Giáo trình Giải tích 3 - Bài 9: Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 9
§3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)
Đặt vấn đề. Mô hình toán học của hệ cơ học và mạch điện dẫn đến phương trình
d2x
dt2
dx
1
vi phân cấp hai
m
c
kx 0; LI RI I E (t)
C
dt
k là hệ số co dãn của lò xo; là hệ số giảm xóc; m là khối lượng vật thể
c
3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
a) Định nghĩa.
(1)
y p(x)y q(x)y f(x)
b) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
(2)
y p(x)y q(x)y 0
Định lí 1.
là các nghiệm của (2)
cũng là nghiệm của (2),
c1y1 c2y2
y1, y2
c1, c2
y2(x)
Định nghĩa. Các hàm
là độc lập tuyến tính trên a ; b
y1(x), y2(x)
y1(x)
hằng số trên a ; b . Trong trường hợp ngược lại ta nói các hàm này phụ thuộc
tuyến tính.
Ví dụ 1.
a) ex, e2x
b) x2 2x 1, x 1
c) tan x, 2 tan x
Định nghĩa. Cho các hàm
, khi đó định thức Wronsky của các hàm này
y1(x), y2(x)
là
y1 y2
W (y1, y2)
y1 y2
Định lí 2. Các hàm
phụ thuộc tuyến tính trên a ; b
trên
W(y1, y2) 0
y1, y2
đoạn đó
Chú ý. Nếu W (y1, y2) 0 tại
nào đó thuộc a ; b độc lập tuyến tính
x0
Định lí 3. Cho
là các nghiệm của (2),
tại x a ; b , các
y1, y2
W(y1, y2) 0
0
hàm
liên tục trên a; b W(y , y ) 0, x a ; b
1 2
p(x), q(x)
Định lí 4. Các nghiệm
của (2) độc lập tuyến tính trên
y1, y2
a ; b
W (y , y ) 0, x a ; b
1
2
Định lí 5. Cho
là các nghiệm độc lập tuyến tính nghiệm tổng quát của (2)
y1, y2
là
.
y c1y1 c2y2
y y 0
Ví dụ 2.
Định lí 6. Biết nghiệm riêng
của (2) tìm được nghiệm riêng
y2(x) y1(x)u(x)
của (2)
y2
y1 0
và có dạng
độc lập tuyến tính với
y1
62
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Hệ quả. Với giả thiết của định lí 6, nghiệm y2 tìm được theo công thức sau
1
y12
p(x)dx
(Liouville).
dx
y2 y1
e
Vấn đề đặt ra là : Tìm nghiệm riêng khác không như thế nào ?
Ví dụ 3.
a)
y y 0
(1)dx
+) Dễ thấy
là nghiệm
+) y2 e
dx ex
+)
y1 1
y C1 C2ex
2
b)
x y xy y 0
1x
dxdx x
dx
1
x2
1
x3
1
+)
là nghiệm +) y2 x
e
y1 x
2x
C2
x
+) y C1x
2x
c)
d)
e)
(
)
(2x 1)y 4xy 4y 0
y C1x C2e
x
2 x
(
)
xy (2x 1)y (x 1)y 0 y C1e C2x e
2
(
)
y 2(1 tan x)y 0
y C1 tan x C2(1 x tan x)
c) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
y p(x)y q(x)y f(x)
(1)
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của (1) có dạng
, ở đó
là nghiệm tổng
y
y y Y
quát của (2),
là nghiệm riêng của (1).
Y
Định lí 2. (Nguyên lí chồng nghiệm)
Nếu
là nghiệm của phương trình
y p(x)y q(x)y f1(x).
y1
là nghiệm của phương trình
y2
Thì có
y p(x)y q(x)y f2(x).
là nghiệm của phương trình
y y1 y2
Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange
Biết nghiệm tổng quát của (2) là
y p(x)y q(x)y f1(x) f2(x).
y c1y1 c2y2
2 2
C y C y 0
1 1
Giải hệ sau
có
,
C1 1(x) K1 C2 2(x) K2
C1y1 C2y2 f(x)
Nghiệm tổng quát của (1) là
y y1(1(x) K1) y2(2(x) K2)
Nhận xét. Phương pháp này cho ta cách tìm NTQ của (1), khi biết NTQ của (2).
2 x
x3
ex
Ví dụ 4. a 1) y y
dx
y2 e dx ex
y C1 C2ex
+)
+)
là nghiệm
+)
y1 1
63
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2 x
ex
x
C1
C1 C2e 0
x3
+) Giải hệ
2 x
x3
x
C1.0 C2e
ex
2 x
x3
C2
ex
2ex
x3
C1
dx
dx
x2
1
x
1
x2
C2
K2
ex
x2
1
ex
Ta có C1
dx exd
K1
x2 x2
x
e
1
1
ex
+) Nghiệm tổng quát
y 1.
K1 ex
K2 K1 K2ex
x2
x x2
x
2
2
2)
x y xy y x
C2
x
+) Theo ví dụ 3 có y C1x
1
1
1
C1x C2 0
C1
C1 C2
0
x2
x
2
+) Giải hệ
x2
1
1
x2
C1.1 C
1
C1 C2
1
C2
2
x2
2
x
C1 K1
2
x3
C2
K2
6
x
1
x3
K2 x2
+) Nghiệm tổng quát
K1x
y x
K
K
1
2
x
3
2
x
6
2
3
3
b)
c)
(
)
y1 x
x y xy 3x
1
(y C1ex C2ex )
3
2
x (y y) x 2
x
1
2
d. 1)
, biết nghiệm riêng y 1
1
x (x 1)y 2y
x
1
1
x 1
(y C 1
C x 1
ln(x 1)2 )
1
2
x
x
x
2
2)
3)
, biết nghiệm riêng
y1 sin x
y tan x y (tan x 2) 2y cot x 0
2
(
)
y C1 sin x C2 sin x
z
x2
2
2
x
bằng cách đổi hàm số y
x y 4xy (x 2)y e
64
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
C
x2
C2
x2
ex
2x2
(y 1 cos x
sin x
)
u
x
1
e. 1)
bằng cách đổi hàm số y
xy 2y xy x
(y (C1 cos x C2 sin x x))
x
2
y1 esin x
2)
(
,
biết
nghiệm
riêng
y y tan x y cos x 0
sin x
y C1e
C2e sin x
)
1
x
x
y C1e C2e2x (ex e2x )ln(1 e )
3) y 3y 2y
(
)
ex 1
x
y
y
x2
f. 1) y
0 biết nghiệm riêng
(
(
)
y C1x C2x ln x
y1 x
2xy
2y
2
2) y
0 biết nghiệm riêng
y1 x
y C1x C2(x 1)
x2 1 x2 1
y
2
2
2
3 3x
g. 1)
bằng cách đặt u
x y (6x 2x)y (9x 6x 2)y 4x e
x
3x
2
3
(
)
)
y e (C1x C2x 2x )
x
2)
bằng cách đặt
xy 2(1 x)y (x 2)y e
u yx
ex
x
1
C2ex
ex
(
y C1
4x
y y cos x tan x
h. 1)
x
cos x 1 sin x
(y K1 cos x K2 sin x sin x
ln
)
2
2
1 sin x
x
sin x 1 cos x
ln )
2)
i.
(y K1 cos x K2 sin x cos x
y y sin x cot x
2
2
1 cos x
3
1
y
2
(x ey C C y y 2 ey )
x y ey
1
2
y
4
y
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
65
4 trang
14160
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 9: Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_9_phuong_trinh_vi_phan_cap_hai_vo.pdf
