›
›

Giáo trình Giải tích 1

Download
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ  
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  
PGS TS Tô Văn Ban (Chủ biên)  
ThS Nguyễn Văn Hồng  
BÀI GIẢNG CHI TIẾT  
GIẢI TÍ CH I  
Hà nội, 4-2013  
BỘ MÔN DUYỆT  
BÀI GIẢNG CHI TIẾT  
(Dùng cho 75 tiết giảng)  
Học phần: GIẢI TÍCH I  
Nhóm môn học: Giải tích  
Bộ môn: Toán  
Thay mặt nhóm  
môn học  
Chủ nhiệm Bộ môn  
Tô Văn Ban  
Khoa: Công nghệ Thông tin  
Tô Văn Ban  
Chủ biên:  
Tham gia:  
PGS TS Tô Văn Ban  
ThS Nguyễn Văn Hồng  
Thông tin về nhóm môn học  
TT  
1
Họ tên giáo viên  
Tô Văn Ban  
Học hàm  
PGS  
Học vị  
TS  
2
3
4
5
6
7
8
9
Nguyễn Xuân Viên  
Nguyễn Đức Nụ  
Vũ Thanh Hà  
PGS  
TS  
TS  
TS  
TS  
ThS  
ThS  
ThS  
ThS  
ThS  
ThS  
ThS  
Giảng viên chính  
Giảng viên chính  
Giảng viên  
Giảng viên  
Giảng viên  
Giảng viên  
Giảng viên  
Giảng viên  
Giảng viên  
Giảng viên  
Tạ Ngọc Ánh  
Bùi Văn Định  
Bùi Hoàng Yến  
Nguyễn Thị Thanh Hà  
Nguyễn Văn Hồng  
Nguyễn Thu Hương  
Đào Trọng Quyết  
Nguyễn Hồng Nam  
10  
11  
12  
Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1408, Nhà A1 (Gần đường HQ Việt)  
Điện thoại, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com  
Bài giảng1: Giới hạn – Liên tục – Đạo hàm  
Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến  
Mục: § 1.1. số thực (2 tiết)  
§ 1.2. giới hạn dãy số (3 tiết)  
Tiết thứ: 1-5,  
Tuần thứ: 1  
- Mục đích, yêu cầu:  
Nắm sơ lược về Học phần, các chính sách riêng của giáo viên, địa  
chỉ Giáo viên, bầu lớp trưởng Học phần.  
Nắm được vài khái niệm về tập số như sup, inf, định lý về cận trên;  
Tìm giới hạn của dãy thông thường, dãy đơn điệu;  
Tìm giới hạn của hàm dùng các phép thay tương đương;  
1
- Hình thức tổ chức dạy học:  
Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu  
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t  
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công.  
- Nội dung chính:  
Giới thiệu học phần GIẢI TÍCH I (15 phút)  
Giải tích toán học là bộ môn của toán học liên quan đến những vấn đề  
của biến đổi và chuyển động. Phương tiện chủ yếu của nó là nghiên cứu  
các đại lượng vô cùng bé. Nó đề cập đến chuyện những đại lượng nọ tiến  
đến những đại lượng kia. Hai nhánh chính của giải tích là phép tính vi phân  
và phép tính tích phân được liên hệ với nhau bởi định lý cơ bản của giải  
tích.  
Dưới dạng toán giải tích, I. Newton đã giải thích chuyển động của  
các hành tinh xung quanh mặt trời. Ngày nay, giải tích dùng để tính toán  
quỹ đạo của các vệ tinh, dự báo kích cỡ quần thể, các chỉ số kinh tế, dự báo  
thời tiết, đo thông số tim mạch, tính toán phí bảo hiểm ...  
Một số chứng minh định lý ... được lược giản, nhưng dung lượng  
kiến thức, tầm sâu trí tuệ tư duy lô gíc hoàn toàn đảm bảo, đủ để sinh viên  
kỹ thuật và công nghệ dư sức lĩnh hội được dung lượng các môn học khác -  
mà nhiều khi ngày một lớn - ở bậc đại học. Chúng tôi chú trọng đến khía  
cạnh áp dụng của vấn đề. Những ví dụ, bài tập có tính ứng dụng cao trả lời  
cho người học câu hỏi học phần này, để làm gì, tác dụng ra sao với các  
môn học tiếp, với năng lực người kỹ sư tương lai.  
Chúng ta sẽ thấy rất nhiều ví dụ, bài tập liên quan đến thực tiễn  
Các khái niệm, định lý, tính chất ... thường được phát biểu bằng  
lời và kết hợp với công thức...  
Chính sách riêng  
Mỗi lần lên bảng chữa bài tập đúng được ghi nhận, cộng vào điểm  
quá trình 0.5 điểm. Chữa bài tập sai không bị trừ điểm.  
Hết Chương 1 nộp Bài làm của Bài tập Chương 1.  
Sự hiện diện trên lớp: Không đi học 5 buổi sẽ không được thi.  
Tài liệu tham khảo  
TT  
1
Tên tài liệu  
Tác giả  
Tô Văn Ban  
Nxb  
Giáo dục  
Năm xb  
2012  
Giáo trình Giải tích I  
2
Toán học cao cấp  
(T2,3)  
Nguyễn Đình Trí và  
Giáo dục  
2007  
…
3
4
Giải tích 1  
Trần Bình  
KH và KT  
HVKTQS  
2007  
2006  
Bài tập giải tích  
Nguyễn Xuân Viên  
2
5
6
Bài tập Giải sẵn giải Trần Bình  
tích I  
KH và KT  
2007  
Calculus (Early  
Jon Rogawski  
W.H.Freeman 2007  
and Co.  
Transcendentals),  
BÀI TẬP VỀ NHÀ Ví dụ: Tự đọc; Bài tập: Chữa trên lớp  
CHƯƠNG I . Trợ: 3; 4(b); 7; 11; 17(b); 25(b).  
Chính: 8(a, b, c); 9; 12(11 31, Chữa: 11, 14, 16, 18, 24, 27, 29, 31 );  
13(d i: Chữa: e, f, i); 14( a-f, Chữa: a, b, d, f); 15; 19(a, b); 20; 23.  
Ví dụ cuối chương 1 (b, d, e)  
CHƯƠNG II Trợ: 1(1, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 17, 19); 18(a, d, e); 34; 36(a,  
b); 41, 42.  
Chính: 1(13, 21); 3; 6(a, b); 7(b); 9(a,b); 12(a, b, c, d); 13(d); 15(a,  
c); 16;  
18(a); 21; 22(a, b); 25(c); 32(a, b, c, d); 38(a, b); 39(b).  
BS 1. Nghiệm lại định lý Rolle với các hàm số sau, chỉ rõ điểm trung  
gian c trong đoạn [-1,1] trong định lý nếu nó tồn tại:  
2
1x  
khi x 0  
(a) f(x) 13 x2 (b) f(x)   
1x3 khi x 0  
(b)BS 2. Biết rằng hàm ẩn y y(x) từ phương trình xy ln y 2 khả vi và  
  
