Giáo trình Xác suất thống kê - Giải bài tập và đề cương
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
School of Applied Mathematics and Informatics
Xác suất thống kê
Giải bài tập đề cương
Nhóm ngành 1 MI2020
Nguyễn Quang Huy 20185454
Mục lục
Lời mở đầu
2
1 Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
3
3
1.1 Quan hệ và phép toán của các sự kiện. Giải tích kết hợp . . . . . . . . . . .
1.2 Định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Xác suất điều kiện. Công thức cộng, nhân xác suất. Công thức Bernoulli . .
1.4 Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
13
24
2 Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
34
34
47
55
2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Một số luật phân phối xác suất thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều
71
71
78
3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo
94
1
Lời mở đầu
Xác suất thống kê là một lĩnh vực mà mình thấy rất thú vị và đặc biệt nhức não. Nhiều
khi dù mình đọc lời giải rồi mà vẫn không hiểu người ta viết gì, biết mình ra kết quả sai mà
không biết mình sai ở đâu
không chắc chắn này.
Và bản thân mình là một người sợ, rất sợ môn khoa học của sự
Thật trùng hợp là với mình thì đây là môn đại cương đầu tiên cô giáo kiểm tra và chấm
điểm đề cương, và cũng là một học kì rất đặc biệt, khi mà tất cả mọi người đều làm việc ở
nhà qua Internet. Chắc là nếu không có các điều kiện này, thì mình không bao giờ làm đề
cương và có thể kiên nhẫn để gõ hết lại bài tập . . .
Trong quá trình hoàn thiện đề cương, có lúc mình bận quá, có lúc gặp biến cố trong
học tập và công việc, có lúc lười học chán đời. . . nên không ít lần mình từng nghĩ sẽ bỏ dở.
Nhưng cũng chính nhờ những kí ức không vui, mà mình đã nhận ra rằng cái gì đã khởi đầu
tốt đẹp thì nên cố gắng hết sức để nó kết thúc thật mỹ mãn. Và mình đã quyết định hoàn
thành những thứ mà mình đã bắt đầu vẫn còn đang dang dở, kết quả, chính là những trang
mà bạn đang đọc đây.
Trong tài liệu này mình giải đủ các bài tập Xác suất thống kê nhóm ngành 1, mã học
phần MI2020 các chương 1, 2 và 3, vì cô mình không giao làm chương 4, 5
Tuy nhiên, còn
nhiều chỗ do mình học chưa kỹ lắm, không ghi chép bài đầy đủ, chữa bài tập trên lớp. . . nên
có thể sẽ có nhiều bài làm sai, nhiều bài làm không hay. . . Rất mong bạn đọc bỏ qua không
ném đá
Xin cảm ơn bạn Nguyễn Minh Hiếu, tác giả của template này đã chia sẻ và cho phép
A
mình sử dụng mẫu LT X. Con nhà người ta nghĩ ra cái này cái kia còn mình chỉ đi xin về
E
thôi
Lời cuối cùng, mình muốn gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô Nguyễn Thị
Thu Thủy, cô giáo dạy Xác suất thống kê của mình. Em xin cảm ơn cô vì đã dạy em, đã luôn
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và quan tâm đến em. Thật may mắn khi em được tiếp xúc với
cô. Học với cô, em có thêm nhiều động lực, và em học hỏi được rất rất nhiều từ phong cách
làm việc chuyên nghiệp của cô. Một lần nữa, em cảm ơn cô nhiều lắm ạ. Kính chúc cô luôn
sức khỏe và vui vẻ ạ.
Hà Nội, ngày 2 tháng 6 năm 2020
Nguyễn Quang Huy
2
1
Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
1.1 Quan hệ và phép toán của các sự kiện. Giải tích kết hợp
Bài tập 1.1.
Một hộp có 10 quả cầu cùng kích cỡ được đánh số từ 0 đến 9. Từ hộp người ta lấy
ngẫu nhiên 1 quả ra và ghi lại số của quả đó, sau đó trả lại vào trong hộp. Làm như
vậy 5 lần ta thu được một dãy số có 5 chữ số.
1. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó?
2. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó sao cho các chữ số trong đó là khác nhau?
1. Số kết quả cho dãy đó là 105
2. Số kết quả cho dãy có các chữ số khác nhau là 10.9.8.7.6 = 30240
Bài tập 1.2.
Có 6 bạn Hoa, Trang, Vân, Anh, Thái, Trung ngồi quanh một bàn tròn để uống cà
phê, trong đó bạn Trang và Vân không ngồi cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế là không phân
biệt?
2. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế có phân biệt?
