Bài giảng Giải tích 3 - Bài 2: Chuỗi số dương
Chuỗi và
GTIII
Phương trình vi phân
§2
Chuỗi số dương
2.1. Tiêu chuẩn tích phân
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội
Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân
Chúng ta bắt đầu với chuỗi nghịch đảo bình phương các số tự nhiên
Trên hình vẽ dưới, chúng ta có thể thấy đường cong y = 1/x2 và các hình
chữ nhật đều nằm dưới đường cong này.
Tiêu chuẩn tích phân
Chiều rộng các hình chữ nhật là 1; chiều cao là giá trị hàm y = 1/x2 do đó
tổng diện tích các hình chững nhật là:
Nếu ta bỏ qua hình chữ nhật đầu, tổng diện tích các hình chữ nhật còn lại
nhỏ hơn diện tích phía dưới đường cong y = 1/x2 với x 1, là giá trị của
tích phân
Tích phân suy rộng này hội tụ và có giá trị 1. Nghĩa là các tổng riêng đều
có giá trị nhỏ hơn:
Mặt khác, do tất cả các số hạng đều dương, nên dãy tổng riêng là dãy
tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Nghĩa là chuỗi là hội tụ và có tổng bé
hơn 2.
Tiêu chuẩn tích phân
Tương tự, chúng ta sử dụng hình vẽ sau, nhưng trong trường hợp này các
hình chữ nhật đều vượt lên trên đường cong
Chiều rộng các hình chững nhật là 1. Chiều cao bằng giá trị của hàm
Tiêu chuẩn tích phân
Khi đó tổng diện tích các hình chữ nhật là
Tổng diện tích này lớn hơn diện tích phía dưới đường cong
với x 1, là giá trị của tích phân
Nhưng tích phân suy rộng này là phân kỳ. Nói cách khác, diện tích dưới
đường cong là vô hạn. Nghĩa là, tổng chuỗi là vô hạn, nghĩa là chuỗi là
phân kỳ.
Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
Xét tính hội tụ của chuỗi
Lời giải:
Hàm f(x) = 1/(x2 + 1) liên tục, dương, giảm trên [1, ) nên ta sử dụng
tiêu chuẩn tích phân:
Nghĩa là 1/(x2 + 1)dx hội tụ, do đó theo tiêu chuẩn tích phân chuỗi
1/(n2 + 1) hội tụ.
Tiêu chuẩn tích phân
Chuỗi
hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p ≤ 1.
Ví dụ: chuỗi
chuỗi
hội tụ
phân kỳ
Ví dụ
Xét tính hội tụ của chuỗi
Lời giải:
Hàm f(x) = (ln x)/x dương, liên tục với x > 1 do hàm loga là dương và
liên tục. Mặt khác
Do đó f'(x) < 0 khi ln x > 1, nghĩa là, x > e. Từ đó, ta có f là hàm giảm
khi x > e. Do đó, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn tích phân.
Do tích phân suy rộng là phân kỳ nên chuỗi (ln n)/n là phân kỳ theo
tiêu chuẩn tích phân.
Ví dụ
§2
Chuỗi số dương
2.2. Tiêu chuẩn so sánh
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội
Tiêu chuẩn so sánh
Ý tưởng của tiêu chuẩn so sánh là so sánh một chuỗi cho trước với một
chuỗi khác đã biết là hội tụ hay phân kỳ. Ví dụ, chuỗi
gợi ý chúng ta về chuỗi
là chuỗi cấp số nhân với công bội
Bởi chuỗi ban đầu rất giống với một chuỗi hội tụ, nên ta có thể nghĩ đến
việc chứng minh nó hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh
Bất đẳng thức
chỉ ra rằng chuỗi ban đầu có các số hạng nhỏ hơn chuỗi cấp số nhân, vì
thế các tổng riêng đều nhỏ hơn 1 (tổng của chuỗi cấp số nhân).
Nghĩa là các tổng riêng tạo thành dãy tăng bị chặn trên, nên hội tụ. Và
tổng của chuỗi nhỏ hơn tổng của chuỗi cấp số nhân.
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn so sánh
Để sử dụng tiêu chuẩn so sánh, chúng ta cần biết về tính hội tụ hay phân
kỳ của một chuỗi bn nào đó để so sánh. Về cơ bản, chúng ta thường sử
dụng:
• Chuỗi [ 1/np hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p 1]
• Chuỗi cấp số nhân [ arn –1 hội tụ khi |r| < 1 và phân kỳ khi |r| 1]
Ví dụ
Xét tính hội tụ của chuỗi:
Nội dung:
Ta có:
và
là chuỗi hội tụ. Nên chuỗi
hội tụ theo tiêu chuẩn so
sánh.
Tiêu chuẩn so sánh
Chú ý 1:
Mặc dù điều kiện an bn hay an bn trong tiêu chuẩn so sánh là cho mọi
n, ta chỉ cần kiểm tra cho n N, với N là số nguyên dương nào đó, vì sự
hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không bị ảnh hưởng bởi một số hữu
hạn số hạng nào đó.
Chú ý 2:
Trường hợp chuỗi lớn phân kỳ, không kết luận được gì về chuỗi nhỏ.
Trường hợp chuỗi nhỏ hội tụ, không kết luận được gì về chuỗi lớn.
Ví dụ: với chuỗi
, ta không thể sử dụng so sánh
Tiêu chuẩn so sánh
Tải về để xem bản đầy đủ
23 trang
26/04/2022
9600
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 3 - Bài 2: Chuỗi số dương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_3_bai_2_chuoi_so_duong.ppt
