Giáo trình Giải tích 3 - Bài 6: Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp một - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 6
§ 6 Chuỗi Fourier (TT)
Khai triển hàm chẵn, lẻ
3. Khai triển hàm chẵn, lẻ
3.1. Nếu là hàm số chẵn
Khai triển hàm tuàn hoàn chu kì bất kì
là hàm chẵn, là hàm lẻ
f(x)sinkx
f(x)
2
f(x)coskx
ak
f(x)coskxdx; bk 0, k
0
x, 0 x
Ví dụ 1. f(x)
tuần hoàn với chu kì
, khai triển hàm
2 f(x)
x, x 0
thành chuỗi Fourier.
+)
f x f x
+) bk 0, k
2
2
0
2
x
2
+)
a0
f x dx
x dx
x
2 0
0
2
0
2
2
2
sin kx
k
+) ak
f x coskxdx
sin kx 0
xd
x coskxdx
k
0
0
2 x sinkx
sinkx
2 coskx
2
k2
2
k
1 1
dx .
1 cosk
k2
k2
2
k
k
0
0
0
2
4
f x
k
+)
1 1 coskx
cos 2n 1 x
k1k2
2n 1
2
2
n0
Ví dụ 2. Khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm số cosin của các hàm số sau
cos 2n 1 x
4
a)
(
)
f(x) 1 x, 0 x
1
2
2
2n 1
n1
2
1, 0 x
cos 4n 1 x cos 4n 3 x
1 2
b) f(x)
(
)
2
4n 1
4n 3
2
n1
0,
x
2
cos2nx
c)
(
)
f(x) x( x), 0 x
n2
6
n1
3.2. Nếu hàm
là hàm số lẻ
là hàm số lẻ còn
là hàm chẵn
f(x)sinkx
f(x)
2
f(x)coskx
ak 0; bk
f(x)sinkxdx, k
0
34
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Ví dụ 3. Cho hàm số
, tuần hoàn với chu kì
, khai triển hàm
f(x) x, x
2
thành chuỗi Fourier
f(x)
+) Hàm
+)
lẻ
f x
ak 0, k
2
2
0
2
0
coskx
+)
bk
f x sinkxdx
x sinkx dx
xd
k
0
x coskx coskx
2
cosk sinkx
2
2
k1
1
dx
k2
k
k
k
k
0
0
0
k1 2
+) f x
1
sinkx
k
k1
Ví dụ 4. Khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm số sin của các hàm số sau
sinnx
a)
(
(
(
)
f(x) x, 0 x
2
n
n1
2
1, 0 x
2 n
4 1
b) f(x)
sin
sinnx )
n1 n
4
2
0,
x
8 sin 2n 1 x
c)
)
f(x) x( x), 0 x
3
2n 1
n1
3.3 Nếu
tuần hoàn với chu kì
, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn
f(x)
2l
l
l
l ; l . Đổi biến x' x
tuần hoàn với chu kì
f(x) f
x' F(x')
2
Sử
dụng
khai
triển
Fourier
cho
hàm
này
có
a0
f(x)
a cosn x b sinn x ,
n
n
2
n1
l
l
1 l
1 l
l l
x
l
ở đó
,
;
a0
f(x)dx an
f(x)cosn
dx, n
l l
1 l
l l
x
bn
f(x)sinn
dx, n
l
Nhận xét. Công thức này nhận được từ công thức (1.3) khi thay bởi l, thay x bởi
l
x
2
Ví dụ 5. Khai triển hàm tuần hoàn với chu kì ,
thành chuỗi
2 f(x) x , 1 x 1
Fourier
+)
chẵn
f x
35
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
+)
+)
bk 0, k 1,2,
1
1
x3
2
3
2
a0 x dx
3
1
1
1
1
2
2
+)
an x cosn xdx 2 x cosn xdx
1
0
1
1
sinn x
n
x2
1 sinn x
2 x2d
2
.sinn x
.2xdx
n
n
0
0
0
1
cosn x 1 1 cosn x
4
n
cosn x
n
4
xd
x.
