Giáo trình Giải tích 2 - Bùi Xuân Diệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC
BÙI XUÂN DIỆU
Bài Giảng
GIẢI TÍCH II
(lưu hành nội bộ)
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN
PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT
TRƯỜNG
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải
Hà Nội- 2009
MỤC LỤC
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5
Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . . . .
1
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . . . . . . . . .
5
5
6
7
1.1
1.2
1.3
Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại một điểm.
Độ cong của đường cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số . . . . . . . . . .
2
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . . . . . . 10
2.1
2.2
2.3
2.4
Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham số 10
Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong. . . . . . . . . . . 11
Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai m
Chương 2 . Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1
2
3
Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1
1.2
1.3
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . 16
Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1
2.2
2.3
Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . 35
Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 38
Các ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1
3.2
3.3
Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1
1
2
MỤC LỤC
1.2
1.3
Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 63
Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 66
2
3
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1
2.2
Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . 67
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1
3.2
3.3
Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chương 4 . Tích phân đường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1
Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1
1.2
1.3
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2
Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 92
Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1
Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.1
1.2
1.3
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2
Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Công thức Ostrogradsky, Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . . . . . . . . . 105
Chương 6 . Lý thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1
Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.1
1.2
1.3
1.4
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2
MỤC LỤC
3
2
Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Thông lượng, dive, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3
4
MỤC LỤC
4
CHƯƠNG
1
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
§1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG
HÌNH HỌC PHẲNG
1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường
cong tại một điểm.
1. Điểm chính quy.
• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình f (x, y) = 0. Điểm M (x0, y0)
được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng
fx0 (M) , fy0 (M) không đồng thời bằng 0.
x = x (t)
y = y (t)
• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình tham số
. Điểm
M (x (t0) , y (t0)) được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các
đạo hàm x0 (t0) , y0 (t0) không đồng thời bằng 0.
• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.
2. Các công thức.
• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phương
trình tại điểm chính quy:
5
6
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
– Tiếp tuyến
– Pháp tuyến
(d) : f 0 (M) . (x − x0) + f 0 (M) . (y − y0) = 0.
x
y
ꢀ ꢁ
x − x0
fx0 (M)
y − y0
fy0 (M)
d0
:
=
.
Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x)
thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x0, y0) chính quy là
y − y0 = f 0(x0)(x − x0). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương
trình phổ thông.
• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong (L) xác định bởi phương
x = x (t)
trình tham số
tại điểm M (x (t0) , y (t0)) chính quy:
y = y (t)
– Tiếp tuyến
– Pháp tuyến
x − x (t0)
x0 (t0)
y − y (t0)
y0 (t0)
(d) :
=
.
ꢀ ꢁ
d0 : x0 (t0) . (x − x (t0)) + y0 (t0) . (y − y (t0)) = 0.
1.2 Độ cong của đường cong.
1. Định nghĩa.
2. Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm.
• Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì:
|y00|
C (M) =
(1 + y02)3/2
x = x (t)
y = y (t)
• Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số
thì:
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
x0 y0
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
00
x
y00
C (M) =
(x02 + y02)3/2
• Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (φ) thì:
ꢂ
ꢂ
00ꢂ
ꢂ
2
02
r + 2r − rr
(r2 + r02)3/2
C (M) =
6
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng
7
1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham
số
1. Định nghĩa: Cho họ đường cong (L) phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗi
đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E
và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc
với (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L).
2. Quy tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số.
Định lý 1.1. Cho họ đường cong F (x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c. Nếu họ
đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách
khử c từ hệ phương trình
F (x, y, c) = 0
(1)
0
Fc (x, y, c) = 0
3. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1) bao gồm hình bao
(E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.
Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y = x3 + 2x2 − 4x − 3 tại (−2, 5).
Phương trình tiếp tuyến y = 5
Lời giải.
Phương trình pháp tuyến x = −2
2
b) y = e1−x tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 .
Phương trình tiếp tuyến 2x − y + 3 = 0
Phương trình pháp tuyến x + 2y − 1 = 0
Lời giải.