y(2) 1. Hãy tính y tại x 2.  
VD 2.8; VD 2.16(a, b); 2.21; 2.26(a, b, d); 2.30(d); 2.33; VD 39; VD 2.40  
(hình 2.32 a: r arcsin ).  
CHƯƠNG III. Trợ: 1(2, 3, 4, 10, 14, 15, 25, 34) ; 14 (a); 15(a); 18; 25(a, c)  
Chính: 1(7, 19, 21, 22, 24, 27, 29, 30); 3(g); 2(c,d); 4(a, b); 10(c); 18.  
19(c, d, e, f); 20(b, c); 21 (a, b); 22; 34(h, i, j, k, l); 35(a f, Chữa: a, b,  
c));  
36(a i, Chữa: a, b, d, h, i ).  
x5  
sin x  
x x  
1
BS. Xét sự hội tụ của ác ctích phân suy rộng  
dx ,  
dx ;  
ex  
0
  
  
4
1
xsinx  
1x6  
1
dx  
0 x x2 9  
 xarctan x  
sin 2x  
1x2  
dx ;  
dx ;  
;
dx ;  
dx  
x2 x  
1x5  
2
1
1
0
VD 3.26; VD 3.27; VD 3.28. VD 3.32; VD 3.38 (a, b); VD 3.39; VD  
3.40;  
VD 3.41; VD 3.42; VD 3.43; VD 3.44(a).  
CHƯƠNG IV. Trợ: 1( 2, 5, 11, 12, 13, 18, 26); 2, 3( 1, 5, 9, 12); 5(b,  
f).  
Chính: 1(28, 29, 30); 11(f); 12(c); 14 (c l, Chữa: c, e, f, i, j, l); 15(a,  
b, c); 16(a, b); 18(d, e); 21; 23 (c, e); 24(a, b); 26(a i, Chữa: a, c, e, h)  
27(a f, Chữa: a, c, d, f); 33(a, c); 34(a, b, c).  
BS 1. f (x) ln(12x). Tính đạo hàm f (2000)(0) .  
3
2
n
2 1 2  
   
1 2  
   
BS 2. Xét sự hội tụ  
...  
...  
   
