Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 3 - Bài 1: Luật phương pháp xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

§1 LUẬT PPXS CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

1.1 Khái niệm cơ sở

* Khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Thực tế yêu cầu xét đồng thời nhiều thuộc tính có quan hệ với

nhau của đối tượng mà ta quan tâm, ký hiệu ꢀ_ꢁ, ꢀ_ꢂ,…, ꢀ_ꢃ.

Ta có thể dùng công cụ véc tơ của giải tích toán

ꢄ

ꢃ

X

= (ꢀ_ꢁꢀ_ꢂ… ꢀ_ꢃ) ∈ ℝ

và coi ꢅ là một biến ngẫu nhiên ꢆ chiều hay véc tơ ngẫu nhiên (ꢆ

chiều).

ꢄ

X

Để cho đơn giản, ta chỉ xét trường hợp ꢆ = 2 và = (ꢀ ꢇ) ,

trong đó X, ꢇ là các biến ngẫu nhiên 1 chiều.

* Phân loại biến ngẫu nhiên hai chiều

X

- Biến được coi là rời rạc nếu cả 2 thành phần là biến rời rạc.

X

- Biến được coi là liên tục nếu 2 thành phần là biến liên tục.

X

- Biến có dạng hỗn hợp nếu 1 thành phần rời rạc và thành

phần kia liên tục mà ta không xét ở đây.

Ta mở rộng khái niệm hàm PPXS cho biến ngẫu nhiên 2 chiều. Ký

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

hiệu 2 sự kiện ꢈ = {ꢀ < ꢉ} và ꢊ = ꢇ < ꢋ} .

* Định nghĩa

X

. Hàm phân phối xác suất của biến 2 chiều =

(ꢀ ꢇ)^ꢄđược xác định như sau

ꢌ(ꢉ, ꢋ) = ꢍ(ꢈꢊ) = ꢍ(ꢀ < ꢉ, ꢇ < ꢋ); ꢉ, ꢋ ∈ ℝ.(1)

Người ta còn dùng thuật ngữ hàm phân phối xác suất đồng thời

của 2 biến X, ꢇ.

Mở rộng các tính chất của hàm PPXS của chương 2, ta có

* Tính chất của (

ꢎ ꢏ, ꢐ

)

i 1 ≥ ꢌ(ꢉ, ꢋ) ≥ 0;

(ii) ꢌ(ꢉ, ꢋ) là hàm không giảm theo từng đối số;

(iii) Với ꢉ_ꢁ≤ ꢉ_ꢂ, ꢋ_ꢁ≤ ꢋ_ꢂ

P(ꢉ_ꢁ≤ ꢀ ≤ ꢉ_ꢂ, ꢋ_ꢁ≤ ꢇ ≤ ꢋ_ꢂ)

= ꢌ(ꢉ_ꢂ, ꢋ_ꢂ) − ꢌ(ꢉ_ꢂ, ꢋ_ꢁ) − ꢌ ꢉ_ꢁ, ꢋ_ꢂ+ ꢌ(ꢉ_ꢁ, ꢋ_ꢁ) ;

(iv) F(+∞, +∞) = 1; F(−∞, ꢋ_ꢁ) = F(ꢉ_ꢁ, −∞) = 0.

Y

Tính chất (iii) có ý nghĩa là XS để

D

y₂

C

B

điểm ngẫu nhiên (ꢀ, ꢇ) rơi vào

y₁

A

x₁

x₂

0

X

miền chữ nhật ABCD.

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

* Phân phối biên

Để ý rằng

ꢌ(ꢉ, +∞) = ꢍ(ꢀ < ꢉ, ꢇ < +∞) = ꢍ(ꢀ < ꢉ) = ꢌ (ꢉ);

ꢁ

ꢌ(+∞, ꢋ) = ꢍ(ꢀ < +∞, ꢇ < ꢋ) = ꢍ(ꢇ < ꢋ) = ꢌ_ꢂ(ꢋ);

là các phân phối riêng của từng thành phần X, ꢇ tương ứng;

chúng được gọi là các phân phối biên của biến hai chiều ꢅ. Đó

cũng chính là các phân phối một chiều đã biết ở chương II.

* Khái niệm độc lập

Hai biến ꢀ, ꢇ được gọi là độc lập nếu (dùng định nghĩa ở

chương I: ꢍ(ꢈꢊ) = ꢍ(ꢈ)ꢍ(ꢊ) ⇔ ꢈ, ꢊ độc lập)

ꢌ(ꢉ, ꢋ) = ꢌ (ꢉ)ꢌ_ꢂ(ꢋ).