1. Số cách xếp để Trang và Vân không ngồi cạnh nhau là 5! − 2.4! = 72
2. Số cách xếp nếu các ghế có phân biệt là 6! − 6.2.4! = 432. Ta thấy rằng 432 = 6.72
Bài tập 1.3.
Từ một bộ bài tú lơ khơ 52 cây rút ngẫu nhiên và không quan tâm đến thứ tự 4 cây.
Có bao nhiêu khả năng xảy ra trường hợp trong 4 cây đó:
1. đều là át;
2. có duy nhất 1 cây át;
3. có ít nhất 1 cây át;
4. có đủ 4 loại rô, cơ, bích, nhép.
3
1. Chỉ có 1 khả năng do 1 bộ bài chỉ có 4 con át
2. Có 4 cách lấy ra 1 con át, có C438 cách chọn 3 lá bài còn lại.
Như vậy, số cách lấy ra 4 lá để có duy nhất 1 con át là
4 × C438 = 69184
3. Số cách chọn ra 4 lá từ bộ bài là C532. Số cách để chọn ra 4 lá bài trong đó không có cây
át nào là C438 (không lấy thứ tự)
Suy ra số khả năng là C532 − C438 = 76145
4. Số cách lấy 1 lá bài cơ là C113 = 13. Tương tự với các loại rô, bích, nhép. Suy ra số khả
năng là 134 = 28561
Bài tập 1.4.
Có 20 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 sinh viên (không xét tới tính thứ tự)
tham gia câu lạc bộ Văn và 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán trong trường hợp:
1. một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ;
2. một sinh viên có thể tham gia cả hai câu lạc bộ.
1. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có C240 cách.
Do 1 sinh viên không thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên
tham gia câu lạc bộ Toán là C146. Số khả năng là
C240 C146 = 8817900
2. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có C240 cách.
Do 1 sinh viên có thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên
tham gia câu lạc bộ Toán là C240. Số khả năng là
C240 C240 = 23474025
Bài tập 1.5.
Cho phương trình x + y + z = 100. Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm:
1. nguyên dương;
2. nguyên không âm.
1. Ta đánh dấu trên trục số từ số 1 đến 100 bởi 100 số 1 cách đều nhau 1 đơn vị. Khi đó,
ta có 99 khoảng giữa 2 số 1 liên tiếp.
4
Nếu chia đoạn thẳng [1
độ dài ít nhất là 1.
,
100] này bởi 2 điểm chia nằm trong đoạn thì ta sẽ có 3 phần có
Có thể thấy rằng ta có song ánh giữa bài toán chia đoạn này với bài toán tìm nghiệm
nguyên dương của phương trình x + y + z = 100.
!
99
2
Như vậy, số nghiệm của phương trình này bằng số cách chia, và bằng
2. Sử dụng ý trên. Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1 thì a, b, c ∈ Z+ và
a + b + c = 103
!
102
2
Do đó số nghiệm x, y, z là
Bài tập 1.6.
Thực hiện một phép thử tung 2 con xúc xắc, rồi ghi lại số chấm xuất hiện trên mỗi
con. Gọi x, y là số chấm xuất hiện tương ứng trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai. Ký
ꢀ
hiệu không gian mẫu
kiện sau:
W
=
(x, y) | 1 ≤ x, y ≤ 6 . Hãy liệt kê các phần tử của các sự
1. A : "tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 8";
2. B : "có ít nhất một con xúc xắc ra mặt 2 chấm";
3. C : "con xúc xắc thứ nhất có số chấm lớn hơn 4";
4. A + B, A + C, B + C, A + B + C, sau đó thể hiện thông qua sơ đồ V enn;
5. AB, AC, BC, ABC, sau đó thể hiện thông qua sơ đồ V enn.
ꢀ
1. A = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)
ꢀ
2. B = (2, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)
ꢀ
3. C = (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
4. A + B, A + C, B + C, A + B + C
5. AB = ∅
ꢀ
AC = (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
ꢀ
BC = (5, 2), (6, 2)
ABC = ∅
5
1.2 Định nghĩa xác suất
Bài tập 1.7.
Số lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:
Giới tính
Nam Nữ
Tuổi
Dưới 30
Từ 30 đến 40
Trên 40
120 170
260 420
400 230
Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:
1. một nhân viên trong độ tuổi 30 – 40;
2. một nam nhân viên trên 40 tuổi;
3. một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống.