5 2 5  
   
n 5  
   
   
n  
n
1  
1x  
BS 3. Cho chuỗi hàm  
2n 1 12x  
n1  
a) Tính tổng riêng thứ 5 tại x = 0. b) Tìm miền hội tụ của chuỗi.  
VD 4.19 (b); VD 4.23(b); VD 4.24 (b, c, d); VD 4.25(a, b, c, d)); 4.5.7 (Ví  
dụ khác) (a, b, c); VD 4.27; VD4.29 (b).  
Tài liệu tham khảo cho Học phần GTI  
TT Tên tài liệu  
Tác giả  
Nxb  
Năm xb  
2012  
1
Giáo trình Giải Tô Văn Ban Nxb Giáo dục  
tích I  
2
3
Giải tích I  
Toán học cao cấp Nguyễn  
(T 2) Đình Trí và  
Trần Bình  
KH và KT  
Giáo dục  
2007  
2007  
…
4
4
5
Bài tập Giải tích Nguyễn  
Xuân Viên  
Bài tập Giải sẵn Trần Bình  
giải tích Tập 1  
Calculus (Early Jon  
Transcendentals), Rogawski  
HV KTQS  
2006  
2007  
2007  
KH và KT  
W.H.Freeman and Co.  
CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM  
Câu số  
Câu 1  
Câu 2  
Câu 3  
Câu 4  
Câu 5  
Về phần  
Lý thuyết  
Số điểm  
2đ  
2đ  
2đ  
2đ  
2đ  
10đ  
10đ  
10đ  
10đ  
Chương 1: Giới hạn, liên tục  
Chương 2: Đạo hàm  
Chương 3: Tích phân  
Chương 4: Chuỗi  
Điểm bài thi  
Điểm quá trình  
Điểm chuyên cần  
Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10%  
+ điểm quá trình x 20% + điểm bài thi x 70%  
Hình thức thi: Thi viết  
Bầu lớp trưởng lớp học phần. Kết quả:  
Số điện thoại giáo viên:  
Địa chỉ Email cần:  
Webside cần:  
Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số)  
Giới thiệu bảng chữ cái Hy lạp (Greek Alphabet)  
4
Chương 1  
GIỚI HẠN, LIÊN TỤC  
§ 1.1. SỐ THỰC (2 tiết)  
1.1.1. Mở đầu  
a. Giới thiệu về các tập số  
* 1, 2, ..., n, ... : *;  
* 0, 1, ..., n, ... : .  
* ... , 2, 1, 0, 1, 2, ... : .  
p
q
*
, q*, p: (là một trường).  
Trong không có các phần tử kiểu như 2, e, , ... , gọi là các số vô  
tỷ. Cần đưa vào các số vô tỷ để được - tập các số thực - rộng hơn .  
b. Tiên đề số thực  
Chúng ta công nhận sự tồn tại và duy nhất tập hợp các số thực, ký hiệu  
là , ở đó có trang bị phép cộng + , phép nhân , và một quan hệ thứ tự   
thỏa mãn các tiên đề (i) – (iv) dưới đây:  
(i) (, , ) là một trường, cụ thể là: (Xem [1])  
(ii) là một quan hệ thứ tự toàn phần trong , cụ thể là:  
1) có tính chất phản xạ: a , a a .  
2) có tính chất phản đối xứng:  
a b  
b a  
a, b,  
a b.  
a b  
b c  
3) có tính chất bắc cầu: a, b, c,  
a c .  
a b  
b a  
4) là quan hệ thứ tự toàn phần: a, b  
Nếu a, bvà a b, a b, ta nói a nhỏ hơn b và viết a b .  
(iii) Giữa các phép toán , và quan hệ thứ tự có mối liên hệ sau  
đây:  
1) a b a c b c  
2) d 0, a bad bd  
5
(iv) Mỗi tập không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng.  
Riêng tiên đề (iv) cần có những giải thích tỷ mỉ hơn sau đây.  
c. Cận, bị chặn  
Ta nói x là một cận trên (hay biên trên) của tập hợp A nếu  
a A, a x .  
Ta nói ylà một cận dưới (hay biên dưới) của tập hợp A nếu  
a A, y a .  
Ta nói x là phần tử lớn nhất (hay giá trị lớn nhất) của tập hợp A   
nếu x A và x là một cận trên của A:  
x A  
a A, x a.  
Ký hiệu phần tử lớn nhất của tập hợp A là Max(A).  
Tương tự đối với khái niệm phần tử nhỏ nhất; ký hiệu là Min(A).  
Khi A là hữu hạn, ta dùng ký hiệu Max(a1, ..., an ) hay Max ai  
1in  
Tập con A được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại (ít nhất) một cận  
trên của nó. Tương tự ta có thể hiểu khái niệm bị chặn dưới.  
Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn  
dưới.  
Supremum. Phần tử bé nhất trong các cận trên của tập hợp A, nếu tồn  
tại, được gọi là cận trên đúng của A, ký hiệu là Sup(A)  
Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của tập hợp A, nếu tồn tại, được  
gọi là cận dưới đúng của A, ký hiệu là Inf(A).  
Có thể xảy ra trường hợp Sup(A)A hoặc (và) Inf (A)A . Chẳng hạn  
khi A (a; b) .  
Dễ thấy tiên đề iv) tương đương với:  
iv') Mỗi tập không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng.  
d. Nhúng vào (☼) (☼)  
Hình 1.1. Mỗi số hữu tỷ xem là một số thực  
e. Các loại khoảng  
Có 9 loại khoảng suy rộng sau đây trong   
6
1) a, b x : a x b ,  
6) (a,  ) x : a x ,  
2) [a, b) x : a x b ,  
7) (, a] x : x a ,  
3) (a, b] x : a x b ,  
8) (, a) x : x a .  
9) (,  ) .  
4) (a, b) x : a x b ,  
5) [a,  ) x : a x ,  
Các khoảng a, b ; (, a]; [b,  ); (,  ): đóng,  
(a, b); (, a); (b,  ); (,  ): mở,  
[a, b); (a, b]  
: nửa đóng, nửa mở;  
a, b  
: (đầu) mút của khoảng.  
1.1.2. Các tính chất cơ bản của tập các số số thực  
a. Các bất đẳng thức thường gặp  
1
x 0 0 ;  
x
0 x y  
0 u v  
x, y, u, v,  
xu yv.  
Bất đẳng thức Cauchy:  
x1 ...xn  
Với x1 0,...,xn 0 thì  
Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski-Schwartz:  
n x1...xn .  
n
n
n
n
2  
  