ꢁ

1.2 PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

* Định nghĩa

. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều

ꢄ

X

= (ꢀ ꢇ) là

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

ꢉ ꢋ

ꢋ_ꢁ

ꢋ_ꢂ

⋯

ꢋ_ꢑ

⋯

ꢋ_ꢒ

ꢑ

ꢉ_ꢁ

⋮

ꢉ_ꢔ

⋮

ꢓ_ꢁꢁ

ꢓ_ꢂꢁ

⋮

ꢓ_ꢔꢁ

⋮

ꢓ_ꢁꢂ

ꢓ_ꢂꢂ

⋮

ꢓ_ꢔꢂ

⋮

⋯

⋱

⋯

⋱

ꢓ_ꢁꢑ

ꢓ_ꢂꢑ

⋮

ꢓ_ꢔꢑ

⋮

⋯

⋱

⋯

⋱

ꢓ_ꢁꢒꢓ_ꢁ(ꢉ_ꢁ)

ꢓ_ꢂꢒꢓ_ꢁ(ꢉ_ꢂ)

⋮

ꢓ_ꢔꢒ

⋮

ꢓ_ꢁ(ꢉ_ꢔ)

⋮

ꢉ_ꢃ

ꢓ_ꢃꢁ

ꢓ_ꢃꢂ

⋯

ꢓ_ꢃꢑ

⋯

ꢓ_ꢃꢒꢓ_ꢁ(ꢉ_ꢃ)

ꢓ_ꢂ(ꢋ_ꢁ) ꢓ_ꢂ(ꢋ_ꢂ)

⋯

ꢓ_ꢂ(ꢋ_ꢑ)

⋯

ꢓ_ꢂ(ꢋ_ꢒ)

1

ꢔ

trong đó ꢓ_ꢔꢑ= ꢍ(ꢀ = ꢉ_ꢔ, ꢇ = ꢋ_ꢑ) là xác suất đồng thời để ꢀ và ꢇ

nhận các giá trị tương ứng.

Tương tự trường hợp 1 chiều ta có thể xác định hàm xác suất

đồng thời ꢓ(ꢉ, ꢋ) sao cho ꢓ(ꢉ_ꢔ, ꢋ_ꢑ) = ꢓ_ꢔꢑ; ꢕ = 1, ꢆ, ꢖ = 1, ꢗ.

* Tính chất của

ꢘ(ꢏ, ꢐ)

i

ꢓ_ꢔꢑ≥ 0, ꢕ = 1, ꢆ, ꢖ = 1, ꢗ hay ꢓ(ꢉ, ꢋ) ≥ 0 ∀ ꢉ, ꢋ;

ꢃ

ꢒ

(ii)

ꢓ_ꢔꢑ= 1

hay

_∀ꢚ,ꢛꢓ(ꢉ, ꢋ) = 1.

ꢔꢙꢁ ꢑꢙꢁ

* Hàm phân phối xác suất đồng thời

ꢌ(ꢉ, ꢋ) =

_{ꢛ ꢝꢛ}ꢓ_ꢔꢑ.

ꢜ

ꢚ ꢝꢚ

ꢞ

* Hàm xác suất biên

ꢍ(ꢀ = ꢉ_ꢔ) = ꢓ_ꢁ(ꢉ_ꢔ) = _ꢑꢓ_ꢔꢑ, ꢕ = 1, ꢆ;

ꢍ(ꢇ = ꢋ_ꢑ) = ꢓ_ꢂ(ꢋ_ꢑ) = _ꢔꢓ_ꢔꢑ, j = 1, ꢗ.

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

* Thí dụ 1

. Từ bảng PPXS đồng thời của ꢀ và ꢇ

ꢋ

1

2

3

ꢉ

1

2

0,10

0,15

0,25

0,00

0,15

0,35

Tìm các PP biên của ꢀ và ꢇ, sau đó tính ꢌ(2, 3).

Giải. Lấy tổng hàng và tổng cột của bảng PP đồng thời, ta có các

bảng PP biên tương ứng:

ꢉ

1

2

ꢋ

0

1

2

ꢓ_ꢁ(ꢉ) 0,50

0,50

ꢓ_ꢂ(ꢋ) 0,25

0,25

0,50

Việc tính ꢌ(2, 3) dựa vào công thức hàm PP đồng thời

ꢌ(2, 3) = _{ꢛ ꢝꢟ}ꢓ_ꢔꢑ= ꢓ_ꢁꢁ+ ꢓ_ꢁꢂ= 0,35.

