Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 8 - Trần Quang Việt
404001 - Tín hiꢀu và hꢀ thꢁng
Lecture-8
Biꢀu diꢁn tín hiꢂu bꢃng chuꢄi Fourier
ꢀ Biꢂu diꢃn tín hiꢀu bꢄng tꢅp tín hiꢀu trꢆc giao
ꢀ Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Chuꢇi Fourier hàm mũ phꢉc
ꢀ ðáp ꢉng cꢊa hꢀ thꢁng LTIC vꢋi tín hiꢀu tuꢌn hoàn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biꢂu diꢃn tín hiꢀu bꢄng tꢅp tín hiꢀu trꢆc giao
ꢀ Biꢀu diꢁn tín hiꢂu dꢃa vào không gian tín hiꢂu trꢃc giao:
N
f (t) ≃ c x (t) + c x (t) +...+ c x (t) = c x (t)
∑
1
1
2
2
N
N
n n
n=1
N
e(t) = f (t) − c x (t)
∑
ꢁ Sai sꢄ:
n
n
n=1
ꢁ Tìm cn thꢀa ñiꢁu kiꢂn năng lưꢃng sai sꢄ ꢂ min:
t2
t2
1
1
cn =
f (t)xn (t)dt
cn =
f (t)xn* (t)dt
t1
Thꢍc:
Phꢎc:
∫
∫
N
t1
En
En
E = E − c2E
n=1
ꢁ Năng lưꢃng cꢅa thành phꢆn sai sꢄ min:
∑
e
f
n
n
ꢁ Năng lưꢃng cꢅa thành phꢆn sai sꢄ ꢂ 0 nꢇu N ꢂ ∞ ꢂ tꢈp cơ sꢉ
ꢁ Khi N ꢂ ∞, ta có: lưu ý dꢊu “=” ñúng vꢁ mꢋt năng lưꢃng
∞
f (t) = c x (t); t ≤ t ≤ t
2
Chuꢌi Fourier
∑
n
n
1
n=1
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Xét tꢄp tín hiꢂu lưꢅng giác sau:
{1, cos(ω0t), cos(2ω0t),..., cos(nω0t),....; sin(ω0t), sin(2ω0t),..., sin(nω0t),...}
ꢁ n: sꢄ nguyên dương
ꢁ nω0 : thành phꢆn tꢆn sꢄ thꢎ n ꢐ hài thꢎ n
ꢁ T0=2π/ω0 : chu kỳ cꢅa hài cơ bꢏn
ꢁ Trong khoꢏng thꢑi gian: t1<t<t1+T0
t1+T0
t1+T0
cos(nω0t)dt = 0
sin(nω0t)dt = 0
dt = T0
∫
∫
∫
t1
t1+T0
t1
t1+T0
cos2 (nω0t)dt = T0 / 2
∫
t1
t1
t1+T0
t1+T0
sin2 (nω0t)dt = T0 / 2
sin(nω0t)cos(mω0t)dt = 0
∫
t1
∫
t1
ꢁ Vꢈy tꢈp tín hiꢂu lưꢃng giác trên là tꢈp tín hiꢂu cơ sꢉ trꢍc giao
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Biꢀu diꢁn f(t) trong không gian tín hiꢂu lưꢅng giác:
∞
∞
f (t) = a + a cos(nω t) + b sin(nω t); t ≤ t ≤ t +T
∑
∑
0
n
0
n
0
1
1
0
n=1
n=1
t1+T0
f (t)dt
t1+T0
1
∫
t1
a0 =
f (t)dt
⇒
a0 =
an =
bn =
∫
∫
t1+T0
t1
T0
12 dt
∫
t1
t1+T0
f (t)cos(nω0t)dt
t1+T0
∫
∫
2
t1
an =
f (t)cos(nω0t)dt
f (t)sin(nω0t)dt
⇒
⇒
t1+T0
t1
cos2 (nω0t)dt
T0
∫
t1
t1+T0
f (t)sin(nω0t)dt
t1+T0
2
t1
bn =
∫
t1+T0
t1
sin2 (nω0t)dt
T0
∫
t1
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Kꢆt hꢅp các thành phꢇn sin và cosin ta có dꢈng rút gꢉn:
∞
f (t) = C + C cos(nω t +θ ); t ≤ t ≤ t +T
∑
0
n
0
n
1
1
0
n=1
C0 = a0
−b
θn = tan−1
n
Cn = an2 +bn2
an
t1+T0
1
a0 =
bn =
an =
f (t)dt
∫
∫
∫
t1
T0
t1+T0
2
f (t)sin(nω0t)dt
f (t)cos(nω0t)dt
t1
T0
t1+T0
t1
2
T0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Ví dꢊ:
Tìm chuꢌi Fourier cꢅa f(t)=eꢐt/2 trong khoꢏng 0≤t≤π
ω0 = 2π /T0 = 2
π
1
π
2
a0 =
an =
bn =
e−t /2dt =0,504
∫
0
C0 = a0 = 0,504
π
2
e−t / 2 cos(2nt)dt =0,504
π
2
1+16n2
∫
2
0
C = 0,504
n
1+16n2
π
8n
1+16n2
e−t /2 sin(2nt)dt =0,504
θn = −tan−1 4n
∫
0
π
∞
2
f (t) = 0.504 1+
cos2nt + 4n.sin2nt ; 0 ≤ t ≤ π
)
(
∑
n=1 1+16n2
∞
2
f (t) = 0.504 1+
cos(2nt − tan−1 4n) ; 0 ≤ t ≤ π
∑
1+16n2
n=1
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Tính tuꢇn hoàn cꢋa chuꢌi Fourier lưꢅng giác:
ꢁ Chuꢌi Fourier ϕ(t) cho f(t) chꢒ ñúng trong khoꢏng t1≤t≤t1+T0
ꢁ Ngoài khoꢏng t1≤t≤t1+T0? ϕ(t)≠f(t) !!!
