Giáo trình Giải tích 2 - Bài 6 - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
GIẢI TÍCH 2
BÀI 6
A. TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP) (TT)
3.4. Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp
a) Định lí Fubini trên hình chữ nhật. f khả tích trên hình chữ nhật
R a ; b c ; d
d
d
khả tích
x f x, y dy
1/ Nếu tồn tại
với x cố định [a ; b]
f x, y dy
c
c
b d
trên [a ; b] và có
f x, y dy dx
(4.1)
f x, y dxdy
R
a c
b
b
2/
, với y cố định thuộc [c ; d]
khả tích trên [c ; d]
f x, y dx
y f x, y dx
a
a
d b
và có
(4.2)
f x, y dxdy
f x, y dx dy
R
c a
Nói riêng, nếu có f liên tục trên R thì ta có đồng thời (4.1), (4.2)
2
Ví dụ 1.
Ví dụ 2.
x y dxdy , R = [0 ; 1][0 ; 2]
R
x2dxdy
1 y2
, R = [0 ; 1][0 ; 1]
R
b) Định lí Fubini trên tập hợp bị chặn
1/ 1, 2 khả tích trên [a ; b], 1(x) 2(x), x [a ; b],
D = {(x ; y): a x b, 1(x) y 2(x)}
x
2
f khả tích trên D,
, x cố định thuộc [a ; b].
f x, y dy
x
1
x
2
Khi đó, x
f x, y dy khả tích trên [a ; b] và có
x
1
x
b
2
(4.3)
f x, y dx dy dx
f x, y dy
x
D
a
1
Nói riêng, nếu 1, 2 liên tục trên [a ; b], f liên tục trên D thì vẫn đúng
2/ 1, 2 khả tích trên [c ; d], 1(y) 2(y), y [c ; d],
21
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
D = {(x ; y): c y d, 1(y) x 2(y)}
y
2
f khả tích trên D và
f x, y dx , y cố định thuộc [c ; d].
y
1
y
2
Khi đó
khả tích trên [c ; d] và có
f x, y dx
y
y
1
y
d
2
(4.4)
f x, y dx dy dy
f x, y dx
D
c
y
1
Nói riêng, nếu 1, 2 liên tục trên [c ; d], f liên tục trên D thì vẫn đúng
2
2
2
Ví dụ 1.
Ví dụ 2.
Ví dụ 3.
x y dxdy , D: y = x, y = x .
D
2
2
, D: x = 1, y = 0, y = x.
, D: [0 ; ] [0 ; ]
4x y dxdy
D
cos x y dxdy
D
2
Ví dụ 4.
, D: [1 ; 1] [0 ; 2]
y x dxdy
D
2
3y
1
Ví dụ 5. Đổi thứ tự tính tích phân
dy
f(x,y)dx
2
0
2y
1
1
dy ex2dx
Ví dụ 6. Tính
0
y
3.5. Đổi biến trong tích phân 2 lớp.
a) Đổi biến
Định lí 1. Tập mở
2 , D là tập con đo được, compact của U, ánh xạ : U
U
2
, (u, v) (x(u, v), y(u, v)), ở đó
x, y khả vi liên tục
là đơn ánh
|
D
D x, y
Định thức Jacobi
trên D.
0
J u, v
D u,v
Khi đó
(D) là tập compact đo được
22
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Nếu f : (D) R liên tục trên (D) thì có
f x, y dx dy f x u,v , y u,v J u,v dudv
D
D
2
Ví dụ 1. Tính
Ví dụ 2. Tính
xsin x y dxdy , D : 0 x , 0 y x
D
2
, D: 0 x 1, x y x
2 x y dx dy
D
x y 0, y 1
Ví dụ 3. Tính
,
arcsin x ydxdy D :
x y 1, y 0
D
Ví dụ 4. Tính dxdy , D: y = x, y = 4x, xy = 1, xy = 2.
D
b) Đổi biến trong toạ độ cực
2
2
Cho ánh xạ : , , r x, y , x = r cos, y = r sin.
r sin cos
D x, y
Ta có
.
r
J , r
D , r
r cos sin
Dễ thấy không là song ánh, tuy nhiên thu hẹp của trên A = ( ; + 2) (0 ; +),
2
là song ánh từ A \ 0 ; 0 .
Nếu D là tập compact đo được sao cho IntD U, thì thu hẹp của trên
IntD là đơn ánh và J(, r) 0 trên IntD. Khi đó với hàm số liên tục tuỳ ý f : (D)
ta luôn có
f x, y dx dy f r cos, r sin r dr d
D
D
2
2
, D: x2 + y2 1.
ex y dxdy
Ví dụ 1.
Ví dụ 2.
I
D
, D: 2 x2 + y2 42.
2
2
I sin x y dxdy
D
x2 y2
a2 b2
x2 y2
a2 b2
Ví dụ 3.
,
.
1
I
1
dxdy D :
D
1 x2 y2
1 x2 y2
Ví dụ 4.
Ví dụ 5.
, D : {x2 + y2 1, x 0, y 0}
dxdy
I
D
x2
x2 y2
, D :
y2 1
dx dy
I
2
2
2
2
D
4 x y
c) Tích phân hai lớp trên tập đối xứng
Cho D = D1 D2, D2 = S (D1), các tập D1, D2 đo được và |D1 D2| = 0, S là phép
23
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
đối xứng
1/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y), (x, y) D thì có
f x, y dx dy 2 f x, y dxdy
D
D
1
2/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y) thì có
f x, y dx dy 0
D
x2 y2
2
2
Ví dụ 1. Tính
Ví dụ 2. Tính
,
I
I
x y dxdy D :
1
1
a2 b2
D
x2 y2
5
5
,
x y dxdy D :
a2 b2
D
3.6. Tính thể tích vật thể
3
B x, y, z , x, y z x, y , x, y D
1
2
V = |B| =
x, y x, y dxdy
2 1
D
Ví dụ 1. Tính thể tích vật thể
x2 y2 z2
a) ellipxoit
1
a2 b2 c2
x2 y2
+)
+)
V 2c
1
dxdy
a2 b2
D
4
V abc
x ar cos, y br sin
3
48 6
5
b) y x, y 2 x, x z 6, z 0
(
)
c) 2az x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 3a2
d) z = xy, x2 = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x, z = 0
e) x2 + y2 = a2, x2 + z2 = a2
f) z = x + y, (x2 + y2)2 = 2xy, (x 0, y 0), z = 0
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
24
4 trang
18460
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 6 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_2_bai_6_nguyen_xuan_thao.pdf