* Khái niệm độc lập

ꢚ ꢝꢂ

ꢞ

ꢜ

Hai biến rời rạc ꢀ và ꢇ được gọi là độc lập, nếu với mọi cặp giá

trị ꢉ_ꢔ, ꢋ_ꢑ, ta luôn có

ꢓ_ꢔꢑ= ꢓ_ꢁ(ꢉ_ꢔ) ꢓ_ꢂ(ꢋ_ꢑ); ꢕ = 1, ꢆ, ꢖ = 1, ꢗ.

Trong thí dụ 1 ta thấy ꢓ_ꢁꢁ= 0,1 ≠ ꢓ_ꢁ(1) ꢓ_ꢂ(1) = 0,125 ⇒ hai

biến ꢀ, ꢇ không độc lập.

* Phân phối có điều kiện

Từ chương I ta có

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

ꢡ(ꢢ ꢙ ꢚ ; ꢣꢙ ꢛ )

ꢞ

ꢤ

P ꢀ = ꢉ_ꢔꢇ = ꢋ_ꢠ=

, ꢕ = 1, ꢆ.

ꢡ(ꢣꢙ ꢛ )

ꢤ

Công thức này cho phép ta xác định XS của phân phối có điều kiện

của ꢀ, biết ꢇ nhận một giá trị cụ thể ꢋ_ꢠ.

* Thí dụ 2

. Tìm phân phối có điều kiện của ꢀ, biết ꢇ = 1 trong bài

toán thí dụ 1.

Giải. Theo công thức XS có điều kiện ở trên

ꢡ(ꢢꢙꢁ; ꢣꢙꢁ)

ꢡ(ꢣꢙꢁ)

ꢥ

ꢨ,ꢁ

ꢦꢦ

P ꢀ = 1 ꢇ = 1 =

, =

=

= 0,4;

ꢥ (ꢁ) ꢨ,ꢂꢩ

ꢧ

ꢥ

ꢨ,ꢁꢩ

ꢧꢦ

P ꢀ = 2 ꢇ = 1 =

=

= 0,6.

ꢥ (ꢁ) ꢨ,ꢂꢩ

ꢧ

Từ đó bảng PP có điều kiện của ꢀ biết ꢇ = 1 là

ꢉ

1

2

ꢓ_ꢁꢉ ꢇ = 1

0,4

0,6

Có thể tổng quát hoá PP có điều kiện với bộ điều kiện ꢪ_ꢣnào đó

ꢡ(ꢢ ꢙ ꢚ; ꢫ )

ꢬ

P ꢀ = ꢉ ꢪ_ꢣ=

.

ꢡ(ꢫ )

ꢬ

Chẳng hạn nếu ta biết ꢪ_ꢣ= { ꢋ_ꢁ≤ ꢇ ≤ ꢋ_ꢂ}, thì

ꢡ(ꢢ ꢙ ꢚ; ꢛ ꢭ ꢣ ꢭ ꢛ )

ꢦ

ꢧ

P ꢀ = ꢉ ꢋ_ꢁ≤ ꢇ ≤ ꢋ_ꢂ=

.

ꢡ( ꢛ ꢭ ꢣ ꢭ ꢛ )

ꢦ

ꢧ

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

1.3 PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục

Ta đưa ra định nghĩa của hàm mật độ hai chiều:

* Định nghĩa

. Nếu hàm phân phối ꢌ(ꢉ, ꢋ) của biến ngẫu nhiên hai

ꢄ

X

chiều = (ꢀ ꢇ) được biểu diễn dưới dạng

ꢚ

ꢛ

ꢌ(ꢉ, ꢋ) = _{ꢲꢳ ꢲꢳ}ꢮ ꢯ, ꢰ ꢱꢯꢱꢰ,

thì hàm ꢮ(ꢉ, ꢋ) được gọi là hàm mật độ của biến ꢅ hay hàm mật

độ đồng thời của X và Y.

Về mặt ý nghĩa hình học hàm ꢴ = ꢮ(ꢉ, ꢋ) vẽ ra một mặt cong

trong ℝ^ꢟvà được gọi là mặt mật độ PPXS. Nếu ꢌ(ꢉ, ꢋ) khả vi theo

cả hai biến thì

ꢧ

ꢵ ꢶ(ꢚ,ꢛ)

ꢮ(ꢉ, ꢋ) =

.

