Giáo trình Toán cao cấp A4 (Phần 2) - Nguyễn Đức Trung
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
NĂM HỌC: 2016 -2017
TRANG CHỦ:
1
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
LỜI NÓI ĐẦU
CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP
TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2016 - 2017
Chúc mừng các bạn đã bước vào một ngưỡng cửa mới của cuộc đời. Việc đỗ
Đại học mở ra cho các em một trang mới với đầy cơ hội nhưng không kém thách
thức. Thách thức không chỉ ở việc học xa nhà hoặc ở môi trường mà cơ hội tiếp
xúc để hỏi đáp với Giảng viên rất hạn chế trên những giảng đường lớn hàng trăm
Sinh viên mà ở khối lượng kiến thức đồ xộ.
Tại bậc học Đại học, một môn học được chia ra làm các phân môn (hay còn
gọi là học phần). Các học phần có tính độc lập tương đối về nội dung kiến thức nên
được tổ chức học và đánh giá kết quả học tập độc lập hoàn.
Bài tập hoàn toàn được tập trung dồn vào cuối chương hoặc chuyên đề chứ
không theo bài (các buổi học). Các bài tập cũng được giải theo tính chủ động học
tập của Sinh viên. Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học ở bậc Đại học
nên kết quả học tập các môn học Đại cương thường thấp hơn những môn học
chuyên ngành ở năm thứ 3, thứ 4 (hoặc thứ 5).
Tuy nhiên, chương trình giảng dạy Toán Cao Cấp tại Moon.vn vấn thiết kế
bài tập tại cuối các bài học lý thuyết (qua Video theo truyền thống ở Moon.vn) và
cuối các chương (Phần luyện tập chuyên đề). Cũng nhằm để làm quen với cách học
ở Đại học, một số video bài tập được đưa ra với mục đích hướng dẫn các em cách
làm bài tập và trình bầy ở bậc Đại học.
Thầy thiết kế chương trình với lịch phát sóng sớm để các em có cơ hội tiếp
cận sớm với kiến và kỹ năng làm bài tập tốt. Hy vọng với sự chuẩn bị sớm và tốt,
các em sẽ thành đạt bởi theo kinh nghiệm: 95% thành công do việc chuẩn bị.
2
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Để các bạn Sinh viên tiện theo dõi chương trình học, Thầy thiết kế chương
trình đào tạo được đánh mã số chi tiết theo các phân đoạn đơn vị kiến thức tuần tự
để các em dễ dàng theo dõi. Các em có thể vào đường link sau để biết rõ về toàn bộ
chương trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7
Tại bậc Phổ thông, các em học một chương trình Toán duy nhất còn đối với
Toán Cao Cấp thì sự khác biệt rất lớn được thể hiện ở từng Trường, thâm chí từng
khối ngành học trong Trường.
Đối với các khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sư phạm, KHTN), Công nghệ,
chương trình Toán Cao Cấp được học là Toán A gồm có 4 học phần riêng
o Toán A1: Đại số tuyến tính
o Toán A2: Giải tích 1
o Toán A3: Giải tích 2
o Toán A4: Giải tích 3
Đối với các khối ngành Nông – Lâm – Y – Dược, chương trình Toán Cao
Cấp được học là Toán B gồm có 2 học phần riêng biệt với đường link chính
o Toán B1: Đại số tuyến tính
o Toán B2: Giải tích
Đối với các khối ngành Kinh tế, Thương mại, Tài chính, Ngân hàng, Luật
hoặc Quản trị kinh doan ... chương trình Toán Cao Cấp được học là Toán C
gồm có 2 học phần riêng biệt với đường link chính cho Toán C
o Toán C1: Đại số tuyến tính
o Toán C2: Giải tích
Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đã được bố trí với các nội dung chi tiết cho
từng khối ngành thông qua hệ thống video bài giảng cùng giáo trình đầy đủ cũng
như các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài tập cho cả Toán
A, Toán B và Toán C. Đi kèm lý thuyết cơ bản là một kho dữ liệu khổng bài tập
được tổng hợp từ các Đề thi giữa và cuối Học kỳ các năm gần đây của các khối
ngành:
3
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Toán A1, A2, A3 và A4: hơn 3500 bài tập
Toán B1 và B2: gần 2000 bài tập
Toán C1 và C2: gần 2000 bài tập
Các bài tập trọng yếu được quay Video đi kèm lời giải giúp các em ôn tập dễ
dàng, tiếp cận phương pháp giải nhanh chóng và chính xác.