1. Gọi A là "lấy được một nhân viên trong độ tuổi 30 − 40"
260 + 420
17
40
P(A) =
=
= 0.425
120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230
2. Gọi B là "lấy được nam nhân viên trên 40 tuổi"
400
P(B) =
= 0.25
120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230
3. Gọi C là "lấy được nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống"
170 + 420
120 + 260 + 400 + 170 + 420 + 230
P(C) =
' 0.3688
Bài tập 1.8.
Một kiện hàng có 24 sản phẩm, trong số đó có 14 sản phẩm loại I, 8 sản phẩm loại II
và 2 sản phẩm loại III. Người ta chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác
suất trong 4 sản phẩm đó:
1. có 3 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II;
2. có ít nhất 3 sản phẩm loại I;
3. có ít nhất 1 sản phẩm loại III.
Ta tính xác suất theo định nghĩa cổ điển. Số trường hợp đồng khả năng là C244.
6
1. Số cách lấy 3 sản phẩm loại I là C134. Số cách lấy 1 sản phẩm loại II là C81. Số kết cục
thuận lợi là C134 C81. Suy ra
C134 C81
C244
P(A) =
' 0.2740
2. Để trong 4 sản phẩm chọn ra có ít nhất 3 sản phẩm loại I, chỉ có 2 khả năng là cả 4
đều loại I, hoặc 3 loại I, 1 loại II, hoặc loại III. Dễ dàng tính được
C144 + C134 C110
P(B) =
' 0.4368
C244
C242
C244
3. Ta tính xác suất trong 4 sản phẩm không có sản phẩm loại III: P(C) =
' 0.6884.
Do đó, ta có P(C) = 1 − P(C) ' 0.3116
Bài tập 1.9.
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để:
1. tất cả tấm thẻ đều mang số chẵn;
2. có đúng 5 số chia hết cho 3;
3. có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một số chia hết
cho 10.
10
30
Sử dụng công thức xác suất cổ điển. Số kết cục đồng khả năng khi chọn 10 tấm thẻ là
n
=
C
10
1. Gọi A là "tất cả thẻ đều mang số chẵn" thì số kết cục thuận lợi cho A là m = C .
15
10
C
C
15
Có P(A) =
' 9.995 × 10−5
10
30
C150 C250
2. Gọi B là "có đúng 5 số chia hết cho 3". Có P(B) =
3. Gọi C là sự kiện cần tính xác suất.
' 0.13
10
C
30
Dễ tính được số kết cục thuận lợi cho C là C31 C142 C155. Suy ra
C31 C142 C155
P(C) =
' 0.1484
10
C
30
Bài tập 1.10.
Việt Nam có 64 tỉnh thành, mỗi tỉnh thành có 2 đại biểu quốc hội. Người ta chọn ngẫu
nhiên 64 đại biểu quốc hội để thành lập một ủy ban. Tính xác suất để:
1. trong ủy ban có ít nhất một người của thành phố Hà Nội;
2. mỗi tỉnh có đúng một đại biểu trong ủy ban.
7
1. Gọi A là "có ít nhất 1 người từ Hà Nội". Ta có
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
64
C
C
126
' 0.7520
64
128
264
2. Gọi B là "mỗi tỉnh có một đại diện" ta có P(B) =
64
C
128
Bài tập 1.11.
Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ sân
ga lên tàu. Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để:
1. toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người;
2. một toa có 3 người, một toa 2 người, một toa có 1 người;
3. mỗi toa có ít nhất 1 người.
1. Lần lượt chọn 3 người xếp vào toa đầu, 2 người xếp vào toa II và 1 người xếp vào toa
III, ta có
C63 C32 C11
15
1024
P(A) =
=
' 0.0146
46
2. Có chọn ra 3 người xếp vào một toa, rồi chọn ra 2 người xếp vào một toa khác, cuối
cùng cho người còn lại vào một toa. Ta có
C63 × 4 × C32 × 3 × C11 × 2
45
128
P(B) =
=
' 0.3516
46
3. Gọi C "mỗi toa có ít nhất một người", khi đó chỉ có thể xảy ra 2 khả năng.
Khả năng thứ nhất là có 1 toa 3 người, 3 toa còn lại 1 người.
Khả năng thứ 2 là có 2 toa 2 người và 2 toa 1 người. Theo công thức cổ điển ta có
C63 × 4 × 3! + C42 × C62 × C42 × 2!
195
512
P(C) =
=
' 0.3809
46
Bài tập 1.12.
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Một con xúc xắc có số chấm các mặt là 1,
2, 3, 4, 5, 6, con xúc xắc còn lại có số chấm các mặt là 2, 3, 4, 5, 6, 6. Tính xác suất:
1. có đúng 1 con xúc xắc ra mặt 6 chấm;
2. có ít nhất 1 con xúc xắc ra mặt 6 chấm;
3. tổng số chấm xuất hiện bằng 7.
