Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 11 - Trần Quang Việt
404001 - Tín hiꢀu và hꢀ thꢁng
Lecture-11
Phân tích tín hiꢀu liên tꢁc dùng biꢂn
ñꢃi Laplace
ꢀ Biꢂn ñꢃi Laplace và các tính chꢄt
ꢀ Hàm truyꢀn và ñáp ꢁng cꢂa hꢃ thꢄng LTIC
ꢀ Sơ ñꢅ khꢄi và thꢆc hiꢃn hꢃ thꢄng
ꢀ ꢇng dꢈng trong hꢅi tiꢉp và ñiꢀu khiꢊn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biꢂn ñꢃi Laplace và các tính chꢄt
ꢀ Biꢀn ñꢁi Laplace
ꢀ Biꢀn ñꢁi Laplace cꢄa mꢅt sꢆ tín hiꢇu thông dꢈng
ꢀ Các tính chꢉt cꢄa biꢀn ñꢁi Laplace
ꢀ Tìm biꢀn ñꢁi Laplace thuꢂn
ꢀ Tìm biꢀn ñꢁi Laplace ngưꢃc
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
1
Biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Biꢀn ñꢁi Fourier cho phép phân tích tín hiꢇu thành tꢁng cꢄa các
thành phꢊn tꢊn sꢆ ꢁ phân tích hꢇ thꢆng ñơn giꢋn & trꢌc quan hơn
trong miꢍn tꢊn sꢆ.
ꢀ Biꢀn ñꢁi Fourier là công cꢈ chꢄ yꢀu ñꢎ phân tích TH & HT trong
nhiꢍu lĩnh vꢌc (viꢏn thông, xꢐ lý ꢋnh, …)
ꢀ Muꢆn áp dꢈng biꢀn ñꢁi Fourier thì tín hiꢇu phꢋi suy giꢋm & HT
vꢑi ñáp ꢒng xung h(t) phꢋi ꢁn ñꢓnh.
∞
∞
| f (t) | dt < ∞ &
| h(t) | dt < ∞
−∞
∫
∫
−∞
ꢀ ðꢎ phân tích tín hiꢇu tăng theo thꢔi gian (dân sꢆ, GDP,…) và hꢇ
thꢆng không ꢁn ñꢓnh ꢁ dùng biꢀn ñꢁi Laplace (là dꢕng tꢁng quát
cꢄa biꢀn ñꢁi Fourier)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Xét tín hiꢇu f(t) là hàm tăng theo thꢔi gian ꢁ tꢕo hàm mꢑi φ(t) tꢖ
f(t) sao cho tꢗn tꢕi biꢀn ñꢁi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R
ꢀ Biꢀn ñꢁi Fourier cꢄa φ(t) ñưꢃc tính như sau:
∞
∞
f (t)e−(σ + jω)tdt
Φ ω = F[φ(t)] =
( )
f (t)e−σte− jωt dt
=
∫
−∞
Φ(ω) =
∫
−∞
= F(s)
∞
f (t)e−st dt
ðꢘt s=σ+jω:
∫
−∞
f (t) =φ(t).eσt
ꢀ Tín hiꢇu f(t) ñưꢃc tꢁng hꢃp như sau:
∞
−1
σt
jωt
σt
1
2π
F(s)e dω .e
⇒ f (t) = F [Φ(ω)].e =
∫
−∞
σ + j∞
⇒ f (t) = 2π j
F(s)est ds
1
∫
σ − j∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
2
Biꢂn ñꢃi Laplace
φ(t) = f (t)e−σt
f (t)
t
t
e(σ + jω)t
ejωt
t
t
ꢀ Chꢙn giá trꢓ cꢄa σ: nꢀu tꢗn tꢕi σ=σ0 sao cho
φ(t) tꢗn tꢕi Φ(ω)=F(s), thì vꢑi mꢙi σ≥σ0 ñꢍu
làm tꢗn tꢕi Φ(ω)=F(s). Lưu ý: s=σ+jω, nên :
Trong mp phꢒc sao cho tꢊn sꢆ phꢒc s có
Re{s}≥σ0 gꢙi là miꢍn hꢅi tꢈ
(ROC – Region Of Convergence)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Ví dꢈ: tìm ROC ñꢎ tꢗn tꢕi F(s) cꢄa các tín hiꢇu f(t) sau:
(a) f (t) = e−atu(t);a > 0 (b) f (t) = e−atu(−t);a > 0
(c) f (t) = u(t)
ꢀ Tóm lꢕi ta có:
∞
F(s) =
f (t)e−stdt
Two-side
Biꢀn ñꢁi Laplace thuꢂn
∫
−∞
c+ j∞
F(s)estds
1
f (t) = 2π j
∫
c− j∞
Biꢀn ñꢁi Laplace ngưꢃc
c∈ ROC
ꢀ Ký hiꢇu cꢄa biꢀn ñꢁi Laplace:
-1
f (t) = L [F(s)]
và
F(s) = L[ f (t)]
f (t) ↔ F(s)
Hoꢘc ñơn giꢋn hơn:
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
3
Biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Biꢀn ñꢁi Laplace mꢅt bên:
Ta thưꢔng quan tâm tꢑi tín hiꢇu nhân quꢋ & ñây cũng là ꢒng dꢈng
thưꢔng gꢘp cꢄa biꢀn ñꢁi Laplace
∞
∞
f (t)e−stdt
⇒
F(s) =
f (t)e−stdt
Biꢀn ñꢁi 1 bên
F(s) =
−
∫
0
∫
−∞
Giꢑi hꢕn 0- : bao hàm cꢋ xung ñơn vꢓ tꢕi gꢆc t=0.
