›
›

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân - Ngô Thu Lương

Download
û à ù  
â
â
Chöông 5 :Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân  
û à ù  
Cho phöông trình vi phaân caáp1  
y'(x) = f (x, y(x))  
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(x0 ) = y0  
.
Tính gaàn ñuùng giaù trò y(b) vôùi  
b
baát kyø cho tröôùc  
ù
1) Phöông phaùp Euler :  
ù
ä
a)Noäi dung  
ä
: Chia ñoaïn [a ,b] thaønh  
n
phaàn ñeàu  
nhau , bôûi caùc ñieåm chia  
x = a < x = x + h< x = x + 2h <  
0
1 0  
2 0  
< ... < x = b = a + nh  
n
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
1
y + k k = h f (x , y )  
y =  
i
+
1  
i
i i  
hM (2)  
L(b−a  
á
ygd (b) − yd (b) ≤  
[e  
) −1]  
á
b) Sai soá :  
2L  
∂f  
L = Max (x, y)  
∂y  
2
ï
Ví duï  
ï : Phöông trình y'(x) =1+(x − y)  
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(2) =1  
.
h =0.2  
Tính gaàn ñuùng nghieäm y(2.6) vôùi böôùc  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
2
ù
û á  
2) Phöông phaùp Euler caûi tie
á
n  
û á  
ù
ä
a) Noäi dung  
ä
:
k + k  
1 2  
y = y +  
i+1 i  
2
k = hf (x , y )  
1
i i  
k = hf (x , y + k )  
2
i+1 i 1  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
3
2
ï
Ví duï  
ï : Giaûi phöông trình y'(x) =1+(x − y) vôùi  
ñieàu kieän ban ñaàu y(2) =1 trong ví duï tröôùc theo  
phöông phaùp Euler caûi tieán , keát quaû nhö sau :  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
4
â ù  
3) Coâng thöùc Runge – Kutta baäc 4 :  
â ù  
ä
ä
â ù  
a) Coâng thöùc  
â ù  
1
6
y(x ) = y(x ) +  
(
k + 2k + 2k + k  
)
i+1  
i
1 2 3 4  
k = hf (x , y )  
1
i i  
k
h
1
k = hf (x + , y + )  
2
i
i
2 2  
k
h
2
2
k = hf (x + , y + )  
3
i
i
2
k = h f (x , y + k )  
4
i
+
1
i
3  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
5
2
ï
Ví duï  
ï : Giaûi phöông trình y'(x) =1+(x − y) vôùi  
ñieàu kieän ban ñaàu y(2) =1 trong ví duï tröôùc theo  
phöông phaùp Runge-Kutta , keát quaû nhö sau :  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
6
û ä  
â á  
â á  
4) Giaûi heä phöông trình vi phaân caáp 1 :  
û ä  
y '= F(x, y, z)  
Giaû söû ta caàn giaûi heä :  
trong ñoù  
z '=G(x, y, z)  
y = y(x) z = z(x)  
,
laø nhöõng haøm phaûi tìm vaø thoûa  
z(x ) = z  
ñieàu kieän ban ñaàu y(x ) = y  
,
0 0 0 0  
ù
Phöông phaùp Euler  
ù
y = y + hF(x , y , z )  
i
+
1
i  
i i
 
i  
z = z + hG(x , y , z )  
i
+
1
i  
i i
 
i  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
7
y '(x) = z(x)  
ï
Ví duï :  
ï Cho heä  
z '(x) =2z(x) − y(x) + x  
y(0) =1 z(0) = 0  
vôùi ñieàu kieän  
,
.
y(1) z(1)  
Tìm vaø neáu soá böôùc chia laø 
n
=
4  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
8
û
â á  
5) Giaûi phöông trình vi phaân caáp cao :  
â á  
û
Giaûi phöông trình vi phaân caáp 2  
y ''(x) + p(x) y '(x) + q(x) y(x) = f (x)  
/
0
à ä à  
ñieàu kieän ñaàu  
vôùi à ä à y(x ) = y  
y'(x )= y  
,
0
0 0  
à ä  
â á  
Ñöa veà heä phöông trình vi phaân caáp 1  
à ä  
â á baèng pheùp  
ñoåi bieán y'(x) = z(x)  
,
y ''(x) = z '(x)  
y'= z  
Heä  
vôùi ñieàu kieän  
z '=− p(x) z − q(x) y + f (x)  
/
0
ban ñaàu y(x ) = y vaø z(x ) = y = z  
.
0
0
0 0  
Heä naøy ñaõ bieát caùch giaûi  
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính  
9
pdf 9 trang Thùy Anh 15060 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân - Ngô Thu Lương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_5_giai_gan_dung_phuong_tri.pdf