Số kết cục đồng khả năng là 6.6 = 36
8
1.4 + 5.2
1. P(A) =
' 0.3889
' 0.4444
36
5.4
36
2. P(B) = 1 −
3. Để số chấm xuất hiện tổng bằng 7 thì tập kết cục thuận lợi phải là
{(1, 6), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
7
36
suy ra m = 7. Do đó ta có P(C) =
' 0.1944
Bài tập 1.13.
Trong một thành phố có 5 khách sạn. Có 3 khách du lịch đến thành phố đó, mỗi người
chọn ngẫu nhiên một khách sạn. Tìm xác suất để:
1. mỗi người ở một khách sạn khác nhau;
2. có đúng 2 người ở cùng một khách sạn.
Mỗi người có 5 cách chọn khách sạn để ở. Do đó số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra
là 53
1. Gọi A là "mỗi người ở một khách sạn khác nhau".
60
Số kết cục thuận lợi cho A là 5.4.3 = 60. Từ đó có P(A) =
2. Gọi B là "có đúng 2 người ở cùng một khách sạn".
= 0.48
53
Có C32 cách để chọn ra 2 người. Có 5 cách để họ chọn khách sạn. Người còn lại ở một
trong số 4 cái còn lại. Số kết cục thuận lợi cho B, theo quy tắc nhân, là C32 × 5 × 4.
C32 × 5 × 4
Suy ra P(B) =
= 0.48
53
Bài tập 1.14.
Một lớp có 3 tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người và tổ III có 15 người. Chọn
hú họa ra một nhóm sinh viên gồm 4 người.
1. Tính xác suất để trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I.
2. Biết trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I, tính xác suất để trong nhóm đó có
đúng một sinh viên tổ III.
1. Gọi A là "trong nhóm có đúng 1 sinh viên tổ I". Ta có
C112 C235
C347
1840
4403
P(A) =
=
' 0.4179
9
2. Gọi B "có đúng 1 sinh viên tổ III". Theo định nghĩa xác suất điều kiện,
C112 C120 C115
C347
P(AB)
P(A)
27
92
P(B | A) =
=
=
' 0.2935
1840
4403
Nếu ta tính trực tiếp không qua công thức xác suất điều kiện, thì với giả thiết biết có
đúng 1 sinh viên tổ I, số trường hợp đồng khả năng là C235.
C120 C115
C235
27
92
Số kết cục thuận lợi là C120 C115, suy ra P =
=
Bài tập 1.15.
Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa chén và giả sử ba người này
đều ꢀkhéo léoꢁ như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất để:
1. chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén;
2. một trong ba người đánh vỡ 3 chén;
3. một trong ba người đánh vỡ cả 4 chén.
Số kết cục đồng khả năng là 34
C43 C11
1. P(A) =
' 0.0494
34
2. Chọn một người đánh vỡ 3 chén, và một trong 2 người còn lại đánh vỡ 1 chén.
C31 C43 C21 1
Suy ra P(B) =
C31 1
' 0.2963
34
3. P(C) =
' 0.0370
34
Bài tập 1.16.
Đội A có 3 người và đội B có 3 người tham gia vào một cuộc chạy thi, 6 người có khả
năng như nhau và xuất phát cùng nhau. Tính xác suất để 3 người đội A về vị trí nhất,
nhì, ba.
Vì chỉ có 3 giải nhất, nhì, ba và mỗi giải chỉ có thể trao cho 1 trong 6 người, nên số kết cục
đồng khả năng là A36 = 20.
Mặt khác, với mỗi cách trao giải cho 3 người đội A, ta có một hoán vị của "nhất, nhì, ba" nên
số kết cục thuận lợi là 3!.
3!
Tóm lại, xác suất cần tính P =
= 0.05
A63
10
Bài tập 1.17.
Phân phối ngẫu nhiên
n
viên bi vào
n
chiếc hộp (biết rằng mỗi hộp có thể chứa cả
n
viên bi). Tính xác suất để:
1. Hộp nào cũng có bi;
2. Có đúng một hộp không có bi.
Số kết cục thuận lợi là nn
n!
1. Gọi A là "hộp nào cũng có bi". Khi đó, số kết cục thuận lợi là n!. Vậy P(A) =
nn
2. Gọi
B
là "Có đúng một hộp không có bi". Khi đó, có một hộp có 2 bi, n − 2 hộp chứa 1
bi và 1 hộp chứa 0 bi.