ꢵꢚꢵꢛ

* Thí dụ 3

. Cho hàm mật độ đồng thời của ꢀ và ꢇ là ꢮ(ꢉ, ꢋ) = 1,

với 0 ≤ ꢉ, ꢋ ≤ 1. Vẽ hàm ꢮ(ꢉ, ꢋ) và tính hàm PP đồng thời ꢌ(ꢉ, ꢋ).

Giải. Mặt cong mật độ ở đây là

f (x, y)

f (x, y) = 1

phần mặt phẳng trong mặt z = 1,

1

tức là ꢮ(ꢉ, ꢋ) ≠ 0 với các (ꢉ, ꢋ)

1

y

thuộc hình vuông [0;1] × [0;1].

Hàm PP đồng thời ꢌ(ꢉ, ꢋ) được

1

H×nh 1.2

x

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

tính sau đây:

0,

ꢉ ≤ 0 hoặc ꢋ ≤ 0;

ꢉꢋ, 0 < ꢉ ≤ 1, 0 < ꢋ ≤ 1;

ꢉ,

ꢋ,

1,

0 < ꢉ ≤ 1, ꢋ > 1;

ꢉ > 1, 0 < ꢋ ≤ 1

ꢉ > 1, ꢋ > 1.

ꢌ(ꢉ, ꢋ) =

;

Hàm PP có dạng rất phức tạp, nên người ta hay sử dụng hàm mật

độ. Đây là thí dụ về PP đều hai chiều, tổng quát hoá PP đều liên

tục đã xét ở chương II.

* Tính chất của

ꢷ(ꢏ, ꢐ)

(i) ꢮ(ꢉ, ꢋ) ≥ 0;

ꢸꢳ

(ii)

^ꢸꢳꢮ ꢉ, ꢋ ꢱꢉꢱꢋ = 1;

ꢲꢳ ꢲꢳ

(iii) P ꢅ ∈ ꢹ = _ꢹꢮ ꢉ, ꢋ ꢱꢉꢱꢋ.

Ở tính chất (iii) ꢹ là một miền nào đó trong mặt ꢉꢺꢋ và tích phân

cho thể tích một hộp chữ nhật cong có đáy trên nằm trong mặt z =

ꢮ ꢉ, ꢋ , đáy dưới là miền ꢹ (thuộc mặt z = 0).

* Hàm mật độ biên

ꢮ (ꢉ) = ^ꢸꢳꢮ ꢉ, ꢋ ꢱꢋ, ꢮ (ꢋ) = ^ꢸꢳꢮ ꢉ, ꢋ ꢱꢉ.

ꢁ

ꢂ

ꢲꢳ

ꢵꢶ

Để ý ꢮ (ꢉ) = ^ꢦvà là mật độ của biến ꢀ, tương tự đối với ꢮ (ꢋ).

ꢁ

ꢂ

ꢵꢚ

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

ꢄ

* Thí dụ 4

X

. Tìm các hàm mật độ biên của biến = (ꢀ, ꢇ) có hàm

mật độ của ꢀ và ꢇ là

ꢮ(ꢉ, ꢋ) =

ꢁ

ꢧ

, ꢉ, ꢋ ∈ ℝ.

ꢧ

ꢻ (ꢁꢸꢚ )(ꢁꢸꢛ )

Giải. Từ công thức mật độ biên

ꢁ

ꢸꢳ

ꢮ (ꢉ) = ^ꢸꢳꢮ ꢉ, ꢋ ꢱꢋ =

ꢱꢋ =

.

ꢧ

1

ꢁ

ꢼ²(1+ꢉ²)(1+ꢋ²)

ꢲꢳ

ꢻ(ꢁꢸꢚ )

ꢁ

Do tính đối xứng ta có ꢮ (ꢋ) =

.

ꢂ

ꢧ

ꢻ(ꢁꢸꢛ )

* Khái niệm độc lập

Hai biến ngẫu nhiên ꢀ và ꢇ được coi là độc lập, nếu

ꢮ(ꢉ, ꢋ) = ꢮ (ꢉ)ꢮ (ꢋ).

ꢁ

ꢂ

* Hàm mật độ có điều kiện

ꢾ(ꢚ,ꢛ)

ꢽ ꢉ ꢋ =

=

.