  
x y  
x2  
y2 .  
i
  
   
i
i i   
  
i1  
i1  
i1  
  
b. Giá trị tuyệt đối. Giá trị tuyệt đối của số thực x là một số thực, ký  
hiệu là |x|, xác định bởi  
x khi x 0,  
| x |  
x  
x 0.  
c. Khoảng cách thông thường trong   
d. Cận trên. Chúng ta nhắc lại tiên đề về cận trên đúng:  
Mọi tập A không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng Sup(A).  
Hệ quả. Mọi tập A không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới  
đúng Inf(A).  
Định lý 1.1. Cho A là tập không trống. Khi đó  
M là mét cËn trªn,  
(*)  
M Sup(A)   
  0, a A : M    a M.  
(**)  
7
Chứng minh. (i) Điều kiện cần. Giả sử M Sup(A) . Vậy M là một cận  
trên. Ta giả sử không xảy ra (**), nghĩa là  0 0, a A, a M  0.  
Như vậy, M  0 cũng là 1 cận trên của A. Rõ ràng M  0 M . Vậy M  
không là cận trên nhỏ nhất, mâu thuẫn.  
(ii) Điều kiện đủ. Giả sử xảy ra (*) và (**). Như vậy M là một cận  
trên. Giả sử M không là cận trên nhỏ nhất. Vì A bị chặn trên (ít ra bởi M)  
nên tồn tại cận trên nhỏ nhất M' và M M. Đặt   M M 0. Theo (**),  
a A : M    M (M M ) M a M .  
Vậy M không là cận trên, mâu thuẫn.  
Lưu ý. Điểm a nói ở (**) có thể chính là Sup(A) hoặc không. Bạn đọc  
cũng dễ dàng phát biểu khẳng định tương tự với Inf(A).  
Ví dụ 1.1. Tìm cận trên đúng, cận dưới đúng, giá trị lớn nhất, giá trị  
2
n2  
nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp E   
, n * .  
e. Căn bậc n của số dương (☼)  
(☼)  
Mệnh đề. a 0, n nguyên dương, ! b 0 sao cho bn a .  
1/n  
n
Phần tử b này được ký hiệu bởi a hay a và gọi là căn bậc n của a.  
2
Với n 2, ta ký hiệu a thay cho a .  
Độc giả có thể tự xử lý tương tự với căn bậc lẻ của số âm:  
2n1 a, a 0.  
f. Tính chất Archimede - Phần nguyên  
Định lý 1.2. có tính chất Archimede sau đây:  
  0, A 0, n * : n  A.  
0
2  
A n  
Định lý 1.3. Với mọi x , tồn tại duy nhất số nguyên n sao cho  
n x n 1.  
Số nguyên này được gọi là phần nguyên của x, ký hiệu là [x].  
g. Sự trù mật (☼)  
Định nghĩa. Cho hai tập hợp số thực A, B, hơn nữa A B. Ta nói tập hợp A trù mật  
trong tập hợp B nếu  
bB,   0, a A : b    a b   .  
Hệ quả: Cho x và y là hai số thực bất kỳ, hơn nữa x y . Tồn tại số hữu tỷ a để  
x a y.  
Hình ảnh trực quan: Hai số thực - dù gần nhau bao nhiêu chăng nữa - luôn có ít ra một số  
hữu tỷ ở giữa. (☼)  
h. Số vô tỷ  
Một số thực được gọi là số vô tỷ nếu nó không là số hữu tỷ.  
8
(Tập số vô tỷ là ).  
x y  
xy   
Lưu ý. x , y  
x / y   
(Tổng, tích, thương một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ).  
Định lý 1.5. Tập hợp các số vô tỷ trù mật trong .  
1.1.3. Tập số thực mở rộng  
1.1.4. Lực lượng của , (☼)  
Định nghĩa. Cho hai tập bất kỳ A và B. A được gọi là có lực lượng bé hơn lực lượng của B nếu tồn  
tại một đơn ánh f : A B .  
A và B được gọi là có cùng lực lượng (có lực lượng như nhau) nếu tồn tại song ánh f : A B .  
Lực lượng của tập hợp A ký hiệu là Card(A) (có tài liệu ghi là #A).  
Nếu A là tập hữu hạn n phần tử: A {a1, ... , an} thì quy ước Card(A) n .  
Nếu lực lượng của A bé hơn lực lượng của B thì ta viết  
Card(A) Card(B) .  
Tập hợp A được gọi là có lực lượng đếm được, gọi tắt: A là tập đếm được, nếu có thể sắp xếp các  
phần tử của A thành dãy; cụ thể là, tồn tại một song ánh f : * A .  
Tập hợp vô hạn không phải là tập đếm được được gọi là có lực lượng không đếm được (gọi tắt: tập  
không đếm được).  
Tính chất. Lực lượng của tập các số hữu tỷ trên [0, 1] là đếm được.  
Ngoài ra chúng ta có:  
Tập các số hữu tỷ là đếm được.  
Tập các điểm trên hình vuông đơn vị [0, a][0, a] với cả hai tọa độ hữu tỷ là đếm được ...  
§ 1.2. GIỚI HẠN DÃY SỐ (2 tiết)  
1.2.1. Sự hội tụ - Phân kỳ  
a. Những khái niệm và kết quả mở đầu  
a.1. Dãy số  
Một ánh xạ xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị  
thực  
u : , n u(n)  
được gọi là một dãy số.  
u1 u(1) : số hạng thứ nhất, …,  
un u(n): số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.  
Ký hiệu dãy số bởi {un ,n 1,2,...} hay {un ,n 1} hay đơn giản {un}.  
Dãy số cũng được viết dưới dạng khai triển: u1,u2,...,un ,...  
Cũng hay xét các dãy  
1
1
1
   