dx
n
n
n
0
0
0
1
4 cosn sinn x
4
n2 2
n
1
n2 2
n
n
0
1
4
f x
n
+)
1
cosn x
n2 2
3
n1
Ví dụ 6. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số
0, 3 x 0
a) f(x)
với chu kì
2l 6
x
, 0 x 3
3
n
1 1
2
2n 1 x
1
n x
3
(
)
cos
sin
4 2n 1
2
3
n
n1
0, 2 x 0
b) f(x)
với chu kì 2l 4
x
, 0 x 2
2
n
1 1
2
2n 1 x
1
n x
2
(
)
cos
sin
4 2n 1
2
2
n
c) Khai triển hàm tuần hoàn T = 4 thành chuỗi Fourier.
4
3
16
n2 2
n x
n
1
1) f(x) = x2, 2 x 2
(
)
cos
2
n1
8
32
3
3 , n 2k 1
n 2k
2k 1
n x
2k 1
2) f(x) = x|x|, 2 x 2 (
,
bn sin
b
n
2
8
n1
,
2k
36
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
3.4. Nếu f(x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên a ; b , muốn khai triển f(x)
thành chuỗi Fourier, ta xây dựng hàm số
tuần hoàn với chu kì
sao
g(x)
(b a)
cho g(x) f(x), x a ; b .
Khai triển hàm
thành chuỗi Fourier thì tổng của chuỗi bằng
f(x)
tại
g(x)
x a ; b (trừ ra có chăng là các điểm gián đoạn của
). Vì hàm
không
g(x)
f(x)
duy nhất nên có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số
, nói riêng nếu hàm số
f(x)
chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm số cosin, còn nếu hàm số
lẻ thi chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm số sin.
g(x)
g(x)
x
Ví dụ 7. Khai triển hàm số f(x) , 0 x 2 thành chuỗi Fourier theo các hàm số
2
cosin và thành chuỗi Fourier theo các hàm số sin.
x
a) +) Xét hàm g x , 2 x 2, tuần hoàn chu kì 4
2
+)
g x f x , 0 x 2
g x
chẵn, do đó
g x
+) Khai triển Fourier hàm
có
bk 0, k 1, 2,
2
2
2
1
x2
a0
x dx xdx
2
2 2
2
0
0
2
2
2
1
k x
2
k x
2
k x
2
ak
x cos
dx x cos
dx xd
sin
2 2
2
k
0
0
2
2
k x 2
2
k x
2
2
k x 2
2
4
k2 2
2
k
x sin
sin
dx
cos
1 1
0 k
k
2
k
0
0
4
k x
2
8
2n 1 x
k
+) g x 1
1 1 cos
1
2 cos
, x 2
k
2 2
2
2
2n 1
k1
n0
8
1
2n 1 x
f x 1
+)
cos
, 0 x 2
2
2
2n 1
n0
k1
4
1
k x
2
b) f x
sin
, 0 x 2
k
k1
c) 1) Khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm số cosine
1
(
2
4
2
2n 1 x
x
f(x) , 0 x 3
2 cos
)
3
3
2n 1
n1
2) Khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm số sine
2
n x
x
n1
1
f(x) , 0 x 3
(
sin
)
3
n
3
n1
37
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
§1. MỞ ĐẦU
Đặt vấn đề
Các quy luật trong vũ trụ đều được viết theo ngôn ngữ Toán học
Môn Đại số đủ để giải rất nhiều bài toán tĩnh
Tuy nhiên, hầu hết các hiện tượng tự nhiên đáng quan tâm lại liên quan tới sự
biến đổi và thường được mô tả bởi các phương trình có liên quan đến sự thay đổi về
lượng, đó là phương trình vi phân.
1. Khái niệm cơ bản
(n)
Phương trình vi phân là phương trình có dạng
(1)
F(x, y, y , y ,, y ) 0
(n)
trong đó x là biến số độc lập,
là hàm số phải tìm,
là các đạo
y y(x)
y , y ,, y
hàm của nó.
Cấp của phương trình vi phân. Là cấp cao nhất của đạo hàm của
có mặt
y
trong phương trình (1).
