Giáo trình Giải tích 2 - Bài 8 - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
GIẢI TÍCH 2
BÀI 8
B. TÍCH PHÂN BA LỚP (TT)
3.10. Cách tính. Gặp nhiều khó khăn trong việc tính tích phân ba lớp bằng định nghĩa.
Giải pháp hợp lí là dựa vào kĩ thuật tính tích phân hai lớp và tích phân một lớp.
a) Tích phân ba lớp trên hình hộp chữ nhật
Định lí Fubini. Cho f khả tích trên hình hộp chữ nhật đóng P = [a, a][b, b][c, c]
1/ Với mỗi (x, y) a, a b, b , hàm số z f x, y, z khả tích trên đoạn [c,
c
c] thì hàm số
khả tích trên và có
x, y f x, y, z dz
c
c
(10.1)
dxdy f x, y, z dz
f x,y,z dxdy dz x, y dxdy
P
R
R
c
2/ Với mỗi z [c, c], hàm số x, y f x, y, z khả tích trên hình chữ nhật
f x, y, z dxdy khả tích trên [c, c] và
R = [a, a][b, b] thì hàm số z
R
c
c
f x,y,z dxdy,dz z dz dz f x, y, z dxdy
(10.2)
P
c
c
R
b) Cho hàm f liên tục trên hình hộp chữ nhật đóng P, khi đó ta có các công thức
c
(10.1) và (10.2), khi đó do hàm số x, y x, y f x,y, z dz liên tục trên
c
hình chữ nhật R = [a, a][b, b], nên ta có
c
a
b
f x, y, z dxdy dz dx dy f x, y, z dz
P
a
b
c
2
c) Cho tập D đo được theo Jordan trong , các hàm số 1, 2:
khả tích
D
3
trên D và 1(x, y) 2(x, y), (x1, x2) D, B = {(x, y, z) : (x, y) D, 1(x, y) z
2(x, y)} (vật thể hình trụ)
Định lí (Fubini). Cho hàm f : B khả tích trên B. Với mỗi (x, y) D, hàm số
z f x, y, z khả tích trên đoạn [ (x, y), (x, y)] thì hàm số
1
2
x, y
2
x, y
f x, y, z dz
x, y
1
khả tích trên D và có
28
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x, y
2
f x, y, z dxdy dz x, y dxdy
f x, y, z dzdxdy
B
D
D x, y
1
2
d) Cho tập hợp D đo được trên , hàm số 1, 2 liên tục, bị chặn trên D, hàm f :
B liên tục, bị chặn trên B thì định lí Fubini nói trên vẫn đúng.
3
e) Cho B là tập đo được theo Jordan trong , giới hạn bởi z = c và z = c và mỗi
z [c, c], tiết diện thẳng B cắt bởi mặt phẳng Z = z là tập đo được theo Jordan
2
trong , gọi Bz là hình chiếu của tiết diện đó lên mặt phẳng Oxy.
Định lí (Fubini). Cho hàm f : B khả tích trên B. Nếu mỗi z [c, c], hàm số
x, y f x, y, z khả tích trên B thì hàm số
khả tích
z f x, y, z dx dy
z
B
z
c
c
f x, y, z dxdy dz z dz dz f x, y, z dx dy
trên [c, c] và có
B
c
c
B
z
Nói riêng, Định lí đúng với hàm số f liên tục và bị chặn trên B.
1
Ví dụ 1. Tính
xdxdy dz , B: x + y + z 1, x 0, y 0, z 0.
(
)
24
B
1
5
dxdy dz
x y z 1 3
Ví dụ 2. Tính
, V : x + y + z 1, x 0, y 0, z 0 ( ln2
)
2
16
V
3.11. Đổi biến trong tích phân ba lớp
a) Đổi biến
3
Định lí 1. Cho là tập mở , tập compact, đo được B , ánh xạ :
3
xác định bởi (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), ở đó
1/ Các hàm x, y, z :
thuộc lớp C1 trên .
2/ Thu hẹp của trên IntB là đơn ánh
D x, y, z
3/ Định thức Jacobi J(u, v, w) =
, (u, v, w) Int B.
0
D u,v, w
Khi đó ta có
1/ (B) là tập compact đo được
2/ Nếu f : (B)
liên tục trên (B) thì
f x, y,z dxdy dz
f x u,v, w , y u,v, w , z u, v,w J u,v,w dudv dw
B
B
3
b) Toạ độ trụ. Cho ánh xạ :
3, r,, z r cos, r sin, z .
Rõ ràng có x = r cos, y = r sin, z = z đều thuộc lớp C trên
,
3
29
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
cos r sin 0
J r,, z sin r cos 0 r
0
0
1
Với mỗi , thu hẹp của lên tập hợp A = (0 ; )[, + 2] là song ánh
3
từ A lên
bỏ đi trục Oz, nên có J(r, , z) 0 trên A.
Thu hẹp của trên tập mở = (0 ; )(, + 2) là song ánh từ lên tập
3
\ P P
mở V =
,
là nửa mặt phẳng đóng có bờ là trục Oz cắt mặt phẳng Oxy
theo nửa đường thẳng tạo với trục Ox góc .
Khi B là tập compact đo được sao cho IntB , thì thu hẹp của trên IntB là
đơn ánh và J(r, , z) 0 trên IntB. Khi đó ta có
f x, y, z dxdy dz
f x r,, z , y r,, z , z r,, z r dr d dz
B
B
1
zdxdy dz
1 x y
2
2
2
2
2
Ví dụ 1. Tính
Ví dụ 2. Tính
2 , B: x + y a , 0 z h, a > 0, h > 0. ( h ln 1 a )
2
2
B
32 2
z
, B: 2az x2 + y2, x2 + y2 + z2 3a2
(
a3)
dx dy dz
x2 y2
15
B
h2R2
h2
2
2
zdxdy dz, B : z2
x y , z h 0
(
)
Ví dụ 3. Tính
Ví dụ 4. Tính
Ví dụ 5. Tính
R2
4
B
, B : x2 + y2 + z2 = 2Rz, x2 + y2 z2 và chứa (0 ; 0 ; R)
dx dy dz
B
2
2
2
,
z x y dxdy dz B: y 2x x , y 0, z 0, z a 0
B
3
3
c) Toạ độ cầu. Cho ánh xạ
,
:
r,, r sin cos, r sin sin, r cos
rõ ràng các hàm số x, y, z C trên , và có
3
sin cos r sin sin r cos cos
2
,
J r,, sin sin r sin cos r cos sin r sin
cos
0
r sin
Oz,OM , Ox,OM
Với mỗi , thu hẹp trên tập hợp A = (0 ; )[, + 2)(0, r) là song ánh từ
3
A lên
bỏ đi trục Oz, và có J(r, , ) 0 trên A.
Thu hẹp của trên tập mở = (0 ; )(, + 2) là song ánh lên tập hợp
3
mở
, ở đó
là nửa mặt phẳng đóng có bờ là trục Oz, cắt mặt phẳng
P
V \ P
Oxy theo nửa đường thẳng tạo với trục Ox góc .
Khi B là tập compact, đo được sao cho IntB , nào đó thì thu hẹp của trên
30
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
IntB là đơn ánh và J(r, , ) 0 trên IntB, do đó có
f x, y, z dxdy dz
f x r,, z , y r,, z , z r,, z r 2 sin dr d dz
B
B
x2 y2 z2
a2 b2 c2
Ví dụ 1.
Ví dụ 2.
dxdy dz, B :
1
B
2
2
2
2
2
2
x y dxdy dz, B : x y z R
B
x2 y2 z2
x2y2z2 dx dy dz, B :
1
Ví dụ 3.
Ví dụ 4.
a2 b2 c2
x2 y2 z2dxdy dz, B : x2 y2 z2 x
B
B
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
31
4 trang
26/04/2022
7500
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bài 8 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_2_bai_8_nguyen_xuan_thao.pdf