– Tại M1 (−1, 1),
Phương trình tiếp tuyến 2x + y − 3 = 0
Phương trình pháp tuyến x − 2y + 1 = 0
– Tại M2 (−1, 1),
(
1+t
x =
y =
t3
c.
tại A(2, 2).
3
2t3
1
2t
+
Lời giải.
– Phương trình tiếp tuyến y = x.
– Phương trình pháp tuyến x + y − 4 = 0.
7
8
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
2
3
2
3
2
3
d. x + y = a tại M(8, 1).
Lời giải.
– Phương trình tiếp tuyến x + 2y − 10 = 0.
– Phương trình pháp tuyến 2x − y − 15 = 0.
Bài tập 1.2. Tính độ cong của:
1
a. y = −x3 tại điểm có hoành độ x = .
2
Lời giải.
|y00|
192
125
C (M) =
= ... =
(1 + y02)3/2
(
x = a (t − sin t)
y = a (t − cos t)
b.
(a > 0) tại điểm bất kì.
Lời giải.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
x0 y0
x00 y00
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
1
√ √
C (M) =
= ... =
(x02 + y02)3/2
1 − cos x
2a 2
2
2
2
3
3
3
c. x + y = a tại điểm bất kì (a > 0).
(
x = a cos3 t
y = a sin3 t
Lời giải. Phương trình tham số:
, nên
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
x0 y0
x00 y00
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
C (M) =
= ... =
(x02 + y02)3/2
3a |sin t cos t|
d. r = aebφ, (a, b > 0)
Lời giải.
ꢂ
00ꢂ
ꢂ
2
02
ꢂ
r + 2r − rr
(r2 + r02)3/2
1
√
C (M) =
=
aebφ 1 + b2
Bài tập 1.3. Tìm hình bao của họ đường cong sau:
x
a. y = + c2
c
8
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng
9
b. cx2 + c2y = 1
c. y = c2 (x − c)2
x
c
Lời giải.
a. Đặt F (x, y, c) := y − − c2 = 0.
Điều kiện: c = 0.
(
(
Fx0 (x, y, c) = 0
Fy0 (x, y, c) = 0
F0 x, y, c = 0
(
)
x
Xét hệ phương trình:
⇔
, hệ phương trình vô
1 = 0
nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có
(
(
(
x
c
F (x, y, c) = 0
Fc0 (x, y, c) = 0
y − − c2 = 0
x = 2c3
y = 3c2
⇔
⇔
x
−2c + = 0
c2
ꢀ ꢁ
ꢀ ꢁ
3
2
y
3
x
2
nên
−
= 0. Do điều kiện c = 0 nên x, y = 0. Vậy ta có hình bao của họ
ꢀ ꢁ
ꢀ ꢁ
3
2
y
x
đường cong là đường
−
= 0 trừ điểm O (0, 0).
2
3
b. Đặt F (x, y, c) := cx2 + c2y − 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã
cho nên điều kiện: c = 0.
(
(
Fx0 (x, y, c) = 0
Fy0 (x, y, c) = 0
2cx = 0
⇔ x = c = 0, nhưng điểm kì
c2 = 0
Xét hệ phương trình:
⇔
dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì
dị. Ta có
(
(
(
2
c
F (x, y, c) = 0
Fc0 (x, y, c) = 0
cx2 + c2y = 1
x2 + 2cx = 0
x =
⇔
⇔
−1
y =
c2
x4
Do đó x, y = 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = − 4 trừ điểm O(0, 0).
c. Đặt F (x, y, c) := c2 (x − c)2 − y = 0.
(
(
Fx0 (x, y, c) = 0
Fy0 (x, y, c) = 0
Fx0 = 0
Xét hệ phương trình:
⇔
, hệ phương trình vô nghiệm
−1 = 0
nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị.
Ta có
(
(
F (x, y, c) = 0
Fc0 (x, y, c) = 0
c2 (x − c)2 − y = 0 (1)
⇔
2c (x − c) − 2c2 (x − c) = 0 (2)
c = 0
c = x
x
c =
2
x4
16
(2) ⇔
, thế vào (1) ta được y = 0, y =
.
x4
16
Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y =
.
9
10
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
§2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1 Hàm véctơ
Giả sử I là một khoảng trong R.