ꢂ Biꢀn ñꢁi Laplace 1 bên chꢚ là trưꢔng hꢃp ñꢘc biꢇt cꢄa bñ 2 bên
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bð Laplace cꢅa mꢆt sꢁ tín hiꢀu thông dꢇng
ꢀ Biꢀn ñꢁi Fourier là trưꢔng hꢃp ñꢘc biꢇt cꢄa biꢀn ñꢁi Laplace:
F(ω) = F(s)
s= jω
Trong ñó: trꢈc ꢋo jω là miꢍn hꢅi tꢈ ꢁ Thưꢔng gꢙi: ñáp ꢒng tꢊn sꢆ
Im
Im
Re
Re
ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
4
Bð Laplace cꢅa mꢆt sꢁ tín hiꢀu thông dꢇng
ꢀ Biꢀn ñꢁi Laplace cꢄa δ(t):
f (t) = δ (t) ⇒ F(s) =1
δ (t) ↔1
δ (t) ↔1
Vs
ꢀ Biꢀn ñꢁi Laplace cꢄa e-atu(t):
1
f (t) = e−atu(t) ⇒ F(s) =
;ROC :Re{s} > −a
s + a
1
1
e−atu(t) ↔
e−atu(t) ↔
Vs
jω + a
s + a
ꢀ Biꢀn ñꢁi Laplace cꢄa -e-atu(-t):
f (t) = −e−atu(−t)
1
⇒ F(s) =
;ROC : Re{s}< −a
s + a
1
−e−atu(−t) ↔
Vs None
s + a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Bð Laplace cꢅa mꢆt sꢁ tín hiꢀu thông dꢇng
ꢀ Biꢀn ñꢁi Laplace cꢄa u(t):
1
f (t) = u(t)
⇒ F(s) = ;ROC : Re{s} > 0
s
1
1
u(t) ↔
u(t) ↔ πδ (ω) +
Vs
jω
s
Im
Im
Re
Re
ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
5
Các tính chꢄt cꢅa biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Tính chꢉt tuyꢀn tính:
f1(t) ↔ F (s)
1
⇒
a f (t)+a2 f2(t) ↔a F(s)+a2F (s)
1 1
1 1
2
f2 (t) ↔ F2 (s)
Ex : 2e−tu(t) + e−2tu(t) ↔
2
1
+
s +1 s + 2
;ROC : Re{s} > −1
ꢀ Dꢓch chuyꢎn trong miꢍn thꢔi gian:
f (t−t0)↔F(s)e−st
0
f (t) ↔ F(s)
⇒
t − 4
1
Ex : rect
= u(t −3) −u(t − 5) ↔
e
−3s − e−5s
(
)
2
s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chꢄt cꢅa biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Dꢓch chuyꢎn trong miꢍn tꢊn sꢆ:
f (t)es0t ↔F(s−s0)
f (t) ↔ F(s)
⇒
s
s + a
(s + a)2 + b2
⇒ e−at cos bt u(t) ↔
( )
Ex : cos bt u(t) ↔
( )
s2 + b2
ꢀ ðꢕo hàm trong miꢍn thꢔi gian:
f (t) ↔ F(s)
d n f (t)
↔ sn F (s) − sn −1 f (0− ) − s n−2 (1) (0− ) − ... − f ( n−1) (0− )
f
⇒
dt n
(1)
⇒ δ (t) ↔ s
⇒ δ (n) (t) ↔ sn
δ (t) ↔1
d2 f (t)
dt2
t − 4
f (t) = rect
⇒
↔ ?