ꣀꣁ

ꢾ (ꢛ)

ꢧ

ꢾ(ꢚ,ꢛ)ꢿꢚ

ꣂꣁ

Tương tự ꣃ ꢋ ꢉ hàm mật độ có điều kiện của ꢇ đối với X = ꢉ và

nó sẽ bằng ꢮ(ꢉ, ꢋ)/ ꢮ (ꢉ). Các mật độ có điều kiện có tính chất

ꢁ

như các mật độ không điều kiện.

* Thí dụ 5

. Cho hàm mật độ đồng thời của ꢀ và ꢇ

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

ꢉ + ꢋ, 0 ≤ ꢉ, ꢋ ≤ 1;

ꢮ(ꢉ, ꢋ) =

0, với ꢉ, ꢋ khác.

Xác định các hàm mật độ có điều kiện.

Giải. Để dùng được công thức định nghĩa, ta phải tính các hàm

mật độ biên ꢮ ꢉ , ꢮ (ꢋ):

ꢁ

ꢂ

ꢁ

ꢮ ꢉ = (ꢉ + ꢋ) ꢱꢋ = ꢉ + 0,5, 0 ≤ ꢉ ≤ 1;

ꢁ

ꢨ

tương tự ꢮ ꢋ = ꢋ + 0,5, 0 ≤ ꢋ ≤ 1. Từ đó với 0 ≤ ꢋ ≤ 1

ꢂ

ꢉ + ꢋ

ꢋ + 0,5

ꢾ ꢚ,ꢛ

, 0 ≤ ꢉ ≤ 1;

ꢽ ꢉ ꢋ =

=

ꢾ ꢛ

ꢧ

0, ꢉ ∉ 0, 1 ;

và với 0 ≤ ꢉ ≤ 1

ꢉ + ꢋ

ꢉ + 0,5

, 0 ≤ ꢋ ≤ 1

ꣃ ꢋ ꢉ =

0, ꢋ ∉ 0, 1 .

Để ý ꢽ ꢉ ꢋ là hàm của cả ꢉ và ꢋ. Ngoài ra

ꢮ(ꢉ, ꢋ) = ꢮ ꢉ ꣃ ꢋ ꢉ = ꢮ (ꢋ) ꢽ ꢉ ꢋ ;

ꢁ

ꢂ

và điều kiện ꢀ, ꢇ độc lập cho thấy

ꢽ ꢉ ꢋ = ꢮ ꢉ ; ꣃ ꢋ ꢉ = ꢮ (ꢋ).

ꢁ

ꢂ

Có thể viết công thức tổng quát hơn

꣄

ꢧ

ꢾ(ꢚ,ꢛ)ꢿꢛ

꣄

ꢦ

ꢽ ꢉ ꢋ_ꢁ≤ ꢇ ≤ ꢋ_ꢂ=

.

ꣀꣁ

ꣂꣁ

꣄

ꢧ

ꢿꢚ

ꢾ(ꢚ,ꢛ)ꢿꢛ

꣄

ꢦ

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Cuối cùng ta viết các công thức cho hàm phân phối có điều kiện

꣆

ꢾ(꣇,ꢛ)ꢿ꣇

ꣂꣁ

ꣅ ꢉ ꢋ =

;

ꣀꣁ

ꣂꣁ

ꢾ(ꢚ,ꢛ)ꢿꢚ

꣆

꣄

ꢧ

ꢿ꣇

ꢿꢚ

ꢾ(꣇,ꢛ)ꢿꢛ

ꢾ(ꢚ,ꢛ)ꢿꢛ

ꣂꣁ

ꣀꣁ

ꣂꣁ

꣄

ꢦ

ꣅ ꢉ ꢋ_ꢁ≤ ꢇ ≤ ꢋ_ꢂ=

.

꣄

ꢧ

꣄

ꢦ

* Thí dụ 6

. Lấy hàm mật độ của thí dụ 5, hãy tính các hàm mật độ

có điều kiện của ꢀ, biết a) ꢇ = 0,5; b) ꢇ ∈ [0,5; 0,75].

Giải. a) Trong trường hợp biết ꢇ = 0,5

ꢽ ꢉ ꢇ = 0,5 = ꢉ + 0,5, 0 ≤ ꢉ ≤ 1.

b) Trường hợp biết ꢇ ∈ [0,5; 0,75], với 0 ≤ ꢉ ≤ 1

꣈,꣉꣊

(ꢚ ꢸ ꢛ)ꢿꢛ

꣋ꢚ ꢸ ꢩ

꣌

꣈,꣊

ꢽ ꢉ 0,5 ≤ ꢇ ≤ 0,75 =

=

.

