Giáo trình Giải tích 2 - Bài 5

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

GIẢI TÍCH 2

BÀI 5

CHƯƠNG III. TÍCH PHÂN BỘI

A. TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP)

3.0. Tính thể tích bằng tích phân lặp

b

 

 Đã biết công thức tính thể tích vật thể trong Giải tích I:

 Diện tích tiết diện thẳng S(x) được tính như sau:

(0.1)

(0.2)

V  S x dx



a

 

x

y

²

 

S x 

f x, y dy





 

y x

1

 Thay (0.2) vào (0.1) ta có

 

y

x

y (x)

b





2





V 

f x, y dy dx  dx

f(x,y)dy





_

 



 

^a ^y1 ^x



a

y (x)

1

¹





x



Ví dụ 1. Tính tích phân lặp

I 

2ydy dx

 

₀





2

 x

Ví dụ 2. Sử dụng tích phân lặp tính thể tích tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng

toạ độ và mặt phẳng

x + y + z = 1.

3.1. Tích phân hai lớp trên hình chữ nhật đóng

3.1.1. Định nghĩa

a) Phân hoạch  chia hình chữ nhật R = [a ; b] [c ; d] thành hữu hạn các hình chữ

n

nhật đóng, đôi một không có phần trong chung và có

,

R_i

R 



i1

R_ilà diện tích hình chữ nhật thứ i, |R| là diện tích hình chữ nhật R;

d_ilà đường chéo hình chữ nhật R_i, d() = maxd_i

i1,n

b) Tổng tích phân

n

 = (f, , p₁, ..., p_n) =

,

f  , R , p  ,



_i

_i

_i

i



i1

Hàm f(x,y) xác định và bị chặn trên R

c) Các tổng Đacbu

n

 

 Tổng Đacbu dưới: s  

m_iR_i



i1

16

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

n

 

 Tổng Đacbu trên: S  

M_iR_i, ở đó



i1

m  inf f x, y , M  supf x, y ,









i

R

i

R

i

thì có

m|R|  s()  (f, , p₁, ..., p_n)  S()  M|R|

d) Tổng trên không tăng, tổng dưới không giảm

 Ta bảo phân hoạch  mịn hơn  nếu mỗi hình chữ nhật trong phân hoạch 

luôn nằm trong hình chữ nhật nào đấy của phân hoạch 

 Khi  mịn hơn , ta có s()  s()  S()  S().

e) Dãy chuẩn tắc các phép phân hoạch

Cho {_n} là dãy các phân hoạch hình chữ nhật R. Dãy {_n} được gọi là chuẩn tắc

nếu lim d   0.



_n



n

f) Định nghĩa tích phân kép

Cho f xác định trên hình chữ nhật đóng R, Nếu có lim  f,, p ,, p 



_n



1

n

p

n

lim

f  , R  I (số thực hữu hạn) với mọi dãy chuẩn tắc



_i

i

_n

i1

{_n}: _n= {R₁, R₂, ...,

},

R_p

n

với mọi cách chọn điểm p_i= (_i; _i)  R_i, thì ta có hàm f khả tích trên R và viết

f x, y dxdy  I .







R

3.1.2. Điều kiện khả tích

Định lí 1. Hàm f khả tích trên R đóng  f bị chặn

Định nghĩa. { } là dãy chuẩn tắc bất kì. Ta gọi lim s  ( lim S  ) là tích



_n





_n



n

n

phân dưới hai lớp (tích phân trên hai lớp) và kí hiệu là

f x, y dxdy







R

(

)

f x, y dxdy







R

Định lí 2. Ta có

 

f x, y dxdy  S 

^{1/ s  }^{f(x,y)dxdy }





R

 

2/ sup s  

f x, y dxdy ,

^{f x, y dxdy , inf S  }















P R





P R

R

17

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

P (R) là tập tất cả các phân hoạch của R.

Định lí 3.

Cho f bị chặn trên R . Khi đó f khả tích trên R

f x, y dxdy

^^{f(x,y)dxdy }





R

Định lí 4. Cho f bị chặn trên . Khi đó f khả tích trên R    > 0, bé tuỳ ý, 

R

phân hoạch  của R sao cho S()  s() < 

Định lí 5. f liên tục trên R thì f khả tích trên R.

Định lí 6. f xác định và bị chặn trên R , có f liên tục trên R\E, ở đó E  R và |E| = 0

 f khả tích trên R.