I → Rn
• Ánh xạ
được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếu
−−→
t → r (t) ∈ Rn
−−→
−→
−→
−→
n = 3, ta viết r (t) = x (t) . i + y (t) . j + z (t) . k . Đặt M (x (t) , y (t) , z (t)), quỹ tích
M khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của hàm véctơ r (t).
−−→
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
−−→
−→
−→
• Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn là a khi t → t nếu lim r (t) − a =
ꢂ
ꢂ
0
t→t0
−−→
−→
−→
0 , kí hiệu lim r (t) = a .
t→t0
−−→
−−→
• Liên tục: Hàm véctơ r (t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t0 ∈ I nếu lim r (t) =
t→t0
−−→
r (t0). (tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x (t) , y (t) , z (t))
−→
−→
−→
r (t0+h)− r (t0)
∆ r
h
• Đạo hàm: Giới hạn, nếu có, của tỉ số lim
= lim
được gọi là đạo hàm
h
h→0
h→0
−→
−−→
−−→
của hàm véctơ r (t) tại t0, kí hiệu r (t0) hay d r (t ), khi đó ta nói hàm véctơ r (t) khả
−→0
0
dt
vi tại t0.
−−→
−→0
Nhận xét rằng nếu x (t) , y (t) , z (t) khả vi tại t0 thì r (t) cũng khả vi tại t0 và r (t0) =
−→
−→
−→
x0 (t0) . i + y0 (t0) . j + z0 (t0) . k .
2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường
cong cho dưới dạng tham số
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Cho đường cong
và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy.
• Phương trình tiếp tuyến tại M
x − x (t0)
y − y (t0)
y0 (t0)
z − z (t0)
z0 (t0)
(d) :
=
=
.
x0 (t0)
• Phương trình pháp diện tại M.
(P) : x0 (t0) . (x − x (t0)) + y0 (t0) . (y − y (t0)) + z0 (t0) . (z − z (t0)) = 0.
10
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
11
2.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt
cong.
Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z) = 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm
chính quy của S.
• Phương trình pháp tuyến tại M
x − x0
y − y0
fy0 (M)
z − z0
fz0 (M)
(d) :
=
=
.
fx0 (M)
• Phương trình tiếp diện tại M
(P) : fx0 (M) . (x − x0) + fy0 (M) . (y − y0) + fz0 (M) . (z − z0) = 0.
Đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z (x, y) thì phương trình tiếp diện tại M
là (P) : z − z0 = z0x (M) . (x − x0) + zy0 (M) . (y − y0).
2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường
cong cho dưới dạng giao của hai mặ(t cong
f (x, y, z) = 0
Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau
.
g (x, y, z) = 0
ꢃ
ꢄ
−→
Đặt nf = fx0 (M) , fy0 (M) , fz0 (M) , là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt
cong f (x, y, z) = 0 tại M.
Đặt ng = g0x (M) , gy0 (M) , gz0 (M) , là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt
cong g (x, y, z) = 0 tại M.
ꢃ
ꢄ
−→
−→ −→
Khi đó nf ∧ ng là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại M. Vậy phương
trình tiếp tuyến là:
(
fx0 (M) . (x − x0) + fy0 (M) . (y − y0) + fz0 (M) . (z − z0) = 0.
g0x (M) . (x − x0) + gy0 (M) . (y − y0) + gz0 (M) . (z − z0) = 0.
PTTQ :
y−y0
x−x0
z−z0
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
PTCT :ꢂ
=
=
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ fy0 (M) fz0 (M) ꢂ
ꢂ fz0
( )
M
fx0
( )
M
fx0
( )
M
g0x (M) gy0 (M)
fy0
( ) ꢂ
M
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
gz0 (M) g0x (M)
gy0 (M) gz0 (M)
−→
−→
−→
Bài tập 1.4. Giả sử p (t) , q (t) , α (t) là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng:
−→
−→
ꢀ
ꢁ
d p (t)
dt
d q (t)
dt
−→
−→
d
dt
a.
p (t) + q (t) =
+
11
12
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
−→
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢁ
d p (t)
dt
−→
−→
d
dt
b.
c.