∞
ϕ(t) = C + C cos(nω t +θ ); for all t
∑
0
n
0
n
n=1
ϕ(t) biꢓu diꢔn cho tin hiꢂu tuꢆn hoàn?
⇒ ϕ(t −T0 ) = ϕ(t); for all t
ꢁ Vꢈy nꢇu ϕ(t); t1≤t≤t1+T0 biꢓu diꢔn cho f(t); t1≤t≤t1+T0 ꢂ ϕ(t) biꢓu diꢔn
cho tín hiꢂu tuꢆn hoàn do lꢈp lꢕi phꢆn cꢅa f(t); t1≤t≤t1+T0 vꢖi chu kỳ T0.
ꢁ Ví dꢗ:
ꢁ Kꢇt luꢈn: chuꢌi Fourier chꢒ biꢓu diꢔn cho TH tuꢆn hoàn!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Chuꢌi Fourier lưꢅng giác cꢋa tín hiꢂu tuꢇn hoàn:
∞
∞
f (t) = a + a cos(nω t) + b sin(nω t)
∑
n=1
∞
∑
0
n
0
n
0
Phương
trình tꢍng
hꢈp
n=1
f (t) = C + C cos(nω t +θ )
∑
0
n
0
n
n=1
1
T0
2
a0 =
an =
bn =
f (t)dt
∫
C0 = a0
T0
Phương
trình
phân
tích
Cn = an2 + bn2
f (t)cos(nω0t)dt
f (t)sin(nω0t)dt
∫
T0
T0
−b
θn = tan−1
n
2
an
∫
T0
T0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Ví dꢊ 1:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ Ví dꢊ 2:
0
(n even)
8A/ n2π 2 (n even)
(n even)
C =
n
0
θ = −π / 2 (n =1,5,9,13,..)
n
π / 2 (n=3,7,11,...)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier lưꢈng giác
ꢀ ðiꢍu kiꢂn tꢎn tꢈi chuꢌi Fourier:
(Dirichlet condition)
f (t) dt < ∞
Nꢀu
∫
T0
ꢂ Tꢘn tꢕi {Cn} hꢙu hꢕn ꢂ năng lưꢃng sai sꢄ Ee ꢂ 0 khi Nꢂ ∞
ꢁ Lưu ý f(t) và ϕ(t) không bꢚng nhau tꢕi mꢛi t
ꢁ Ví dꢗ: Hiꢂn tưꢃng Gibbs khi tꢜng hꢃp tín hiꢂu không liên tꢗc
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier hàm mũ phꢉc
ꢀ Tꢄp tín hiꢂu hàm mũ phꢏc trꢃc giao:
ejnω t ;n = 0, 1, 2,....