3.2. Độ đo Peanno – Jourdan

2

 Độ đo. Tìm lớp M 



để A  M có độ đo là m(A) thoả mãn:

1/ 0  m(A)  +

2/ Mọi hình chữ nhật   M và có m() = ||

3/ Mọi A, B  M, rời nhau thì có

m(A  B) = m(A) + m(B)

2

 Độ đo Peanno – Jordan. Cho A 



, ta gọi độ đo ngoài của nó là

n









^ 

, ở đó _ilà những hình chữ nhật.

m A  inf

 :   A





i

 

_i1







i1

Nếu A  ₀nào đó thì ta gọi độ đo trong của nó là



 

m A    m  \ A .







0

Tập A được gọi là đo được  m^(A) = m_(A) và khi đó ta định nghĩa m(A) = m^(A) =

m_(A)

Độ đo Peanno-Jordan thoả mãn các tiên đề về độ đo.

3.3. Tích phân hai lớp trên tập hợp bị chặn

a) Định nghĩa. R là hình chữ nhật đóng, tập bị chặn D  R, hàm f gọi là xác định

trên D, và





f x, y , x, y D



 



f x, y 

₀





0,





x, y R \ D





Nếu f₀khả tích trên R thì ta bảo f khả tích trên D và định nghĩa

f x, y dx dy  f x, y dxdy





₀





D

R

18

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

Định lí 7. D giới nội trong R, f bị chặn, f  0 trên D. Nếu f khả tích trên D thì tập

3

(vật thể hình trụ)

A  x,y, z   : x, y  D,0  z  f x, y















3

^{đo được theo nghĩa Jordan trong 
và thể tích của A là A }

Định lí 8. Tập D giới nội trong ², X_D(x, y) = 1, (x, y)  D. Tập D đo được theo

f x, y dxdy





D



nghĩa Jordan  X_Dkhả tích trên D, khi đó ta có

D  X x, y dx dy  dxdy

_D





D

2

Hệ quả 1. Tập D bị chặn trong



thì D đo được theo nghĩa Jordan |D| = 0

Hệ quả 2. Hàm số f : [a ; b] 

khả tích trên đoạn [a ; b] thì đồ thị  của



f có diện tích 0.

2

Hệ quả 3. D giới nội trong



, D là hợp của hữu hạn cung được xác định bởi

các hàm số liên tục thì D là tập hợp đo được.

2

Miền giới nội trong



thoả các điều kiện của Hệ quả 3 được gọi là miền chính

2

quy trong



b) Tính chất

1/ Cộng tính. D = D₁ D₂bị chặn trong ², |D₁ D₂| = 0, f khả tích trên D₁, D₂



 f khả tích trên D và có

f x, y dxdy  f x, y dxdy  f x, y dxdy















D

2

1

2

2/ Tuyến tính. D bị chặn trong



, f, g khả tích trên D  f + g khả tích trên D





và có

f x, y  g x, y dxdy















D

^{ }^{f x, y dxdy   g x, y dxdy, ,   }











D

2

3/ Bảo toàn thứ tự. Hai hàm f, g khả tích trên tập bị chặn D 



, và có f(x, y) 

g(x, y), (x, y)  D. Khi đó

g x, y dxdy .

^{f x, y dxdy }









D

Hệ quả 4. Nếu m  f(x, y)  M, (x, y)  D, thì có

m D  f x, y dxdy  M D







D

Hệ quả 5.

f x, y dxdy

^{f x, y dxdy }









D

19

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

[email protected]u.vn

4/ Khả tích.

2

Định lí 9. D là tập đo được trong



, f liên tục, bị chặn trên D  f khả tích trên D.

Định lí 10.

|D| = 0, f bị chặn trên D 

.

f x, y dx dy  0







D

Định lí 11. g bị chặn trên D, f khả tích trên D, |E| = 0, E  D, g(x, y) = f(x, y),  (x, y) 

D\E  g khả tích trên D và có

g x, y dxdy  f x, y dx dy











D

5/ Các định lí giá trị trung bình

Định lí 12. D là tập hợp đo được, f khả tích trên D và có m  f(x, y)  M, (x, y) 

D.

Khi đó    [m, M] sao cho

f x, y dx dy   D







D

Định lí 13. Cho D đóng, đo được, liên thông, f liên tục trên D   p(, )  D sao

cho

f x, y dxdy  f p D .

 







D

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

20

Giáo trình Giải tích 2 - Bài 5 - Nguyễn Xuân Thảo