, n 1 ,  
   
, n 3 ,  
, n  1 .  
   
   
   
n 2  
n 2  
n 2  
   
1 1 1  
1 1 1  
1 1  
1, , ,...  
2 3  
Chúng lần lượt là  
, , ,... ,  
3 4 5  
, , ,...,  
5 6 7  
9
a.2. Sự hội tụ, phân kỳ của dãy số  
Định nghĩa. Dãy {un} được gọi là hội tụ đến giới hạn (hay có giới  
hạn ) nếu với mọi số   0 , tồn tại N sao cho | un | , n N .  
Khi đó ta viết lim un hay un (n  ).  
n  
Hình ảnh trực quan của điều này là: Từ chỉ số N đủ lớn trở đi, un sẽ  
"rơi" vào lân cận ( ,  ) .  
{un} là dãy hội tụ nếu …  
{un} là dãy phân kỳ nếu:  
Chú ý. Rất dễ dàng nhận được kết quả:  
lim un lim | un |0.  
n  
n  
Định lý 1.6 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của dãy số, nếu  
tồn tại thì duy nhất. Cụ thể là:  
lim u   
n
1
n  
.  
(
|
)
(
|
)
1
2
lim un 2   
n  
1  
2  
Chứng minh.  
Chú ý.  
.
Mỗi dãy dừng (nghĩa là không đổi từ một số hạng nào đó trở đi) là  
dãy hội tụ, hội tụ đến số không đổi đã nêu.  
Hai dãy số trùng nhau từ một số hạng nào đó trở đi cùng hội tụ hay  
cùng phân kỳ.  
Nếu ta thay đổi một số hữu hạn số hạng, hay thêm vào hoặc bớt đi  
một số hữu hạn số hạng của dãy thì được một dãy cùng hội tụ hay  
cùng phân kỳ như dãy dãy cho.  
a.3. Dãy bị chặn  
Ta nói dãy {un } là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) nếu  
tập hợp {un , n 1, 2, ...} là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới).  
Định lý 1.7. Dãy hội tụ thì bị chặn.  
Chứng minh.  
a.4. Giới hạn vô hạn  
Ta nói dãy {un} tiến đến +(hay {un}có giới hạn +) nếu:  
L 0, N: n N, un L.  
Khi đó ta viết lim un   hoặc un   (n  ) .  
n  
Chúng ta dễ hiểu ý nghĩa của ký hiệu un   (n  ) .  
10  
Ta nói dãy {un} tiến đến (hay {un} có giới hạn , {un} nhận   
làm giới hạn) nếu:  
L 0, N: n N, | un |L.  
Định lý 1.8. Mỗi dãy dần ra  đều bị chặn dưới. Tương tự, mỗi dãy  
dần ra  đều bị chặn trên.  
Chứng minh.  
b. Tính chất về thứ tự của giới hạn  
Định lý 1.9. Giả sử {un}, {vn} là hai dãy thỏa mãn điều kiện un vn  
với n N nào đó và tồn tại các giới hạn lim un u; lim vn v. Khi đó  
n  
n  
u v .  
Định lý 1.10. Cho hai dãy {un}, {vn}.  
N, n N, un v  
n   
lim v  .  
n
lim un    
n  
n  
Chứng minh.  
Định lý 1.11 (Định lý kẹp). Cho {un}, {vn}, {wn} là ba dãy. Nếu từ  
một chỉ số N nào đó trở đi xảy ra bất đẳng thức un wn vn còn  
{un} và {vn} cùng hội tụ đến giới hạn thì {wn} cũng hội tụ đến .  
n N, u w v ;  
n
n
n
lim wn .  
lim un lim un   
n  
n  
n  
c. Các phép toán về giới hạn  
Định lý 1.12. Cho {un}, {vn} là hai dãy, , , là ba số thực.  
(a) un (n  ) | un || | (n  ).  
(b) un 0 (n  ) | un || 0 | (n  ).  
u (n  )  
n
un vn (n  ).  
(c)  
v (n  )  
n  
(d) un (n  )  un  (n  ).  
u 0 (n  )  
n
(e)  
(f)  
unvn 0 (n  ).  
{vn} bÞ chÆn  
u (n  )  
n
unvn  (n  ).  
v (n  )  
n  
1
(g) un 0 (n  ) thì dãy  
được xác định từ một chỉ số  
u
n   
1
1
N nào đó trở đi và  
(n  ) .  
un  
11  
u
v
n   
(h) un , vn 0 (n  ) thì dãy  
được xác định từ  
n   
un  
vn  
một chỉ số N nào đó trở đi và lim  
.  
n  
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh (e) và (h).  
Định lý 1.13. Cho hai dãy {un}, {vn}.  
* u   (n  )  
n
(a)  
u v   (n  )  
n n  
vn bÞ chÆn d-íi  
* u   (n  )  
n
u v   (n  )  
n
n
vn   (n  )  
* u   (n  )  
n
u v   (n  )  
n
n
vn (n  )  
un   (n  )  
C 0, N, n N, vn C  
(b)  
u v   (n  )  
n n  
1
(c) u   (n  )   
xác định từ một chỉ số nào đó và  