Phương trình vi phân tuyến tính. Là phương trình vi phân (1) khi F là bậc nhất đối
(n)
với y, y , y ,, y . Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp n là
y
(n) a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y b(x)
trong đó
là những hàm số cho trước.
a1(x),, an(x)
Nghiệm của phương trình vi phân (1) là hàm số thoả mãn (1)
Giải phương trình vi phân (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân sau
5 x
4
a)
b)
c)
d)
y x sinx
y cosx
y lnx
y x e
2. Một số ứng dụng
a) Sinh trưởng tự nhiên và thoái hoá
dP
Sự tăng dân số:
P , là tỉ lệ sinh, là tỉ lệ chết
dt
dA
b) Lãi luỹ tiến
rA, A là lượng đô la trong quỹ tiết kiệm tại thời điểm t, tính
dt
theo năm, r là tỉ lệ lãi luỹ tiến tính theo năm.
dN
c) Sự phân rã phóng xạ
kN , k phụ thuộc vào từng loại đồng vị phóng xạ
dt
dA
d) Giải độc
A, là hằng số giải độc của thuốc
dt
dx
e) Phương trình tăng trưởng tự nhiên
kx
dt
38
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
đạt tới 6 tỉ người và đang tăng thêm khoảng 212 ngàn người mỗi ngày. Giả sử là
mức tăng dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này, hỏi rằng:
(a) Tỷ lệ tăng k hàng năm là bao nhiêu?
(b) Vào giữa thế kỉ 21, dân số toàn thế giới sẽ là bao nhiêu?
(c) Hỏi sau bao lâu số dân toàn thế giới sẽ tăng gấp 10 lần–nghĩa là đạt tới
60 tỉ mà các nhà nhân khẩu học tin là mức tối đa mà hành tinh của chúng
ta có thể cung cấp đầy đủ lương thực?
(a) Ta tính dân số theo tỉ và thời gian theo năm. Lấy t = 0 ứng với giữa năm 1999,
nên P0 = 6. Sự kiện P tăng lên 212 ngàn hay là 0,000212 tỉ người trong một ngày
tại t = 0 có nghĩa là P’(0) = (0,000212)(365,25) 0,07743 tỉ một năm.
Từ phương trình tăng dân số tự nhiên P’ = kP với t = 0, ta nhận được
P '(0) 0,07743
k
0,0129,
P(0)
6
Như vậy, số dân thế giới đang tăng theo tỉ lệ khoảng 1,29% một năm vào năm
1999. Với giá trị k này, ta có hàm cho số dân thế giới là P(t) = 6e0,0129t
(b) Với t = 51 ta có dự báo P(51) = 6e(0,0129)(51) 11,58 (tỉ)
.
sẽ là số dân của thế giới vào giữa năm 2050 (như thế kể từ năm 1999 mới qua một
nửa thế kỉ, dân số thế giới đã tăng gần gấp đôi).
(c) Dân số thế giới sẽ đạt tới 60 tỉ khi mà 60 = 6e0,0129t; nghĩa là khi
ln10
tức là năm 2177.
178;
t
0,0129
dT
dt
f) Quá trình nguội đi và nóng lên
k A T , k là hằng số dương, A là nhiệt
độ của môi trường
Ví dụ 3. Một miếng thịt 4-lb (1 lb
gam) có nhiệt độ ban đầu là 500 F
450
0
0
(
), được cho vào một cái lò 3750 F vào lúc 5 giờ chiều. Sau 75 phút
1 C 3,38 F)
người ta thấy nhiệt độ miếng thịt là 1250 F. Hỏi tới khi nào miếng thịt đạt nhiệt độ
1500 F (vừa chín tới)?
Giải. Ta tính thời gian theo phút và coi lúc 5 giờ chiều là t = 0. Ta cũng giả thiết (có
vẻ không thực tế) rằng tại mọi lúc, nhiệt độ T(t) của cả miếng thịt là đều như nhau.
Ta có T(t) < A = 375, T(0) = 50 và T(75) = 125. Vì thế
dT
dT
375 t
kt
k(375 T);
kdt ;
;
ln(375 T ) kt C 375 T Be .
dt
Vì T(0) = 50 nên B = 325, vậy T = 375(1 ekt). Ta lại thấy T = 125 khi t = 75. Thay
1
250
các giá trị đó vào phương trình trên sẽ được k ln(
75 325
) 0,0035.