Chọn 2 trong n hộp để bi có Cn2 cách. Chọn 2 trong n bi có Cn2 cách chọn.
Xếp 2 bi này vào một trong 2 hộp, có 2! cách xếp. Xếp số bi còn lại vào các hộp có
(n − 2)! cách xếp. Suy ra số kết cục thuận lợi là
2! Cn2 Cn2 (n − 2)!
Như vậy
2! Cn2 Cn2 (n − 2)!
(n!)2
P(B) =
=
nn
(n − 2)! nn
Bài tập 1.18.
Hai người hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 5h00 đến 6h00 để cùng
đi tập thể dục. Hai người quy ước ai đến không thấy người kia sẽ chỉ chờ trong vòng
10 phút. Giả sử rằng thời điểm hai người đến công viên là ngẫu nhiên trong khoảng từ
5h00 đến 6h00. Tính xác suất để hai người gặp nhau.
Gọi x, y là thời gian người thứ nhất và người thứ hai đến. Ta có tập kết cục đồng khả năng là
n
o
G = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x, y ≤ 60
Gọi H "hai người gặp được nhau". Khi đó tập kết cục thuận lợi là
ꢀ
:
H = (x, y) ∈ G |x − y| ≤ 10
|H|
|G|
602 − 502
11
Suy ra P =
=
=
' 0.3056
502
36
Bài tập 1.19.
Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10 cm. Lấy một điểm
C
bất kỳ trên đoạn thẳng đó.
Tính xác suất chênh lệch độ dài giữa hai đoạn thẳng AC và CB không vượt quá 4cm.
11
y
x
O
Gọi
thẳng AB, chính là 10 cm.
Gọi là "chênh lệch độ dài giữa AC và CB không quá 4 cm", khi đó,
hình học
x
là độ dài AC, hiển nhiên CB = 10 − x. Số kết cục đồng khả năng ở đây là độ dài đoạn
A
A
biểu thị bởi miền
n
o
ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
H = x ∈ [0, 10] mà x − (10 − x) ≤ 4
A
B
Vì
H
là đoạn thẳng có độ dài 7
−
3 = 4 (cm) nên ta dễ dàng tính
P
(A) theo định nghĩa hình
4
học: P(A) =
= 0.4
10
Bài tập 1.20.
Cho đoạn thẳng AB độ dài 10 cm. Lấy hai điểm C, D bất kỳ trên đoạn AB
(
C
nằm
giữa A và D). Tính xác suất độ dài AC, CD, DB tạo thành 3 cạnh một tam giác.
Gọi x, y lần lượt là độ dài các đoạn thẳng AC, CD.
Khi đó ta có DB = 10 − x − y, với điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0, 10 − x − y ≥ 0.
Miền đồng khả năng là
n
o
G = (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, 10 − x − y ≥ 0
Gọi
A
là "độ dài AC, CD, DB tạo thành 3 cạnh tam giác" thì miền kết cục thuận lợi cho
A
là
ꢀ
H = (x, y) ∈ G | x + y > 10 − x − y, x + (10 − x − y) > y, y + (10 − x − y) > x
|H|
|G|
1
4
Như vậy, xác suất của sự kiện A là P(A) =
=
= 0.25
12
y
x
O
1.3 Xác suất điều kiện. Công thức cộng, nhân xác suất. Công thức
Bernoulli
Bài tập 1.21.
1
2
1
8
Cho các sự kiện A, B với P(A) = P(B) = ; P(AB) = . Tìm:
1. P(A + B);
2. P(AB), P(A + B).
1. P(A + B) = 1 − P(AB) = 1 − P(A) + P(AB) = 0.625
2. P(AB) = P(B) − P(AB) = P(B) − P(A) + P(AB) = 0.125
và P(A + B) = 1 − P(AB) = 0.875
Bài tập 1.22.
Cho ba sự kiện A, B, C độc lập từng đôi thỏa mãn
P(ABC) = 0.
P
(
A) =
P
(
B
) =
P
(
C
) =
p
và
1. Tính P(ABC); P(AB C); P(A B C).
2. Tìm giá trị p lớn nhất có thể có.
1. P(ABC) = P(AB) − P(ABC) = p2
P(AB C) = P(AB) − P(ABC) = p(1 − p) − p2 = p − 2p2
Chú ý rằng vì A, B, C có vai trò như nhau nên P(ABC) = P(ABC)
Suy ra P(A B C) = P(B C) − P(AB C) = (1 − p)2 − p + 2p2 = 3p2 − 3p + 1
13
1
2
2. Ta có 0 ≤ p2, p − 2p2, 3p2 − 3p + 1 ≤ 1 suy ra p ≤
Bài tập 1.23.