n
u
n   
1
0 (n  ) .  
un  
un 0 (n  )  
1
(d)  
  (n  ) .  
N, n N, un 0  
un  
Như vậy, khi gặp các giới hạn dạng như ở Định lý trên, ta coi đấy là  
các giới hạn thông thường, không phải là dạng vô định, không cần phải  
"khử dạng vô định".  
Ví dụ 1.2. Xét sự hội tụ của dãy n a , (a 0) .  
n
Kết quả:  
Ngoài ra  
lim a 1 (a 0).  
(1.3)  
n  
n
lim n 1  
(Mạnh hơn!)  
n  
Nhận xét. Sau này ta có nhiều công cụ giải bài toán trên nhanh hơn. #  
an  
nm  
Ví dụ 1.3. Xét sự hội tụ của dãy  
với a 1 và m nguyên dương cố  
định.  
Trước hết xét trường hợp m 1, cụ thể ta sẽ chứng minh  
An  
lim  
 , A 1.  
n0  
n
12  
n
a
Bây giờ xét sự hội tụ của dãy  
an  
, a > 1.  
nm  
Vậy lim  
 , a 1, m*.  
(1.5)  
m
n  
n
Ta nói hàm mũ dần ra vô hạn nhanh hơn bất kỳ hàm lũy thừa nào (hay  
hàm mũ trội hơn hàm lũy thừa).  
#
Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng  
an  
a , lim  
0.  
(1.6)  
n  
n!  
Ta nói giai thừa trội hơn hàm mũ (n! dần ra  nhanh hơn an ).  
#
1.2.2. Dãy đơn điệu  
a. Định nghĩa. Dãy {un} được gọi là tăng (giảm) nếu  
un un1 (un un1) với mọi n.  
Dãy {un} được gọi là tăng (giảm) thực sự nếu un un1 (un un1  
với mọi n.  
)
Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu.  
Định lý 1. 14. Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ.  
Chứng minh.  
+ Giả sử dãy {un} tăng và bị chặn trên: u1 u2 ... L  .  
+ Đối với dãy {un} giảm và bị chặn dưới, xét dãy {un}. Phần còn lại  
là rõ ràng.  
Hệ quả. Dãy tăng, không bị chặn trên thì hội tụ tới +,  
Dãy giảm, không bị chặn dưới thì hội tụ tới -.  
b. Dãy kề nhau  
Định nghĩa. Hai dãy {un}, {vn} được gọi là kề nhau nếu {un} tăng,  
{vn} giảm và vn un 0 (n  ) .  
Định lý 1.15. Hai dãy {un}, {vn} kề nhau thì chúng hội tụ đến cùng  
một giới hạn . Hơn nữa  
un un1 vn1 vn , n *.  
Chứng minh.  
n
n
1
1
1
1
1
1
Ví dụ 1.5. Hai dãy u   
1  ..., v   
,
n
n
k0 k!  
1! 2!  
n!  
k0 k! n.n!  
n = 1, 2, . . . là kề nhau. Vậy chúng có cùng giới hạn, gọi là e. Ta biết  
e 2.718 281 828.  
13  
n
1
n
(Một định nghĩa khác của số e là: e lim 1  
).  
#
n  
1.2.3. Dãy con  
Định nghĩa. Cho dãy {un}: u1, u2, ... Dãy {un , k 1, 2, ...} với các  
k
chỉ số nk thỏa mãn: n1 n2 n3 ... được gọi là một dãy con trích ra từ  
dãy {un}.  
Chẳng hạn, {un} là dãy cho trước,  
{u2n}: u2, u4 , u6, ...  
{u2n1}: u1, u3, u5, ...  
: dãy "chẵn"  
: dãy "lẻ"  
{u3n}: u3, u6, u9, ...  
là các dãy con. Tuy nhiên  
{un 3n3}: u1, u1, u3, u7, ...  
2
là dãy, nhưng không là dãy con của {un} vì chỉ số 1 bị lặp lại!  
Định lý 1.16. Nếu {un} có giới hạn thì mọi dãy con trích ra từ đó  
cũng có giới hạn .  
Chứng minh.  
Định lý này có tác dụng tốt để CM một dãy nào đó không hội tụ.  
Ví dụ 1.6. Xét sự hội tụ của dãy {(1)n}.  
u2n (1)2n 11 (n  ),  
u2n1 (1)2n1  1 1 (n  ).  
Vì 1 1, theo Định lý 1.16, dãy này không thể hội tụ, vậy nó phân  
kỳ. #  
Định lý 1.17. Cho {un} là một dãy, còn là một số thực. Khi đó,  
lim u   
2n  
n  
lim u   
n
n  
lim u2n1   
n  
Lưu ý: Có thể mở rộng Định lý trên bằng cách tách {un} thành k dãy  
con rời nhau.  
Định lý 1.18 (Bổ đề Bolzano-Weierstrass). Từ mọi dãy số thực bị  
chặn đều có thể trích ra một dãy con hội tụ.  
Chứng minh. Cho dãy bị chặn {un}. a1,b1 : n * , a1 un b1 .  
Đặt h b1 a1 0. Rõ ràng đoạn [a1, b1] chứa vô hạn phần tử của dãy {un}.  