Thầy và đội ngũ các Supper Mods (cũng đều là các Giảng viên dạy Đại học) rất
vui được trao đổi trên diễn đàn Toán cao cấp tại Moon.VN trên Facebook với
Các em cũng có thể thắc trực tiếp với thầy tại trang Facebook cá nhân với
Chúc các em nhanh chóng thu lượm được những kiến thức, hoàn thiện kỹ năng
và vận dụng sáng tạo !
4
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
MỤC LỤC
Chương 1: Hàm số nhiều biến ...................................................................................9
§1. Tổng quan hàm số nhiều biến..............................................................................9
1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến.............................................................................9
1.1.1. Định nghĩa :..............................................................................................9
1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số....................................................................10
1.3. Tính liên tục của hàm số hai biến số :...........................................................10
1.3.1. Khái niệm:..............................................................................................10
1.3.2. Chú ý:.....................................................................................................11
§2. Đạo hàm riêng....................................................................................................12
2.1. Đạo hàm riêng:..............................................................................................12
2.1.1. Định nghĩa:.............................................................................................12
2.2. Đạo hàm riêng cấp cao:.................................................................................13
2.2.1 Định nghĩa :.............................................................................................13
2.2.2 Định lý : ..................................................................................................14
§3: Vi phân toàn phần và vi phân cấp hai................................................................19
3.1 Đinh nghĩa :....................................................................................................19
3.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến :.....................................................19
5
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
3.5.1. Đường cong trong không gian. ..............................................................20
3.5.2. Phương trình của tiếp tuyến...................................................................21
3.5.3. Pháp diện của đường cong :...................................................................21
4.1. Đạo hàm của hàm số hợp..............................................................................24
4.1.1. Định nghĩa:.............................................................................................24
4.1.2. Định nghĩa 2:..........................................................................................24
4.2. Đạo hàm của hàm số ẩn ................................................................................24
4.2.1. Định nghĩa hàm ẩn:................................................................................25
4.2.2. Đạo hàm của hàm ẩn..............................................................................25
§5. Cực trị.................................................................................................................30
5.1. Cực trị tự do của hàm số hai biến số:............................................................30
5.1.1. Định nghĩa..............................................................................................30
5.1.2. Điều kiện cần của cực trị .......................................................................30
5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị :.......................................................................30
5.2. Cực trị có điều kiện:......................................................................................31
5.2.1. Khái niệm:..............................................................................................31
5.2.2. Định lý: ..................................................................................................31
nội.........................................................................................................................32
Chương 2: Tích phân bội .........................................................................................34
1.1. Phép đổi biến số trong tích phân kép............................................................34
1.1.1. Phép đổi biến số tổng quát.....................................................................34
6
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
1.1.2. Phép đổi biến số trong tọa độ cực..........................................................37
§2. Tích phân bội ba................................................................................................45
2.1. Định nghĩa và tính chất.................................................................................45
§3. Các ứng dụng của tích phân bội.........................................................................62
3.1. Tính diện tích hình phẳng ............................................................................62
3.2. Tính thể tích vật thể .....................................................................................68
Chương 3: Tích phân đường....................................................................................75
§1. Tích phân đường loại I.......................................................................................75
1.1. Định nghĩa....................................................................................................75
§2. Tích phân đường loại II......................................................................................78
2.1. Định nghĩa.....................................................................................................78
2.2. Các công thức tính tích phân đường loại II ..................................................78
2.3. Công thức Green...........................................................................................82
2.4. Ứng dụng của tích phân đường loại II..........................................................88
Chương 4:Tích phân mặt .........................................................................................92
§1. Tích phân mặt loại I ...........................................................................................92
1.1. Định nghĩa...................................................................................................92
1.2 Các công thức tính tích phân mặt loại I.........................................................92
2. Tích phân mặt loại II............................................................................................95
2.1. Định hướng mặt cong ...................................................................................95
7
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
2.2. Định nghĩa tích phân mặt loại II...................................................................95
2.3. Các công thức tính tích phân mặt loại II.......................................................95
2.4. Công thức Ostrogradsky, Stokes...................................................................98
Chương 5: Lý thuyết trường ..................................................................................105
§1. Trường vô hướng .............................................................................................105
1.1. Định nghĩa...................................................................................................105
1.2. Đạo hàm theo hướng...................................................................................105
§2. Trường vecto....................................................................................................110
2.1 Định nghĩa....................................................................................................110
2.2. Thông lượng, dive, trường ống...................................................................110
2.3. Hoàn lưu, vecto xoáy. .................................................................................110
2.4 Trường thế - hàm thế vị ...............................................................................111
8
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Chƣơng 1: Hàm số nhiều biến
§1. Tổng quan hàm số nhiều biến
1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến
1.1.1. Định nghĩa :
Cho D R2 , ánh xạ f : D R được gọi là hàm số hai biến số.