Sau cùng, ta giải phương trình 150 = 375 – 325e(–0,0035)t
,
đối với t = –[ln(225/325)]/(0,0035) 105 (phút) là tất cả thời gian nướng thịt theo
yêu cầu đặt ra. Bởi vì miếng thịt được đặt vào lò lúc 5 giờ chiều, ta sẽ lấy nó ra khỏi
lò vào khoảng 6 giờ 45 phút.
39
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
dy
g) Quy luật Torricelli A y
a 2gy , ở đó, v là thể tích nước trong thùng, A(y)
dt
là diện tích tiết diện thẳng nằm ngang của bình ở độ cao y so với đáy,
là tốc
2gy
độ nước thoát ra khỏi lỗ hổng
Ví dụ 4. Một cái bát dạng bán cầu có bán kính miệng
bát là 4ft (
m)được chứa đầy nước vào
ft 0.3048
thời điểm t = 0. Vào thời điểm này, người ta mở một
lỗ tròn đường kính 1in (in cm) ở đáy bát. Hỏi
2,54
sau bao lâu sẽ không còn nước trong bát?
Giải. Ta nhận thấy trong hình, dựa vào tam giác
vuông có A(y) = r2 = [16–(4–y)2] = (8y – y2),
với g = 32ft/s2, phương trình trên có
Tháo nước từ một bát bán cầu
dy
1
(8y – y2)
( )2 2.32y ;
dt
24
1
16
3
2
1
(8y1/2 y3/2)dy
dt ;
y
3/2 y5/2 t C.
72
5
72
16
3
2
448
Do y(0) = 4, ta có C
43/2 45/2
.
5
15
448
15
Bình hết nước khi y = 0, nghĩa là khi t 72
2150 (s); tức là khoảng 35 phút
50 giây. Có thể coi là sau gần 36 phút, bát sẽ không còn nước.
Ví dụ 5. Một đĩa bay rơi xuống bề mặt Mặt trăng với vận tốc
450m/s. Tên lửa hãm của nó, khi cháy, sẽ tạo ra gia tốc
2,5m/s2 (gia tốc trọng trường trên mặt trăng được coi là bao
gồm trong gia tốc đã cho). Với độ cao nào so với bề mặt Mặt
trăng thì tên lửa cần được kích hoạt để đảm bảo "sự tiếp đất
nhẹ nhàng", tức là v = 0 khi chạm đất?
Đĩa bay trong Ví dụ 5
Phương trình: v(t) = 2,5t 450.
Đáp số: x0 = 40,5 km.
Do đó tên lửa hãm nên được kích hoạt khi đĩa bay ở độ cao 40,5km so với bề mặt
Mặt trăng, và nó sẽ tiếp đất nhẹ nhàng sau 3 phút giảm tốc.
Ví dụ 6. Bài toán người bơi
Bài toán về người bơi
2
v0
dy
x
Phương trình vi phân cho quỹ đạo của người bơi qua sông là
1
2
dx vs
a
40
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
3. Các mô hình toán
Quá trình mô hình toán.
Ví dụ 1. Suất biến đổi theo thời gian của dân số P(t) trong nhiều trường hợp đơn giản
dP
với tỷ lệ sinh, tử không đổi thường tỷ lệ với số dân. Nghĩa là:
kP
dt
(1)
với k là hằng số tỷ lệ.
Quy luật thoát nước của Torricelli.
Phương trình (1) mô tả quá trình thoát nước khỏi bể chứa.
Ví dụ 2. Quy luật của Torricelli nói rằng suất biến đổi theo thời gian của khối lượng
nước V trong một bể chứa tỷ lệ với căn bậc hai của độ sâu y của nước trong bể:
dV
k y , với k là một hằng số.
dt
Nếu bể chứa là một hình trụ tròn xoay với diện tích đáy là A, thì V = Ay, và dV/dt =
dy
A.(dy/dt). Khi đó phương trình có dạng:
h y , trong đó h = k/A là một hằng
dt
số.