1
) = , P
4
1
2
Trong cùng một phép thử,
xác suất để A không xảy ra nhưng B xảy ra trong các trường hợp sau:
A
và
B
là các sự kiện thỏa mãn
P
(
A
(
B
) = . Tính
1. A và B xung khắc;
2. A suy ra B;
1
3. P(AB) = .
8
1. A và B xung khắc thì A B = B suy ra P(B) = 0.5
2. A suy ra B thì A B = B \ A suy ra P(A B) = P(B) − P(AB) = P(B) − P(A) = 0.25
3. P(A B) = P(B) − P(AB) = 0.375
Bài tập 1.24.
Cho hai sự kiện
A
và
B
trong đó
P
(
A
) = 0
,
4 và
P
(
B
) = 0 7. Xác định giá trị lớn nhất
,
và nhỏ nhất của P(AB) và P(A + B) và điều kiện đạt được các giá trị đó.
Có 0.7 ≤ P(A + B) ≤ 1 vì P(A) = 0.4, P(B) = 0.7.
Dấu bằng đạt được lần lượt tại A ⊂ B và P(AB) = 0.1
Suy ra 0.1 ≤ P(AB) ≤ 0.4. Dấu bằng đạt được lần lượt khi P(A + B) đạt max và min
Bài tập 1.25.
Ba người A, B và
C
lần lượt tung một đồng xu. Giả sử rằng
A
tung đồng xu đầu tiên,
B
tung thứ hai và thứ ba
C
tung. Quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi ai thắng bằng
việc trở thành người đầu tiên thu được mặt ngửa. Xác định khả năng mà mỗi người sẽ
giành chiến thắng.
Gọi A, B, C lần lượt là "A, B, C thắng", và Ai, Bi, Ci lần lượt là "A, B, C tung được mặt ngửa
ở lần i", sử dụng tổng của chuỗi, hoặc dùng cấp số nhân, ta có
1
1
2
1
2
1
1
2
1
4
7
2
P(A) = P(A1) + P(A1 B2 C3A4) + . . . =
+
×
+
×
+ . . . =
=
1
8
23
26
1 −
1
4
1
8
1−
2
7
1
7
Tương tự P(B) =
= , P(C) =
=
1
8
1
8
1 −
14
Bài tập 1.26.
Trong một thùng kín có 6 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên
lần lượt từng quả cầu cho đến khi lấy được cầu đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để:
1. Lấy được 2 cầu trắng, 1 cầu vàng.
2. Không có quả cầu trắng nào được lấy ra.
Gọi Di, Tj, Vk là "lấy được quả đỏ, trắng, vàng ở lần thứ i, j, k"
1. Có A = T1T2V3D4 + T1V2T3D4 + V1T2T3D4 suy ra
5 4 4 6
15 14 13 12 15 14 13 12 15 14 13 12
5 4 4 6
4 5 4 6
4
91
P(A) =
.
.
.
+
.
.
.
+
.
.
.
=
ở đó P(TiTjVkDl) = P(Ti) P(Tj | Ti) P(Tk | TiTj) P(Dl | TiTjTk)
2. Có B = D1 + V1D2 + V1V2D3 + V1V2V3D4 + V1V2V3V4D5
Vì các sự kiện trong tổng trên là xung khác, nên áp dụng công thức cộng và xác suất
của một tích ta có
6
4 6
4 3 6
4 3 2 6
4 3 2 1 6
6
11
P(B) =
+
.
+
.
.
+
.
.
.
+
.
.
.
=
15 15 14 15 14 13 15 14 13 12 15 14 13 12 11
Bài tập 1.27.
Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng bắn súng vào bia. Xác suất bắn trúng bia
của 3 người A, B và C tương ứng là 0,7, 0,6 và 0,9. Tính xác suất để:
1. có duy nhất một xạ thủ bắn trúng bia;
2. có đúng hai xạ thủ bắn trúng bia;
3. có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia;
4. xạ thủ A bắn trúng bia biết rằng có hai xạ thủ bắn trúng bia.
Gọi A, B, C lần lượt là "A, B, C bắn trúng bia". Dễ thấy A, B, C là các sự kiện độc lập. Ta có
X
1. P(A1) =
2. P(A2) =
P(A BC) = 0.154
P(ABC) = 0.456
X
3. P(A3) = 1 − P(A B C) = 0.988
4. Gọi A4 là "xạ thủ bắn trúng bia biết rằng có hai xạ thủ bắn trúng bia". Ta có
A
A4 = A | A2. Sử dụng xác suất điều kiện,
P(ABC) + P(ACB)
P(A4) = P(A | A2) =
= 0.648
P(A2)
15
Bài tập 1.28.
Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập. Hệ thống I
gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng
của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi
hệ thống được xem như độc lập. Tính xác suất để trong 18 giờ thắp sáng liên tục:
1. cả hai hệ thống bị hỏng;
2. chỉ có một hệ thống bị hỏng.
Gọi Ai là "bóng thứ i của hệ thống I hỏng" và Bj là "bóng thứ j của hệ thống II hỏng".
Hệ thống I bị hỏng iff 1 trong 4 bóng của nó hỏng, ta biểu diễn sự kiện này là
A = A1 + A2 + A3 + A4
Có P(A) = 1 − (1 − 0.1)4 = 0.3439
Hệ thống II hỏng iff tất cả 3 bóng mắc song song đều hỏng, sự kiện này là
B = B1B2B3
Có P(B) = 0.13 = 0.001
1. Gọi
C
là "cả hai hệ thống hỏng".
C
xảy ra iff hệ thống I và hệ thống II đều hỏng, nói
cách khác,
C = AB = (A1 + A2 + A3 + A4)B1B2B3
Suy ra P(C) = 0.3439 × 0.001 = 3.439 × 10−4
2. Gọi D là "chỉ có một hệ thống hỏng" thì ta có
D = AB + AB = (A1 + A2 + A3 + A4)(B1 + B2 + B3) + (A1 A2 A3 A4)B1B2B3
Suy ra
P(D) = 0.3439 × (1 − 0.001) + (1 − 0.3439) × 0.001 ' 0.3442
Bài tập 1.29.
Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng
cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Bắn hú họa bằng một khẩu súng vào một mục tiêu
thì thấy trúng. Điều gì có khả năng xảy ra lớn hơn: bắn bằng khẩu súng mới hay bắn
bằng khẩu súng cũ?
Gọi M là "bắn bằng khẩu mới" thì M là "bắn bằng khẩu cũ".
Có P(M) = 0.4 và P(M) = 0.6.
Gọi T là "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có P(T | M) = 0.95 và P(T | M) = 0.8.
Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra
P(M)P(T | M)
P(T)
0.38
P(T)
P(M)P(T | M)
P(T)
0.48
P(T)
P(M | T) =
=
, P(M | T) =
=
16
Suy ra sự kiện bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.
Chú ý: Ở đây ta hoàn toàn có thể tính được
bài toán này là không cần thiết.
P
(T) theo công thức đầy đủ, tuy nhiên trong
Bài tập 1.30.
Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là
0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là
đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa.
Gọi
A
là "ngày đầu mưa" và
B
là "ngày thứ hai mưa" thì ta có
P
(
AB) = 0
.
5
, P
(
A B) = 0 3.
.
Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên
1 − 0.5 − 0.3
P(A B) = P(A B) =
Xác suất cần tính là P(B | A), có
= 0.1
2
P(B A)
P(A)
P(B A)
P(A B) + P(AB)
0.1
0.1 + 0.3
P(B | A) =
=
=
= 0.25
Bài tập 1.31.
Một hộp chứa
a
quả bóng màu đỏ và
b
quả bóng màu xanh. Một quả bóng được chọn
ngẫu nhiên và quan sát màu sắc của nó. Sau đó bóng được trả lại cho vào hộp và
k
bóng cùng màu cũng được thêm vào hộp. Một quả bóng thứ hai sau đó được chọn một
cách ngẫu nhiên, màu sắc của nó được quan sát, và nó được trả lại cho vào hộp với
k
bóng bổ sung cùng một màu. Quá trình này được lặp đi lặp lại 4 lần. Tính xác suất để
ba quả bóng đầu tiên sẽ có màu đỏ và quả bóng thứ tư có màu xanh.
Gọi Di, Xj lần lượt là "lấy được quả đỏ ở lần
i
" và "lấy được quả xanh ở lần ". Sự kiện cần
j
tính xác suất là A = D1D2D3X4. Sử dụng công thức xác suất của tích
P(A) = P(D1D2D3X4) = P(D1) P(D2 | D1) P(D2 | D1D2) P(X4 | D1D2D3)
a + k a + 2k
a
b
=
.
.
.
a + b a + b + k a + b + 2k a + b + 3k
Bài tập 1.32.
Một cửa hàng sách ước lượng rằng: trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có 30%
khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả
hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này:
1. không thực hiện cả hai điều trên;
2. không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng.