Kí hiệu là :
f : D R
x, y Z f x, y
D là miền xác định của f ; x,y là hai biến số độc lập.
f D z f x, y / x, y D gọi là miền giá trị của hàm f
Hàm số n biến f x ,x ,...,x được định nghĩa tương tự.
n
1
2
Miền xác định :
Cho hàm số Z f x, y , miền xác định của hàm f là tập hợp các cặp x, y
sao cho f x, y có nghĩa. Ký hiệu là D.
D được gọi là liên thông trong R2 nếu với M1,M2 bất kỳ thuộc D luôn có
thể nối với nhau bởi đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D
D được gọi là mở nếu những điểm biên L của D không thuộc D
D được gọi là đóng nếu mọi điểm biên L của D đều thuộc D
D được gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau
từng đôi một.
1.1.2. Biểu diễn hình học của hàm hai biến số.
Giả sử Z f x, y xác định trong miền D của mặt phẳng xOy
9
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
MP // OZ và MP f x, y Z
Khi M biến thiên trong D thì P biến thiên trong R3 và
sinh ra mặt S, S gọi là đồ thị của hàm Z f x, y và
Z f x, y còn gọi là phương trình của mặt S.
Mỗi đường thẳng song song với trục OZ cắt mặt S
không quá một điểm.
1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số
Định nghĩa :
Cho hàm số f M f x, y , xác định trong miền D chứa điểm M x , y
0
0
0
, có thể trừ điểm M0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f x, y khi điểm M x, y
dần tới điểm M x , y nếu với mọi dãy M x , y thuộc D dần tới M0 ta đều có
0 0 n n
0
n
lim f x , y L
n
n
n
Kí hiệu :
lim f x, y L
0
x,y x ,y
0
hay :
lim f M L
M M0
1.3. Tính liên tục của hàm số hai biến số :
1.3.1. Khái niệm:
Cho hàm số f M f x, y , xác định trong miền D, M x , y là một
0 0
0
điểm thuộc D. Ta nói hàm số f x, y liên tục tại M0 nếu tồn tại :
lim f x, y
x,y x ,y
0
0
và
lim f x, y f x , y
0
0
x,y x ,y
0
0
Hàm số f x, y gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
D.
10
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
1.3.2. Chú ý:
Đặt x x0 x
;
y y0 y ta có :
y
f x, y f x ; y và f f x ; y f x , y
0
y
0
x
0
0
x
0
0
Có thể phát biểu: Hàm số f x, y liên tục tại M x , y nếu :
0 0
0
lim f 0
, 0,0
y
x
Ví dụ 1.1: Tìm giới hạn ( nếu có ) của hàm số sau
Lời giải:
11
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
§2. Đạo hàm riêng.
2.1. Đạo hàm riêng:
2.1.1. Định nghĩa:
Cho hàm số z f x, y xác định trong miền D, điểm M x , y D . Nếu
0
0
0
cho y y0 , với y0 là hằng số, mà hàm số một biến số x f x, y có đạo hàm
0
tại x x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng đối với x của hàm số f x, y
tại x , y
0
.
0
f
x
z
x
Ký hiệu : f ' x , y hay
x 0
x , y hay
0
x , y
0
0
0
0
f x x, y f x , y
0
0
0
0
Nghĩa là : f ' x , y lim
x 0
0
x0
x
Tƣơng tự : Đạo hàm riêng đối với y của hàm số f x, y tại x , y , kí
0
0
hiệu:
f x , y y f x , y
0
0
0
0
f ' x , y lim
y 0
0
y0
y
Chú ý :
Đạo hàm riêng của hàm số n biến độc lập ( n > 2) định nghĩa tương tự.
Khi tính đạo hàm riêng của một biến nào đó xem biến còn lại như một
hằng số.
2.1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng:
Gọi S là đồ thị của hàm số z f x, y
.
C1 là giao tuyến của S với mặt phẳng y y0
.
T
là tiếp tuyến của giao tuyến C1 của mặt phẳng S với mặt phẳng y y0 tại
1
điểm P x , y ,z
0
.
0
0
12
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
(
C1 là đồ thị của hàm 1 biến số y f x, y trên mặt phẳng y y0
0
)
T2 là tiếp tuyến của giao tuyến C2 của mặt phẳng S với mặt phẳng x x0
f ' x , y = Hệ số góc của tiếp tuyến
x 0
T
của C1 tại P x , y ,z với
0
0
1
0
0
z f x , y
0
.
0
0
f ' x , y = Hệ số góc của tiếp tuyến T2 của C2 tại P x , y ,z với
y 0
0
0
0
0
z f x , y
0
.