Ví dụ 3. Quy luật giảm nhiệt của Newton có thể phát biểu như sau: Suất biến đổi
đối với thời gian của nhiệt độ T(t) của một vật thể tỷ lệ với hiệu số giữa T và nhiệt
dT
độ A của môi trường xung quanh. Nghĩa là
k(T A).
dt
(2)
trong đó, k là một hằng số dương. Nhận thấy rằng nếu T > A, thì dT/dt < 0, do đó
nhiệt độ là một hàm giảm theo t và vật thể nguội đi. Nhưng nếu T < A, thì dT/dt > 0,
và T sẽ tăng lên.
41
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Quy luật giảm nhiệt của Newton,
Phương trình (2) mô tả một hòn đá nóng bị nguội đi trong nước
Vậy, một quy luật vật lý đã được diễn giải thành một phương trình vi phân. Nếu ta
đã biết các giá trị của k và A, thì ta có thể tìm được một công thức tường minh cho
T(t), rồi dựa vào công thức đó, ta có thể dự đoán nhiệt độ sau đó của vật thể
§ 2. Phương trình vi phân cấp một
Đại cương về phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân khuyết
Đặt vấn đề
1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 1
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là
(1) hoặc
F(x, y, y ) 0
y f(x, y) (2)
Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
2
liên tục trên miền D
f(x, y)
(x0; y0) D
trong lân cận
nào đó của , tồn tại ít nhất một nghiệm
của phương
y y(x)
U (x0)
x0
f
y
trình (2) thoả mãn
. Nếu ngoài ra
liên tục trên D thì nghiệm trên là
(x, y)
y(x0) y0
duy nhất
Chú ý
- Việc vi phạm điều kiện của định lí có thể sẽ phá vỡ tính duy nhất
dy
2 y
dx
1
gián đoạn tại (0 ; 0)
f x, y
y
y
Có hai nghiệm thoả mãn: y1 = x2; y2 = 0.
- Vi phạm giả thiết định lí có thể làm bài toán vô nghiệm
dy
x
2y , y(0) = 1
dx
Nghiệm:
dy
y
dx
ln|y| = 2ln|x| + ln|C| y = Cx2
2
x
y(0) = 1, không có C nào vô nghiệm.
42
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
- Có hay không phương trình vi phân không thoả mãn giả thiết và có duy nhất
nghiệm?
- Bài toán Cauchy
y f(x, y), y(x0) y0
- Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2) là hàm số y (x,C):
thoả (2) với mọi
C
(x,C)
(x0 ; y0)D, C C0 : (x,C0 ) xx y0
0
Khi đó
được gọi là nghiệm riêng
(x,C0)
- Nghiệm kì dị là nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát
- Tích phân tổng quát là nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn
(x, y,C) 0
- Khi cho tích phân tổng quát một giá trị cụ thể ta có tích phân riêng (x, y,C0 ) 0
2. Phương trình vi phân khuyết
a) F(x, y ) 0
+)
y f(x)dx
y f(x)
+)
, đặt
; y tf (t)dt
x f(y )
y t
x f(t)
2
Ví dụ 1. Giải phương trình sau
x y y 2
+)
+)
y t
x t2 t 2
2
t2
y t 2t 1 dt t C
3
+)
dy t dx
3
2
2
t2
+) Nghiệm x t2 t 2, y t3 C
3
2
b)
F(y, y ) 0
dy
1
+)
x
y f(y)
dx
dy
f(y)
f(y)
t
f (t)
+)
+)
, đặt
, x
y f(t)
dt
y f(y )
y t
f (t)
, đặt
y g(t) x
F(y, y ) 0
y f(t)
dt
g(t)
2
2
Ví dụ 2. Giải phương trình
y y 4
+)
y 2sint
dy 2cost dt 2cost dx
là nghiệm tổng quát
+) Nếu
y 2sin x c
cost 0
dt dx
t x c
2
+) Nếu
t 2k 1
(Nghiệm kì dị)
y 2
cost 0
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
43
10 trang
23060
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 6: Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp một - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_6_chuoi_fourier_phuong_trinh_vi_p.pdf
