụ số phức
3
Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z 2z 2 i 1i (1)
Giải:
Giả sử z a bi z a bi
(1) a bi 2(a bi) (23 3.22i 3.2i2 i3)(1i)
a bi 2a 2bi (812i 6i)(1i) (11i 2)(1i)
13
3
b 9
3a 13
b 9
a
13
z 9i
3
3a bi 11i 11i2 2 2i 139i
z1 z2
Ví dụ 2: Cho z1 23i, z2 1i . Tính z1 3z2
;
;
z13 3z2
z2
Giải:
+) z1 3z2 23i 33i 5 6i
3 4i 1i
z1 3z2 52 62 61
z1 z2 3 4i
7 i
z1 z2
49 1 5 2
+)
z2
1 i
1i2
2
z2
4
4
2
+) z13 3z2 836i 54i2 27i3 33i 49 6i
z13 3z2 2437
12
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
2
(1i 2) 1 i
Ví dụ 3: Tìm môđun của z biết z 2z
(1)
2 i
Giải:
Giả sử z a bi a,b
(1i 2) 1 2i i2
2i 2 2i2
2 i
(1) a bi 2a 2bi
2 i
(2i 2 2) 2 i
i(4 2 2) 4 2 2
3a bi
4 i2
5
4 2 2
4 2 2
a
z
;b
15
5
32 4 16 2 144 72 144 2
225128 2
225
15
Ví dụ 4: Tìm tất cả các số phức z, biết z2 z 2 z (1)
Giải:
Giả sử z a bi a,b
(1) a bi2 a2 b2 a bi a2 b2i2 2abi a2 b2 a bi
1
1
2
a ;b
2
2
2b a 0
2b2 a bi 2abi 0
b 0;a 0
b 2ab 0
1
1
2
a ;b
2
13
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
1 1
Vậy z 0; z i; z i
2 2 2 2
1 1
Ví dụ 5: Tìm các căn bậc hai của số phức z 512i
Giải:
Giả sử m ni (m; n là căn bậc hai của z
Ta có: (m ni)2 512i
m2 2mni n2i2 512i m2 2mni n2 512i
2
2
m n 5(1)
2
2
m n 5
2mn 12
6
m (2)
n
2
6
Thay (2) vào (1) ta có:
n2 5 36 n4 5n2
n
n4 5n2 36 0 n2 4;n2 9(loai)
n 2 m 3
n 2 m 3
Vậy z có hai căn bậc hai là 3 2i và 3 2i.
Ví dụ 6: Tìm các căn bậc hai của số phức z 164 48 5i
Giải:
14
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
m ni (m; n
Giả sử
là căn bậc hai của z
Ta có: (m ni)2 164 48 5i
m2 2mni n2 164 48 5i
2
2
m n 164(1)
2
2
m n 164
24 5
2mn 48 5
n
(2)
m
24 5
Thay (2) vào (1) ta có: m2 (
)2 164 m4 164m2 2880 0
m
m 4 n 6 5
2
2
m 16;m 180(loai)
n 4 m 6 5
Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5i, 4 6 5i
z 2 3i
z i
Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u
là
một số thuần ảo.
Giải:
z a ib (a,bR)
Giả sử
, khi đó
a 2 bi 3i (a 2 (b 3)i)(a (b 1)i)
a (b 1)i
u
a2 (b 1)2
Tử số bằng a2 b2 2a 2b 3 2(2a b 1)i
15
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
u là số thuần ảo khi và chỉ khi
2
2
2
2
a b 2a 2b 3 0
2a b 1 0
(a 1) (b 1) 5
(a;b) (0;1), (2;3)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn tâm I(1;1), bán
kính bằng , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).
5
Ví dụ 8: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
z
a)
3
b) z z 3 4i
c) z i z i 4
z i
Giải:
a) Đặt z x yi x, y
2
9
8
9
2
2
2
2
2
Ta có: z 3 z i x y 9 x y 1 x y
64
9
8
3
I 0;
Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng tròn tâm
, bán kính R .