ꢦ

꣈

꣈,꣉꣊

ꢿꢚ

(ꢚ ꢸ ꢛ)ꢿꢛ

꣈,꣊

Để ý nếu X ∉ [0;1], cả hai mật độ có điều kiện đều bằng 0.

* Thí dụ 7

. Cho ꢀ, ꢇ có hàm mật độ đồng thời

3

1 − ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ, ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ ꣍^ꢂ;

ꢼ

ꢮ(ꢉ, ꢋ) =

0,

ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ> ꣍^ꢂ.

Tính P ꢀ^ꢂ+ ꢇ^ꢂ≤ 1/4 .

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Giải. Gọi ꢹ là mặt tròn ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ 1/4. Khi đó

ꢟ

P ꢀ^ꢂ+ ꢇ^ꢂ≤ 1/4 =

1 − ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂꢱꢉꢱꢋ

ꢹ

ꢻ

ꢟ

ꢂꢼ ꢁ/ꢂ

=

1 − ꣎ ꣎ꢱ꣎ꢱꢽ = 1/2.

ꢨ

ꢻ

ꢄ

* Thí dụ 8

X

. Cho biến 2 chiều = (ꢀ, ꢇ) có PP đều trên một mặt

tròn ꢹ: ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ ꣍^ꢂ. Tìm các hàm mật độ (đồng thời, biên, có

điều kiện).

Giải. Biến 2 chiều có PP đều trên ꢹ: ꢮ(ꢉ, ꢋ) = c, (ꢉ, ꢋ) ∈ ꢹ.

ꢁ

Từ đó

꣏

_ꢹꢱꢉꢱꢋ = 1 ⟹ ꣏ =

ꢧ

ꢻ꣐

1

₂, ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ ꣍^ꢂ;

và

ꢮ(ꢉ, ꢋ) =

ꢼ꣍

0, ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ> ꣍^ꢂ.

Do tính đối xứng, ta chỉ tìm ꢮ ꢋ và ꢽ ꢉ ꢋ :

ꢂ

ꢮ (ꢋ) = ^ꢸꢳꢮ ꢉ, ꢋ ꢱꢉ

ꢂ

ꢲꢳ

ꢧ

꣐ ꢲꢛ

1

_ꢧꢱꢉ , ꢋ ≤ ꣍;

ꢧ

2

ꢲ ꣐ ꢲꢛ

=

ꢼ꣍

0,

ꢋ > ꣍;

2

2 ꣍ −ꢋ

, ꢋ ≤ ꣍;

ꢋ > ꣍;

⟹ ꢮ (ꢋ) =

2

ꢂ

ꢼ꣍

0,

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

1

, ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ ꣍^ꢂ;

ꢾ(ꢚ,ꢛ)

2

2 ꣍ −ꢋ

ꢽ ꢉ ꢋ =

=

ꢾ (ꢛ)

ꢧ

0,

ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ> ꣍^ꢂ.

2

2 ꣍ −ꢉ

, ꢉ ≤ ꣍;

ꢉ > ꣍;

⟹

ꢮ (ꢉ) =

ꢁ

2

ꢼ꣍

0,

1

, ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ ꣍^ꢂ;

ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ> ꣍^ꢂ.

ꢾ(ꢚ,ꢛ)

=

2

ꣃ ꢋ ꢉ =

2 ꣍ −ꢉ

ꢾ (ꢚ)

ꢦ

0,

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

BÀI TẬP

1. Cho ꢀ và ꢇ là hai biến ngẫu nhiên độc lập có PPXS:

ꢉ

0

1

2

3

ꢋ

0

1

2

ꢓ(ꢉ) 0,3

0,1

0,4

0,2

ꢓ(ꢋ) 0,2

0,5

0,3

a) Tìm PPXS đồng thời của ꢀ và ꢇ.

b) Tính ꢍ(ꢀ > ꢇ).

2. Cho ꢀ và ꢇ có bảng PPXS đồng thời

ꢋ

1

2

3

ꢉ

1

2

0,12

0,28

0,15

0,35

0,03

0,07

a) ꢀ và ꢇ có độc lập không?

b)Tìm luật PPXS của ꢀ = ꢀꢇ, sau đó tính ꢁꢀ.