α (t) p (t) = α (t)
+ α0 (t) p (t)
−→
dt
−→
ꢁ
d q (t)
d p (t)
−→
−→
−→
−→
q (t)
d
dt
p (t) q (t) = p (t)
+
dt
−→
−→
dt
ꢁ
d q (t)
dt
d p (t)
−→
−→
−→
−→
d
dt
d.
p (t) ∧ q (t) = p (t) ∧
+
∧ q (t)
−→
−→
Lời giải.
a. Giả sử p (t) = (p1 (t) , p2 (t) , p3 (t)) , q (t) = (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t)), khi đó:
ꢀ
ꢁ
d
d
−→
−→
p (t) + q (t) =
(p1 (t) + q1 (t) , p2 (t) + q2 (t) , p3 (t) + q3 (t))
dt
dt
ꢀ
ꢁ
= p10 (t) + q10 (t) , p20 (t) + q20 (t) , p30 (t) + q30 (t)
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
= p10 (t) , p20 (t) , p30 (t) + q10 (t) , q20 (t) , q30 (t)
−→
−→
d p (t) d q (t)
=
+
dt
dt
b.
ꢀ
ꢁ
d
−→
α (t) p (t)
ꢀ
dt
ꢁ
= [α (t) p1 (t)]0 , [α (t) p2 (t)]0 , [α (t) p3 (t)]0
ꢀ
ꢁ
= α0 (t) p1 (t) + α (t) p10 (t) , α0 (t) p2 (t) + α (t) p20 (t) , α0 (t) p3 (t) + α (t) p30 (t)
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
= α0 (t) p1 (t) , α0 (t) p2 (t) , α0 (t) p3 (t) + α (t) p10 (t) , α (t) p20 (t) , α (t) p30 (t)
−→
dt
d p (t)
−→
+ α0 (t) p (t)
= α (t)
c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp.
d.
ꢀ
ꢁ
d
−→
−→
p (t) ∧ q (t)
dt
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
,
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
,
ꢂ
ꢂ
ꢂ
!
d
p2 (t) p3 (t)
q2 (t) q3 (t)
p3 (t) p1 (t)
q3 (t) q1 (t)
p1 (t) p2 (t)
q1 (t) q2 (t)
=
ꢂ
ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ
ꢂ
dt
= ...
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
!
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
,
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
,
p2 (t) p30 (t)
q2 (t) q30 (t)
p3 (t) p10 (t)
q3 (t) q10 (t)
p1 (t) p20 (t)
q1 (t) q20 (t)
=
ꢂ
ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
,
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
,
ꢂ
ꢂ
ꢂ
!
ꢂ
p20 (t) p3 (t)
q20 (t) q3 (t)
p30 (t) p1 (t)
q30 (t) q1 (t)
p10 (t) p2 (t)
q10 (t) q2 (t)
ꢂ
+
ꢂ
ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ ꢂ
ꢂ
−→
dt
−→
dt
d q (t) d p (t)
−→
−→
= p (t) ∧
+
∧ q (t)
Bài tập 1.5. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
12
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
13
x = a sin2 t
π
4
a.
b.
tại điểm ứng với t = , (a, b, c > 0).
y = b sin t cos t
z = c cos2 t
et sin t
√
x =
2
tại điểm ứng với t = 2.
y = 1
et cos t
√
z =
2
a
b
c
x−2
y−2
z−2
Lời giải.
a.
– Phương trình tiếp tuyến: (d) :
=
=
a
0
−c
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
a
2
c
– Phương trình pháp diện: (P) : a x − − c z − 2 = 0.
z− √
2
2
y−1
x
√
√
b.
– Phương trình tiếp tuyến: (d) :
=
=
.
0
2
2
2
2
ꢃ
ꢄ
√
2
√
2
√
2
2
2
– Phương trình pháp diện: (P) : 2 x +
z −
= 0.
Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x2 − 4y2 + 2z2 = 6 tại điểm (2, 2, 3).
b) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2, 1, 12).
c) z = ln (2x + y) tại điểm (−1, 3, 0)
y−2
−16
x−2
z−3
12
Lời giải.
a.