0
0
2.2. Đạo hàm riêng cấp cao:
2.2.1 Định nghĩa :
Cho hàm số z f x, y . Các đạo hàm f 'x , f 'y là những đạo hàm riêng cấp một.
Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng cấp hai.
Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp hai gọi là đạo hàm riêng cấp ba,....
Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai như sau :
f
2 f
x2
f // x, y
x2
x x
f
2 f
xy
f // x, y
yx
x y
f
2 f
yx
f // x, y
xy
y x
f
2 f
y2
fy/2/ x, y
y y
13
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
2.2.2 Định lý :
Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M x , y hàm số z f x, y
0
0
0
//
//
//
//
có các đạo hàm riêng f , f và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M0 thì f f
xy
yx
xy
yx
tại M0
.
Ví dụ 2.1: Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau
Lời giải:
14
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Ví dụ 2.2: Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của đạo hàm riêng của các
hàm số f x, y sau :
15
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Lời giải:
16
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Ví dụ 2.3:
Lời giải:
Ví dụ 2.4:
17
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Lời giải:
18
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
§3: Vi phân toàn phần và vi phân cấp hai
3.1 Đinh nghĩa :
Cho hàm số z f x, y xác định trong miền D R2
,
M x , y và
0 0
0
M x ; y là hai điểm thuộc D.
y
0
x
0
Nếu số gia f x , y f x ; y f x , y có thể biểu diễn dưới dạng
0 0
y
0
0
x
0
0
f x , y A By thì ta nói hàm số f x, y khả vi tại
0
0
x
x
y
M x , y , biểu thức Ax By gọi là vi phân toàn phần của hàm số f x, y tại
0 0
0
x , y ứng với các số gia x ,y và được ký hiệu là df x , y hay dz.
0 0
0
0
Hàm số f x, y gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền
ấy.
Chú ý :
Nếu f x, y khả vi tại x , y thì tồn tại các đạo hàm riêng
0
.
0
f ' x , y , f ' x , y
x 0 y 0
0
0
Khác với hàm số một biến , nếu hàm số hai biến f x, y có các đạo hàm
riêng f ' x , y , f ' x , y thì chưa chắc nó đã khả vi tại x , y
x 0 y 0
0
.
0
0
0
3.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến :
Định lý :
Nếu hàm số z f x, y có các đạo hàm riêng trong một miền D, chứa điểm
M x , y và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì hàm số f x, y khả vi
0 0
0
tại M0 , vi phân toàn phần của f x, y tại M0 được tính theo công thức :
df x , y f ' x , y f ' x , y
0 x 0 y 0
0
0
x
0
y
Chú ý : Ta có x dx;y dy do đó :
df x , y f ' x , y dx f ' x , y dy
0 x 0 y 0
0
0
0
19
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
3.3. Ứng dụng của vi phân toàn phần vào tính gần đúng:
Khi x ,y khá nhỏ, ta có thể xem f x , y xấp xỉ bằng df x , y tức là:
0
0
0
0
f x , y f ' x , y f ' x , y hay
0 x 0 y 0
0
0
x
0
y
f x ; y f x , y f ' x , y f ' x , y
0 x 0 y 0
.
y
y
0
x
0
0
0
x
0
3.4. Điều kiện để biểu thức P x, y dx Q x, y dy là một vi phân toàn phần:
Định lý:
Giả sử các hàm số P x, y ,Q x, y có các đạo hàm riêng liên tục trong một
miền D nào đó. Biểu thức P x, y dx Q x, y dy là một vi phân toàn phần khi và
chỉ khi :
P Q
; x, y D
y x
3.5. Phƣơng trình của tiếp tuyến, pháp diện của đƣờng cong tại một điểm.
3.5.1. Đường cong trong không gian.
Cho I R,tI , Ánh xạ cho tương ứng mỗi
số thực t với một vecto trong R3 duy nhất r t gọi là
một hàm vecto. Nếu x t , y t ,z t là ba thành phần
của vecto r t thì ta viết :
r t x t , y t ,z t
hay r t x t i y t j z t k
.
Đặt OM r t , điểm M có tọa độ là x t , y t ,z t .Giả sử các hàm số
x t , y t ,z t liên tục trên I.
20
Tải về để xem bản đầy đủ
113 trang
27/04/2022
8240
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp A4 (Phần 2) - Nguyễn Đức Trung", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_cao_cap_a4_phan_2_nguyen_duc_trung.pdf
Bài tập tích phân bội ba.rar- Bài tập tích phân đường (L1+L2).rar
- BT Tích phân kép (Bội 2).rar