Chọn một phần tử un tùy ý của dãy {un}. Như vậy a1 un b1.  
1
1
14  
Chia đôi đoạn [a1, b1] bởi điểm (a1 b1) / 2, được 2 đoạn,  
[a1 , (a1 b1) / 2], [(a1 b1) / 2, b1]. Có ít nhất một trong 2 đoạn này chứa vô  
hạn các phần tử của dãy {un}. Gọi đoạn đó là [a2, b2].  
h
2
b1 a  
1   
Rõ ràng [a2, b2] [a1, b1]; b2 a2   
.
2
Chọn một phần tử un tùy ý của {un} sao cho n2 n1 và un nằm  
2
2
trong đoạn [a2, b2]: a2 un b2.  
2
Tương tự, bằng quy nạp ta xây dựng được dãy đoạn [an , bn ] mà  
+ Chứa vô hạn các phần tử của dãy {un},  
bk ak  
h
2k  
+ [ak1, bk1] [ak , bk ]; bk1 ak1  
...   
.
2
Chọn một phần tử un của dãy {un} sao cho nk nk1 và  
k
ak un bk .  
(*)  
k
Hai dãy {ak}, {bk} là kề nhau (nói cách khác, dãy đoạn [ak , bk ] là  
lồng nhau). Theo Định lý 1.15, tồn tại giới hạn chung của chúng:  
lim ak lim bk .  
k  
k  
Theo định lý kẹp  
lim un (đpcm).  
k
k  
Bài tập về nhà cho cả Chương 1  
Trợ: 3; 4(b); 7; 11; 17(b); 25(b).  
Chính: 8(a, b, c); 9; 12(11 31, Chữa: 11, 14, 16, 18, 24, 27, 29,  
31 ); 13(d i: Chữa: e, f, i); 14( a-f, Chữa: a, b, d, f); 15; 19(a, b);  
20; 23.  
Yêu cầu sinh viên chuẩn bị:  
Tự đọc: Ví dụ cuối chương 1 (b, d, e);  
Làm bài tập theo kế hoạch;  
Đọc trước TL[1]: §1.2. Giới hạn dãy số tr 30 - 35  
Bài giảng2: Giới hạn dãy số - Giới hạn, liên tục của hàm số  
Chương 1: Giới hạn, liên tục  
Mục § 1.2 Giới hạn dãy số (tiếp – 1t)  
§1.3. Hàm một biến số - Giới hạn, liên tục của hàm số (2t)  
Bài tập: Giới hạn dãy số (2t)  
Tiết thứ: 6-10,  
Tuần thứ: 2  
- Mục đích, yêu cầu:  
15  
Giới hạn dãy số (tiếp): Một số hiểu biết bổ sung về GH dãy  
Giới hạn, liên tục của hàm số: Nắm được vài tính chất ban đầu của  
GH hàm, tính được một số GH dãy ở bài trước  
- Hình thức tổ chức dạy học:  
Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu  
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t  
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công.  
- Nội dung chính:  
§ 1.2. GIỚI HẠN DÃY SỐ (tiếp - 1 tiết)  
1.2 Giới hạn trên, GH dưới  
Định nghĩa. Cho {un} là một dãy số; {un } là một dãy con của nó  
k
thỏa mãn:  
(i) lim un ;  
k
k  
(ii) Đối với mọi dãy con {um } khác mà lim um thì .  
k
k
k  
Khi đó được gọi là giới hạn trên của dãy {un} và ký hiệu là limun .  
Giới hạn dưới limun : Tự định nghĩa!  
Định lý 1.19  
i. Luôn tồn tại limun   .  
Hơn nữa nếu {un} không bị chặn trên thì limun  .  
ii. Nếu {un} bị chặn trên bởi M thì limun M.  
iii. lim un limun limun .  
n  
Định nghĩa. Dãy {un} được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu  
  0, N, m,n N : | un um | .  
Điều này tương đương với:  
  0, N, n N, p 0: | unp un | .  
Định lý 1.20 (Nguyên lý Cauchy)  
Dãy {un} là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ.  
Chứng minh.  
1
1
Ví dụ 1.7. Xét sự hội tụ của dãy xn 1  ... .  
2
n
N , chọn n N , m 2n N. Ta có  
1
1
1
1
1
| xn x2n |  
...   
...   
.  
n 1  
2n 2n  
2n  
2
16  
Vậy {xn} không là dãy Cauchy; theo Định lý 1.20 nó không hội tụ. #  
Ví dụ 1.8. Chứng minh rằng các dãy {sin n}, {cosn} không hội tụ.  
1.2.4. Dãy truy hồi (☼)  
Bây giời ta xét dãy {un}, các số hạng của nó xác định theo quy nạp dạng un1 f(un ) ,  
trong đó f(x) là hàm nào đó từ khoảng đóng I vào I.  
(☼)  
un  
u2n 1  
Ví dụ 1.9. Tìm giới hạn của dãy {un}: u0 1, un1  
.
Ta thấy un 0 n.  
un  
u3n  
un un1 un   
0, n u giảm.  
   