– Phương trình pháp tuyến: (d) :
=
=
4
– Phương trình tiếp diện: (P) : 4 (x − 2) − 16 (y − 2) + 12 (z − 3) = 0
y−1
x−2
z−12
b.
c.
– Phương trình pháp tuyến: (d) :
=
=
8
8
−1
– Phương trình tiếp diện: (P) : 8 (x − 2) + 8 (y − 1) − (z − 12) = 0.
y−3
x+1
2
z
−1
– Phương trình pháp tuyến: (d) :
=
=
1
– Phương trình tiếp diện: (P) : 2 (x + 1) + (y − 3) − z = 0.
Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
(
x2 + y2 = 10
y2 + z2 = 25
a.
b.
tại điểm A (1, 3, 4)
(
2x2 + 3y2 + z2 = 47
x2 + 2y2 = z
tại điểm B (−2, 6, 1)
13
14
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
(
(
f (x, y, z) := x2 + y2 − 10 = 0
g (x, y, z) := y2 + z2 − 25 = 0
nf = (2, 6, 0)
ng = (0, 6, 8)
Lời giải.
a. Ta có
nên
.
Do đó nf ∧ ng = 2 (21, −8, 3). Vậy:
– Phương trình tiếp tuyến (d) :
y−3
−8
x−1
z−4
=
=
21
3
– Phương trình pháp diện (P) : 21 (x − 1) − 8 (y − 3) + 3 (z − 4) = 0
(
nf = (−8, 6, 12)
b. Tương tự,
, nf ∧ ng = −2 (27, 27, 4) nên
ng = (−4, 4, −1)
y−1
=
27
x+2
27
z−6
4
– Phương trình tiếp tuyến (d) :
=
– Phương trình pháp diện (P) : 27 (x + 2) + 27 (y − 1) + 4 (z − 6) = 0
14
CHƯƠNG
2
TÍCH PHÂN BỘI
§1. TÍCH PHÂN KÉP
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia
miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là
∆S1, ∆S2, ..., ∆Sn. Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tuỳ ý M (xi, yi) và thành lập tổng tích
n
phân In =
f (xi, yi) ∆Si. Nếu khi n → ∞ sao cho max {∆Si → 0} mà In tiến tới một giá
∑
i=1
trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M (xi, yi) thì giới
hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y) trong miền D, kí hiệu là
ZZ
f (x, y) dS
D
Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y) khả tích trong miền D. Do tích phân kép không phụ
thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia D thành hai họ đường
thẳng song song với các trục toạ độ, khi đó dS = dxdy và ta có thể viết
ZZ
ZZ
f (x, y) dS =
f (x, y) dxdy
D
D
Tính chất cơ bản:
• Tính chất tuyến tính:
ZZ
ZZ
ZZ
[f (x, y) + g (x, y)] dxdy =
f (x, y) dxdy +
g (x, y) dxdy
D
D
D
15
16
Chương 2. Tích phân bội
ZZ
ZZ
kf (x, y) dxdy = k
f (x, y) dxdy
D
D
• Tính chất cộng tính: Nếu D = D1 ∪ D2 và D1 ∩ D2 = ∅ thì
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dxdy +
f (x, y) dxdy
D
D1
D2
1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes
Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.
1. Phác thảo hình dạng của miền D.
2. Nếu D là miền hình chữ nhật (D) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một
trong hai tích phân lặp
b
d
d
d
ZZ
Z
Z
Z
Z
f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy = dy f (x, y) dx
a
c
c
c
D
3. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6
y 6 ψ (x) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dy trước, dx sau.
ψ(x)
b
ZZ
Z
Z
f (x, y) dxdy = dx
f (x, y) dy
a
D
ϕ(x)
4. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Ox, (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6
x 6 ψ (y) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dx trước, dy sau.
ψ(y)
d
ZZ
Z
Z
f (x, y) dxdy = dy
f (x, y) dx
c
D
ϕ(y)
5. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 3,4 thì thông thường ta sẽ chia
miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 3 hoặc 4 rồi sử dụng tính chất cộng tính
để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 3, 4.
Các dạng bài tập cơ bản
16
1. Tích phân kép
17
Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.