0
;ω = 2π /T
0
0
ꢀ Chuꢌi Fourier hàm mũ phꢏc:
∞
Phương
trình tꢍng
hꢈp
D ejnω t
n
0
f (t) =
∑
n=−∞
*
1
Dn =
Dn =
f (t) e jnω t dt
0
∫
T0
En
Phương
trình
phân tích
1
f (t)e− jnω tdt
0
⇒
∫
T0
T0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier hàm mũ phꢉc
ꢀ Ví dꢊ:
f (t)
T0 = 1 → ω0 = 2π
0
1/ 2
1
1
2
Dn =
f (t)e− jnω t dt = −
e
− j 2π nt dt +
e
− j 2π nt dt
0
∫
∫
∫
T0
−1/ 2
0
2
1
⇔ Dn =
(2 − e jπ n − e− jπ n
)
j4π n
+∞
1
1/ jπ n (n is odd )
e j 2π nt
⇒ f (t) =
⇔ D =
∑
n
jπ n
n =−∞
n odd
0
(otherwise)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier hàm mũ phꢉc
ꢀ Mꢐi liên hꢂ giꢑa chuꢌi Fourier hàm mũ phꢏc & chuꢌi Fourier
lưꢅng giác:
Cn
j(nω t+θ ) + e− j(nω t+θ )
0
n
0
n
Cn cos(nω0t +θn )
=
e
2
C
C
n ejθn ejnω t
+
n e− jθn e− jnω t
0
0
=
2
2
D−n
Dn
∞
Dꢈng hàm mũ &
lưꢅng giác là tương
ñương ꢂ thưꢒng
dùng hàm mũ
f (t) = C + C cos(nω t +θ )
∑
0
n
0
n
n=1
∞
∞
D ejnω t
f (t) = D +
D ejnω t + D−ne− jnω t
0
0
0
=
(
)
∑
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
∑
n
0
n
n=−∞
n=1
Chuꢇi Fourier hàm mũ phꢉc
ꢀ Mꢐi liên hꢂ giꢑa chuꢌi Fourier hàm mũ phꢏc & chuꢌi Fourier
lưꢅng giác:
Lưꢈng giác
D0 = C0
Cn
Dn =
ejθn
2
Cn
D−n =
e− jθn
Hàm mũ phꢉc
2
n =1,2,3,...
ꢀ Phꢓ Fourier:
ꢁ Phꢜ biên ñꢝ: D0 = C0;
1
Dn = D−n = Cn
(chꢔn)
(lꢕ)
2
ꢁ Phꢜ pha: ∠Dn =θn ;∠D−n = −θn ;
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuꢇi Fourier hàm mũ phꢉc
ꢀ ðꢖnh lý Parseval :
∞
∞
1
2
Pf = C02 +
C2
f (t) = C + C cos(nω t +θ )
∑
∑
n
0
n
0
n
n=1
n=1
∞
∞
∞
2
2
= D2 + 2
D
f (t) =
D ejnω t
0
P =
D
∑
∑
f
n
0
n
∑
n
n=−∞
n=1
n=−∞
ꢃ Công suꢊt cꢅa tín hiꢂu tuꢆn hoàn bꢚng tꢜng công suꢊt cꢅa tꢊt cꢏ các hài
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ꢉng cꢊa hꢀ thꢁng LITC vꢋi tín hiꢀu tuꢌn hoàn
ꢀ ðáp ꢏng cꢋa hꢂ thꢐng LTIC vꢗi tín hiꢂu tuꢇn hoàn :
∞
2π
0
D ejnω t ; ω0 =
Hàm truyꢁn làm:
f (t) =
∑
n
T0
n=−∞
ꢁ Tăng hoꢂc giꢃm Bð
ꢁ Thay ñꢄi pha
(LTI)
ejωt → H( jω)ejωt
Hàm truyꢁn
không tꢅo tꢆn sꢇ
mꢈi!!!
input
Output
∞
∞
D ejnω t
→
D H( jnω )ejnω t
n 0
0
0
Xem HT LTIC như
là bꢎ lꢏc (Filter)
∑
∑
n
n=−∞
n=−∞
Tuꢇn hoàn
cùng chu kỳ
vꢗi f(t)
Output y(t)
Input f(t)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ꢉng cꢊa hꢀ thꢁng LITC vꢋi tín hiꢀu tuꢌn hoàn
ꢀ Ví dꢊ :
i(t)
vi(t)
vi (t) = Ri(t) + v0 (t)
dv0 (t)
vi (t) = RC
+ v0 (t)
⇒
⇒
dt
dvo (t)
i(t) = C
dt
dv0 (t)
1
1
1
+
v0 (t) =
vi (t) ;ωc =
dt
RC
RC
ωc
RC
P(s)
⇒ (D +ωc )v0 (t) = ωcvi (t) ⇒ H(s) =
=
Q(s) s +ωc
+∞
1
ωc
vi (t) =
e j 2π nt
∑
H ( jω) =
jπ n
n= −∞
n odd
jω +ωc
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ꢉng cꢊa hꢀ thꢁng LITC vꢋi tín hiꢀu tuꢌn hoàn
ꢀ Ví dꢊ :
Vi ( jω)
ω /ωc
ω /ωc
∠Vi ( jω)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ꢉng cꢊa hꢀ thꢁng LITC vꢋi tín hiꢀu tuꢌn hoàn
ω <<ω
0
c
ω /ωc
ω /ωc
ω <ω
0
c
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðáp ꢉng cꢊa hꢀ thꢁng LITC vꢋi tín hiꢀu tuꢌn hoàn
ω =ω
0
c
ω /ωc
ω /ωc
ω >ω
0
c
ω /ωc
ω /ωc
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
11 trang
29/04/2022
5480
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 8 - Trần Quang Việt", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_bai_8_tran_quang_viet.pdf