Gọi A là "khách hỏi nhân viên bán hàng" và B là "khách mua sách"
17
1. P(A B) = 1 − P(A + B) = 1 − P(A) − P(B) + P(AB) = 0.65
P(BA)
P(A)
P(A) − P(AB)
P(A)
2. P(B | A) =
=
= 0.5
Bài tập 1.33.
Một cuộc khảo sát 1000 người về hoạt động thể dục thấy có 80% số người thích đi
bộ và 60% thích đạp xe vào buổi sáng và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất một
trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người hoạt động thể dục. Nếu gặp
được người thích đi xe đạp thì xác suất mà người đó không thích đi bộ là bao nhiêu?
Gọi A là "người thích đi bộ", B là "người thích đi xe đạp"
Theo giả thiết, P(A) = 0.8, P(B) = 0.6 và P(A + B) = 1. Ta có
ꢂ
ꢃ
P(A B)
P(B)
P(B) − P(AB)
P(B)
P(B) + P(A + B) − P(A) − P(B)
P(A | B) =
=
=
P(B)
P(A + B) − P(A)
1 − 0.8
=
=
' 0.3333
P(B)
0.6
Bài tập 1.34.
Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển
gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua
vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội
tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi. Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ:
1. được vào đội tuyển;
2. bị loại ở vòng thứ ba;
3. bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.
Gọi Ai là "thí sinh vượt qua vòng thứ
P(A3 | A1A2) = 0.45
i" thì ta có
P
(
A1) = 0
.
8
, P
(
A2 | A1) = 0
.
7 và
1. Gọi
A
là "thí sinh được vào đội tuyển" thì
A
xảy ra nếu thí sinh vượt qua cả 3 vòng,
nghĩa là A = A1A2A3
P(A) = P(A1A2A3) = P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1A2) = 0.8 × 0.7 × 0.45 = 0.252
2. Gọi B là "thí sinh bị loại ở vòng thứ 3" thì B = A1A2A3
P(B) = P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1A2) = 0.8 × 0.6 × (1 − 0.45) = 0.308
18
3. Gọi
C
là sự kiện đang quan tâm: "thí sinh bị loại ở vòng 2, biết thí sinh này bị loại". Ta
biểu diễn C = A1A2 | A.
h
i
ꢄ
ꢅ
P (A1A2)A
P(A1A2)
P(A)
P(C) =
=
vì A1A2 ⊂ A
P(A)
P(A1)P(A2 | A1)
=
=
P(A)
0.8 .(1 − 0.7)
' 0.3208
1 − 0.252
Bài tập 1.35.
Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai
đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23, còn xác suất con thứ nhất và con thứ
hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết sự kiện khi xét một gia đình được
chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.
Gọi
A
là "con thứ nhất là con trai" và
B
là "con thứ hai là con trai" thì theo đề,
P
(
AB) = 0 27,
.
P(A B) = 0.23 và P(A B) = P(A B) = 0.25.
Sự kiện quan tâm là B | A.
Ta có
P(B A)
P(A)
P(B A)
P(AB) + P(A B)
0.25
P(B | A) =
=
=
' 0.5208
0.25 + 0.23
Bài tập 1.36.
Một tổ có 15 sinh viên trong đó có 5 sinh viên học giỏi môn "Xác suất thống kê". Cần
chia làm 5 nhóm, mỗi nhóm 3 sinh viên. Tính xác suất để nhóm nào cũng có một sinh
viên học giỏi môn "Xác suất thống kê".
Gọi Ai là "nhóm thứ
i
có 1 người giỏi Xác suất thống kê" và
A
là sự kiện nhóm nào cũng có
người giỏi Xác suất thống kê, thì dễ dàng nhận thấy
A = A1A2A3A4A5
Ta có
P(A1) =
C51 C120
C135
45
91
C41 C82
C132
28
55
C31 C62
C93
15
28
=
, P(A2 | A1) =
=
, P(A3 | A1A2) =
=
C21 C42
C63
3
5
C11 C22
P(A4 | A1A2A3) =
Áp dụng công thức xác suất của tích ta có
= , P(A5 | A1A2A3A4) =
= 1
C33
P(A) = P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1A2) P(A4 | A1A2A3) P(A5 | A1A2A3A4)
C51 C120 C41 C82 C31 C62 C21 C42 C11 C22
=
.
.
.
.
C135
' 0.0809
C132
C93
C63
C33
19
Tải về để xem bản đầy đủ
95 trang
27240
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xác suất thống kê - Giải bài tập và đề cương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_xac_suat_thong_ke_giai_bai_tap_va_de_cuong.pdf