n
u2n 1 u2n 1  
 lim un 0.  
n  
un  
u2n 1  
Chuyển qua giới hạn đẳng thức un1  
Vậy lim un 0.  
được  
0 .  
2 1  
#
n  
1
Ví dụ 1.10. Tìm giới hạn của dãy {un}: u0 1, un1 (u2n 8).  
6
1
Hướng dẫn. un 0. Xét ánh xạ (hàm số) f (x) (x2 8), nó có 2  
6
điểm bất động là x 2, x 4 .  
u0 [0, 2]  lim un 2  
n  
ĐS. u0 [2, 4)  2  
u0 4 4  
u0 4 : Dãy phân kỳ.  
#
§ 1.3. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ  
1.3.1. Sơ lược về hàm số (☼)  
b. Các phương pháp biểu diễn hàm số  
Hàm số được biểu diến theo một trong 4 cách:  
Bằng biểu thức  
Bằng đồ thị  
Bằng bảng số liệu  
Bằng lời  
1.3.2. Hàm số chẵn, lẻ  
Định nghĩa.  
Ví dụ 1.17. Xét xem mỗi hàm sau đây là chẵn hay lẻ  
17  
a) f (x) 2x x5;  
b) g(x) 3x6;  
c) h(x) 2 x 3x4; d) k(x) x2 2x4, x 0.  
1.3.3. Hàm số ngược  
Bây giờ ta coi hàm số như một ánh xạ. Giả sử  
f :  
X Y (X,Y )  
x X y f (x)Y  
là một song ánh. Khi đó  
+ Tập xác định của f là X, tập giá trị của f là Y.  
+ f là đơn ánh: x1, x2 X, x1 x2 f (x1) f (x2)  
+ f là toàn ánh: yY, x X : f (x) y.  
Vậy với mọi yY , tồn tại duy nhất x X để f (x) y .  
Phép tương ứng đó xác định một ánh xạ (một hàm số) từ Y vào X, ký  
hiệu là f 1 , gọi là ánh xạ (hàm số) ngược của f:  
f 1(y) x sao cho f (x) y .  
f
f
f1  
X
Y
Hình 1.12. Hàm xuôi và hàm ngược  
Theo thói quen, ta dùng chữ cái x đề chỉ đối số, chữ cái y để chỉ hàm  
số. Như vậy ta sẽ ký hiệu hàm ngược của hàm y f (x) là  
y f 1(x), x Y.  
Tính chất. Nếu hàm f(x) có hàm ngược và đồng biến (hay nghịch  
biến) thì hàm ngược cũng đồng biến (hay nghịch biến).  
(hàm ngược biến thiên cùng chiều với hàm xuôi.)  
Hàm f(x) là lẻ thì hàm ngược cũng lẻ; hàm chẵn không có hàm ngược.  
Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm xuất phát qua phân giác  
của góc phần tư thứ nhất.  
Bây giờ cho y f (x), x X là đơn ánh. (Ta không chỉ rõ tập giá trị).  
Gọi Y {f(x), x X} là tập giá trị của f. Thế thì f : X Y là song ánh.  
Theo phân tích trên, tồn tại f 1 : Y X, cũng được gọi là hàm ngược của  
hàm ban đầu.  
18  
Ví dụ 1.18. a. y x2 . Đây là ánh xạ, tập xác định là , không đơn  
ánh. Vậy không có hàm ngược.  
b. y x2, x 0 x y, y 0. Hàm ngược là y x .  
#
Ví dụ 1.19. Xét hàm số y sin x . Hàm này xác định trên , không là  
đơn ánh nên không có hàm ngược.  
2
2
Bây giờ xét hàm số y sin x,   x . Hàm số này đồng biến. Vậy  
tồn tại hàm ngược, ký hiệu là arcsin x, hay đầy đủ hơn  
y arcsin x, 1x 1, đồ thị cho ở Hình 1.13. Rõ ràng là  
sin(arcsin x) x  
với x [ 1, 1];  
   
2 2  
arcsin(sin x) x  
với x   ,  
.
#
Hình 1.13. Hàm sin x và hàm arc sin x  
Ví dụ 1.20. Tương tự, hàm y tan x không có hàm ngược. Nếu ta xét  
   
2 2  
hàm y tan x, x   ,  
thì lại có hàm ngược, ký hiệu là arctan x - hay  
đầy đủ hơn - y arctan x, x (, ) . Đây là hàm lẻ, đồng biến, và đồ thị  
của nó cho ở Hình 1.14. Lưu ý rằng  
arctan() :lim arctan x   ;  
x  
2
arctan() :lim arctan x .  
x  
2
19  
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 150 trang Thùy Anh 26/04/2022 15860
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 1", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_1.pdf