2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
6
Các tính chꢄt cꢅa biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Tích phân miꢍn thꢔi gian:
t
F(s)
f (t) ↔ F(s)
f (τ)dτ ↔
⇒
−
∫
0
s
0−
f (τ)dτ
t
F(s)
∫
−∞
f (τ)dτ ↔
+
∫
−∞
s
s
ꢀ Thay ñꢁi thang ñꢅ (co/dãn):
1 s
⇒
f (t) ↔ F(s)
f (at) ↔ F
;a >0
a a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Các tính chꢄt cꢅa biꢂn ñꢃi Laplace
ꢀ Tích chꢂp miꢍn thꢔi gian:
f (t) ↔ F (s); f (t) ↔ F (s)
⇒
f1(t)∗ f2(t) ↔F(s)F (s)
1
1
2
2
1
2
ꢀ Tích chꢂp miꢍn tꢊn sꢆ:
f (t) ↔ F (s); f (t) ↔ F (s)
1
f1(t) f2(t) ↔2π j F(s)∗F (s)
⇒
1
1
2
2
1
2
ꢀ ðꢕo hàm trong miꢍn tꢊn sꢆ:
dF(s)
f (t) ↔ F(s)
⇒
tf (t) ↔−
ds
1
1
e−tu(t) ↔
⇒ te−tu(t) ↔
2
s +1
t 2 u (t ) ↔ ?
s +1
(
)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
7
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace thuꢈn
ꢀ Cꢊn nꢛm vꢜng biꢀn ñꢁi Laplace cꢄa các tín hiꢇu cơ bꢋn
ꢃ u(t); δ(t)
ꢃ Hàm mũ
ꢃ Hàm ñiꢍu hòa
f (t)
δ (t)
u(t)
F(s)
1
1/ s
e−atu(t)
1/(s + a)
s /(s2 +b2 )
b/(s2 +b2 )
cos(bt)u(t)
sin(bt)u(t)
ꢀ Nꢛm vꢜng các tính chꢉt biꢀn ñꢁi Laplace ꢁ mꢝ rꢅng!!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
ꢀ Công thꢒc tính biꢀn ñꢁi ngưꢃc:
c+ j∞
f (t) =
F (s)est ds
∫
c− j∞
ꢂ Chúng ta không tꢂp trung vào viꢇc tính trꢌc tiꢀp tích phân trên!!!
ꢀ Mô tꢋ F(s) vꢍ các hàm ñơn giꢋn mà ñã có kꢀt quꢋ trong bꢋng các cꢘp
biꢀn ñꢁi Laplace. Thꢀc tꢁ ta quan tâm tꢂi các hàm hꢃu tꢄ!!!
ꢃ Zero cꢄa F(s): các giá trꢓ cꢄa s ñꢎ F(s)=0
ꢃ Pole cꢄa F(s): các giá trꢓ cꢄa s ñꢎ F(s)→∞
ꢃ Nꢀu F(s)=P(s)/Q(s) ꢁ Nghiꢇm cꢄa P(s)=0 là các zero & nghiꢇm
cꢄa Q(s)=0 là các pole
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
8
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
s2 −2
s3 +3s2 + 2s
1
1
1
ꢀ Ví dꢈ:
⇒ L
= − +
+
s s +1 s + 2
Dùng ?
s2 − 2
2
s +3s + 2s
1
= L − +
1
1
-1
-1
+
s s +1 s + 2
= −1+ e−t + e−2t u(t)
(
)
3
Dùng bꢅng
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
ꢀ Xét hàm hꢜu tꢞ sau:
bmsm +bm−1sm−1 +...+b s +b0
sn + an−1sn−1 +...+ a1s + a0
P(s)
Q(s)
1
F(s) =
=
m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chꢀ tꢁp trung vào proper!!!
m<n
Expend
Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths
the proper.
The result
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,…)
start
Polynomical
dividing;
m≥n
in case m=n
F(s)/s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
9
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
ꢀ Khai triꢎn các hàm proper:
F(s) = P(s)/Q(s)
ꢃ Xác ñꢓnh zero & pole cꢄa F(s); zero & pole phꢋi khác nhau
ꢃ Giꢋ sