›
›

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 4: Đạo hàm và vi phân cấp cao, định lí về hàm khả vi - Nguyễn Xuân Thảo

Download
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
GIẢI TÍCH I  
BÀI 4.  
(§1.9, §1.10)  
§1.9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp theo)  
5. Đạo hàm và vi phân cấp cao.  
a) Đạo hàm cấp cao.  
Định nghĩa. f(n)(x) = (f(n 1)(x))'  
2   
   
n
Ví dụ 1.  
a) y = cosx,  
y
cos x n  
   
b) y = x, , tính y(n)  
c) y = loga|x|, tính y(n)  
Quy tắc. f(n)(x), g(n)(x)  
1) (f(x))(n) = f(n)(x)  
2) (f(x) g(x))(n) = f(n)(x) g(n)(x)  
n
   
n
     
f x .g x  
     
k
x g  
   
x
nk  
3)  
Cnkf  
k0  
Ví dụ 2. y = x lnx, tính y(5) . Ví dụ 3. y = sinax cosbx, tính y(20)  
1
Ví dụ 4. y = x2 cosx, tính y(30) . Ví dụ 5.  
, tính y(n)  
y  
x2 1  
12x  
Ví dụ 6.  
a)(K50) 1.  
2 .  
, tính y(n)  
((2)ne2x(n + 1 2x))  
(n 2)!3n1  
y   
e2x  
, tính y(n)  
(
3x n  
)
y xln(13x)  
n  
13x  
2
2
3
et  
2tet  
x 3t 2t  
     
  
f x , f x  
  
b)(K52) 1.  
, tính  
(
,
)
y f(x),  
f   
f   
2
2
t
3
9 12t  
t
y te  
2et  
1et  
x t e  
y 2t e2t  
t
     
  
f x , f x  
  
y f(x),  
f 2(1e ) f   
2.  
, tính  
(
,
)
c)(K55) 1. f(x) = x2 sin(1 x). Tính f(50)(1)  
2. f(x) = (1 x)2 cos x. Tính f(51)(0)  
2x 1  
(100)  
(102)  
f   
   
f x ln  
   
0
2n  
d)(K57) Cho  
. Tính  
((2n 1)!)  
2x2 x 1  
e)(K60) 1. f x x lnx. Tính f(10)(1)  
(9!)  
(9!)  
9
   
1
(10)  
   
f x ln  
.
2.  
Tính f (0)  
1x  
22  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
x3  
20!  
(x 2)21  
(20)  
   
f x   
.
3.  
Tính f (x)  
(
)
8
x 2  
1
.
99!  
250  
1
(50)    
   
f x  
f)(K62)  
Tính  
(
,x  1  
f
x .  
(1x)101  
1x  
b) Vi phân cấp cao  
Định nghĩa. dnf = d(dn 1f)  
khi x là biến số độc lập ta có dnf = f(n)(x)dxn.  
Ví dụ 7. y = x3ex, tính d10y  
Vi phân cấp cao không có tính bất biến  
Ví dụ 8. y = x3, x = t2, có d2y y(2)dx2  
a) y = (x + 1)2 ln(2x + 3), tính d11y(1),  
b) y (1x2)ln(2x 1), tính d10y(1).  
(
8!C2 210dx11  
)
Ví dụ 9(K52)  
11  
7!C2 .29dx10  
(
)
10  
, tính d22f(0)  
, tính d20f(0)  
(211dx22)  
(210dx20)  
(540 dx7)  
x
   
Ví dụ 10(K54) a)  
f x e sinx  
x
   
b)  
f x e cosx  
Ví dụ 11(K56) a) f(x) (x3 1)ln(1x). Tính d7f(0)  
b) f(x) (x3 1)ln(1x) . Tính d7f(0)  
(540 dx7)  
§ 1.10. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG  
Đặt vấn đề.  
1. Các định lí về hàm khả vi  
Định lí Fermat. f(x) xác định trên (a ; b), f(x) đạt cực trị tại c (a ; b), f'(c) thì  
f'(c) = 0.  
Ví dụ 1.  
a) y = x2, x (1 ; 2)  
b) y = |x|, x (1 ; 1).  
Định lí Rolle. f(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b), f(a) = f(b)   c (a ;  
b) sao cho f'(c) = 0  
Ví dụ 2. f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3), x [3 ; 1]  
3
5
4 , x [1 ; 1].  
Ví dụ 4. f(x) = x2 + 2x, x   
   
f x 2 x  
Ví dụ 3.  
; 1  
2  
Ví dụ 5(K51) f(x) khả vi [0 ; 1], f'(0).f'(1) < 0. CMR c (0 ; 1): f'(c) = 0.  
Ví dụ 6.  
a)(K52) 1. Cho a = b + c. CMR phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = 0 có nghiệm  
thuộc khoảng (1 ; 0).  
23  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
2. Cho a + b + c = 0. CMR phương trình ax3 + 2bx + 2c = 0 có nghiệm thuộc  
khoảng (0 ; 2).  
x
n  
b)(K54) 1.CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ n, phương trình x arctant dt có không  
0
quá 2 nghiệm thực phânbiệt  
x
n  
2. CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ n, phương trình x arccott dt có không quá 2  
0
nghiệm thực phân biệt.  
c)(K59) Cho 6a = 4b + 3c. CMR phương trình ax3 + bx2 + c = 0 có ít nhất một  
nghiệm trong khoảng (2 ; 0).  
3
2
[ ,1]  
d)(K60) 1. Hàm số  
có thỏa mãn định lý Rolle trên  
? Kết luận của  
f (x) x 2x  
2
3
định lý Rolle có còn đúng?  
(không,  
c  1  ,1 : f '(c) 0)  
2
2
2. Hàm số  
có thỏa mãn định lý Rolle trên [0,2] ? Kết luận của định lý  
f (x) x 3x  
Rolle có còn đúng?  
(không,  
c 10,2 : f '(c) 0)  
e)(K61) 1. Cho a + b + c=0. CMR phương trình 6ax5 + 5bx4 + c = 0 có ít nhất  
một nghiệm trong khoảng (0 ; 1).  
   
(3)  
c)(K59) 1. Hàm số f x x (x 1)  
,
1x 2 có thỏa mãn định lý Lagrange ?  
3
c   
công thức Lagrange có đúng cho hàm đó ?  
(thỏa mãn,  
)
2
   
2. Hàm số f x x (x 1)  
,
1x 2 có thỏa mãn định lý Lagrange ? công  
1
c   
thức Lagrange có đúng cho hàm đó ?  
(không,  
)
2
3. Cho  
,
i 1, n . CMR nếu f khả vi trên (a;b) thì tồn tại số  
xi,yi (a;b), xi yi  
n
n
[f(xi )-f(yi )] f (c) (xi yi ).  
sao cho  
c (a;b),  
i 1  
i 1  
Định lí Cauchy. f(x), g(x) liên tục trên [a ; b], khả vi trên (a ; b)   c (a ; b):  
(f(b) f(a))g'(c) = (g(b) g(a))f'(c).  
Ngoài ra, nếu g'(x) 0, x (a ; b) thì có  
   
   
   
   
f c  
   
g c  
f b f a  
.
   
g b g a  
Ví dụ 11. f(x) = x2, g(x) = x3, x [1 ; 2]  
Ví dụ 12. f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x [2 ; 1]  
Ví dụ 13. a)(K53) 1) CMR x > 0 có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1).  
2) CMR x > 0 có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1).  
24  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
4
b)(K58) 1) Cho phương trình x4 a1x3 a2x2 a3x a4 0  
bốn nghiệm thực phân biệt. CMR : 3(a1)2 8a2  
,
, có  
ak 0  
k 1  
2) Cho f(x) liên tục trên [0,1], khả vi trên (0,1), có f(0)=0, f(1)=1.  
+) CMR : phương trình f(x)=1-x có nghiệm trong khoảng (0,1)  
+) CMR : Tồn tại hai số a,  
:
.
b(0,1) f (a)f (b) 1  
   
   
c)(K59) 1. Hàm số  
,
,
có thỏa mãn định  
1x 2  
f x x (x 1)  
g x x 1  
lý Cauchy ? công thức Cauchy có đúng cho hàm đó ? (không thỏa mãn,  
1
c   
)
2
   
2. Hàm số f x x (x 1)  
   
g x x 1  
,
,
có thỏa mãn định lý  
2 x 1  
Cauchy ? công thức Cauchy có đúng cho hàm đó ? (không thỏa mãn,  
1
c    
)
2
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!  
25  
pdf 4 trang Thùy Anh 26/04/2022 7960
Download
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 4: Đạo hàm và vi phân cấp cao, định lí về hàm khả vi - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_bai_4_dao_ham_va_vi_phan_cap_cao_dinh.pdf