3. Hai biến ngẫu nhiên ꢀ và ꢇ có bảng PPXS đồng thời

ꢋ

1

2

3

ꢉ

1

2

3

0,20

ꢂ

0,05

0,20

0,00

3ꢂ

0,10

0,25

a) Xác định tham số ꢂ.

b) Lập các bảng phân phối biên.

c) Lập bảng PP có điều kiện ꢍ ꢀ = ꢉ ꢇ = 3 .

3. Bảng PPXS đồng thời của số lỗi vẽ màu ꢀ và số lỗi đúc ꢇ

của một loại sản phẩm nhựa ở một công ty được cho bởi

ꢋ

ꢉ

0

1

2

0

1

2

3

0,59

0,10

0,06

0,02

0,06

0,05

0,02

0,03

0,01

0,00

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Hai biến có độc lập không? Tính XS để tổng số lỗi vẽ màu

và lỗi đúc lớn hơn 4. Nếu ta biết trên sản phẩm có 2 lỗi vẽ

màu thì XS để không có lỗi đúc bằng bao nhiêu?

4. Cho luật PP của một biến 2 chiều như sau (ꢀ, ꢇ)

ꢋ

ꢉ

2

0,1

0,2

3

0

0,5

5

0,1

1

4

Tìm luật PPXS của các hàm ꢀ+ꢇ và ꢀꢇ, sau đó tính các kỳ

vọng và phương sai.

5. Hai máy tự động hoạt động độc lập, với XS để từng máy

sản xuất ra sản phẩm tốt tương ứng là ꢓ_ꢁvà ꢓ_ꢂ. Giả sử mỗi

máy làm được 2 sản phẩm và gọi ꢀ và ꢇ là số sản phẩm tốt

của các máy tương ứng. Tìm PPXS đồng thời của hai biến

ꢀ, ꢇ.

6. Biến ngẫu nhiên 2 chiều có hàm mật độ đồng thời

ꢮ(ꢉ, ꢋ) = ꢃ ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ, nếu ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ 4.

Tìm hệ số ꢃ, sau đó tìm các mật độ biên và mật độ có điều

kiện.

7. Cho hàm mật độ đồng thời của ꢀ và ꢇ

1

2

ꢚ^ꢧꢸꢂꢚꢛꢸꢩꢛ^ꢧ

ꢮ(ꢉ, ꢋ) = ꢃ ꢄ^ꢲ

.

Xác định hằng số ꢃ, sau đó tìm các mật độ biên và mật độ

có điều kiện.

8. Cho ꢀ và ꢇ là hai biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên

(0; 2). Tính XS đồng thời ꢍ ꢀꢇ ≤ 1, ꢇ ≤ 2ꢀ, ꢀ ≤ 2ꢇ .

9. Cho ꢀ và ꢇ là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng

thời ꢮ(ꢉ, ꢋ) = ꢃ 1 − ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ, nếu ꢉ^ꢂ+ ꢋ^ꢂ≤ 1. Xác

định ꢃ, sau đó tính ꢍ(ꢀ^ꢂ+ ꢇ^ꢂ≤ 1/4).

Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

10. Một điểm A rơi ngẫu nhiên vào một hình vuông ꢹ có độ

dài cạnh bằng 1 và giả sử (ꢀ, ꢇ) là toạ độ của A. Biết rằng

hàm mật độ độ đồng thời của ꢀ và ꢇ là ꢮ(ꢉ, ꢋ) = 1, nếu

(ꢉ, ꢋ) ∈ ꢹ. Tính XS để khoảng cách từ A đến cạnh gần nhất

của hình vuông không vượt quá 0,3.

11. Lấy ngẫu nhiên một điểm trong tam giác 3 đỉnh O(0,0),

A(0,1) và B(4,0). Gọi ꢀ và ꢇ là toạ độ của điểm đó.

a) Tìm hàm mật độ đồng thời của ꢀ và ꢇ.

b) Tìm các mật độ biên.

c) ꢀ và ꢇ có độc lập không?

12. A và B đến cửa hàng cùng một thời điểm. Giả sử thời

gian mua hàng của A có phân phối đều trong (10;20) và

thời gian mua hàng của B có phân phối đều trong (15;25).

Tính XS để A kết thúc mua trước B.

Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 3 - Bài 1: Luật phương pháp xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều - Tống Đình Quỳ