8
b) Đặt z x yi x, y
2
2
z z 3 4i x2 y2 x 3 4 y 6x 8y 25
Ta có
6x 8y 25.
Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng thẳng
c) Đặt z x yi x, y
2
2
Ta có z i z i 4 x2 y 1 x2 y 1 4
16
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
2
x2 y 1 4
2
2
2
2
2
2
x y 1 16 8 x y 1 x y 1
2
2
2
2
x y 1 16
x y 1 16
2
4x2 4y2 8y 4 y2 8y 16
2 x2 y 1 y 4
2
2
x y 1 16 1
x2 y2
1
2
3
4
y 4
3
Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và trên elip (2) và tung độ các điểm
y 4.
nằm trên elip luôn thỏa mãn điều kiện
x2 y2
Vậy tập hợp các điểm M là elip có phƣơng trình
1.
3
4
9
3 i
Ví dụ 9: Viết số phức sau dƣới dạng đại số:
z
5
1 i
Giải:
3 1
6
+ Xét z 3 i 2
i 2 cos
isin
1
2
2
6
9
6
9
2
2
z19 29 cos
isin
29 cos isin
6
1
1
4
z 1 i 2
i 2 cos isin
+ Xét
2
4
2
2
17
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
5
5
4
5
4
5
4
5
4
z5 2 cos
isin
3
4 2 cos
isin
2
z19
3
4
1
1
z 64 2 cos
isin
64 2
i 64 64i
z25
4
2
2
2008
2 6i
z
Ví dụ 10: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
2009
5
sin isin
3
6
Giải:
2008
1
2
3
2008
2 2
i
2 6i
2
z
2009
2009
5
6
sin isin
cos isin
3
6
6
2008
3
2 2 cos
isin
3
6
2009
cos
isin
6
2008
2008
2008
2 2
cos
isin
3
3
2009
2009
cos
isin
6
6
2008
2008 2009
2008 2009
2 2
cos
isin
3
6
3
6
18
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
669
669
23012 cos
isin
23012i
2
2
Do đó: phần thực bằng 0; phần ảo bằng -23012
.
19
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ
1) KHÁI NIỆM:
Cho dãy số x1,x2,.....,xn1,xn,..
Số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy biến xn nếu bắt đầu từ một chỗ nào
đó tức là đối với mọi số thứ tự n khá lớn biến xn sai khác a nhỏ bao nhiêu
cũng đƣợc.
Hoặc: số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy
x
nếu 0,N() N 0 sao
n
cho n Nđều thỏa mãn xn a
xn a hoặc lim xn = a
lim xn a. Khi đó ta có thể viết
n
.
Khi đó ta nói dãy xn hội tụ đến a.Đặc biệt khi xn = a với mọi n thì lim xn = a.
Từ (1) có xn a a xn a và khoảng mở (a ,a ) đƣợc
gọi là lân cận của điểm a.Nhƣ vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các
giá trị của xn bắt đầu từ một giá trị nào đấy của n cần phải rơi vào lân cận đó.
Ví dụ
n 1
a. Chứng minh rằng lim
0
2
n
n 2
n 1
n 1
1
n
1
n2
2
2
Chứng minh: để
0
hay
n 1
hay n
n2 2
n2 2
n
2
n 1
Chọn N
1 vậy với n N ta có
0 tức là lim
0
n2 2
n 2
2
n
n2 1
1
3
b. Chứng minh rằng lim
2
n
3n 2
n2 1 1
1
1
1
2
Để
3n2 2 n
3n2 2
3n2 2
3
3 3
20
Tải về để xem bản đầy đủ
83 trang
27/04/2022
9120
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp A2 (Phần 1) - Nguyễn Đức Trung", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_cao_cap_a2_phan_1.pdf