Trong phần trên, chúng ta biết rằng thứ tự lấy tích phân và hình dáng của miền D có
liên quan chặt chẽ đến nhau. Nếu thứ tự dy trước, dx sau thì miền D có dạng hình thang
cong song song với trục Oy, và có biểu diễn là (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6 y 6 ψ (x). Ngược lại,
nếu thứ tự dx trước, dy sau thì miền D có dạng hình thang cong song song với trục Ox,
và có biểu diễn là (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6 x 6 ψ (y). Do vậy việc đổi thứ tự lấy tích phân
trong tích phân lặp chẳng qua là việc biểu diễn miền D từ dạng này sang dạng kia.
1. Từ biểu thức tích phân lặp, vẽ phác thảo miền D.
2. Nếu D là miền hình thang cong có các cạnh song song với Oy thì ta chia D thành các
hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải tích của các miền
con, ví dụ (Di) : ci 6 y 6 di, ϕi (y) 6 x 6 ψi (y), sau đó viết
y2(x)
ψi(y)
di
b
Z
Z
Z
Z
dx
f (x, y) dy =
dy
f (x, y) dx
∑
i
a
ci
y1(x)
ϕi(y)
3. Làm tương tự trong trường hợp D là hình thang cong có các cạnh song song với Ox.
Bài tập 2.1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:
√
1
1−x2
Z
Z
a)
dx
f (x, y) dy
√
0
−
1−x2
y
1
D1
D2
x
1
O
Hình 2.1 a)
Chia miền D thành hai miền con D1, D2 như hình vẽ,
−1 6 y 6 0
0 6 y 6 1
p
D1 :
, D2 :
p
p
p
− 1 − y2 6 x 6 1 − y2
− 1 − y 6 x 6 1 − y
√
√
1−y2
1−y
0
1
Z
Z
Z
Z
I = dy
f (x, y) dx+ dy
f (x, y) dx
√
√
−1
0
−
1−y2
−
1−y
17
18
Chương 2. Tích phân bội
√
1+ 1−y2
1
Z
Z
y
b)
dy
f (x, y) dx
0
2−y
2
1
x
2
O
1
Hình 2.1 b)
nên:
1 6 x 6 2
Lời giải. Ta có: D :
√
2 − x 6 y 6 2x − x2
√
2
2x−x2
Z
Z
I = dx
f (x, y) dy
1
2−x
√
y
2x
2
Z
Z
c)
dx√
f (x, y) dx
2
2x−x2
0
1
x
O
1
2
Hình 2.1 c)
Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ,
0 6 y 6 1
y2
0 6 y 6 1
p
1 6 y 6 2
y2
D1 :
, D2 :
, D3 :
p
6 x 6 1 − 1 − y2
1 + 1 − y2 6 x 6 2
6 x 6 2
2
2
Vậy:
√
1− 1−y2
1
1
2
2
2
Z
Z
Z
Z
Z
Z
I = dy
f (x, y) dx+ dy
f (x, y) dx + dy f (x, y) dx
√
2
2
0
0
1
y
y
1+ 1−y2
2
2
18
1. Tích phân kép
19
√
√
4−y2
y
2
2
Z
Z
Z
Z
d)
dy f (x, y) dx+√ dy
f (x, y) dx
0
0
0
2
y
√
2
√
x
O
2
Hình 2.1 d)
Lời giải.
√
0 6 x 6
2
D :
√
x 6 y 6 4 − x2
nên:
√
√
4−x2
2
Z
Z
I =
dx
f (x, y) dy
x
0
Một câu hỏi rất tự nhiên đặt ra là việc đổi thứ tự lấy tích phân trong các bài toán tích
phân kép có ý nghĩa như thế nào? Hãy xét bài toán sau đây:
1
1
Z
Z
2
Bài tập 2.2. Tính I = dx xey dy.
x2
0
y
2
x
O
1
Hình 2.2
2
Lời giải. Chúng ta biết rằng hàm số f (x, y) = xey liên tục trên miền D nên chắc chắn
khả tích trên D. Tuy nhiên các bạn có thể thấy rằng nếu tính tích phân trên mà làm theo
19
Tải về để xem bản đầy đủ
115 trang
26/04/2022
8760
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_2_bui_xuan_dieu.pdf
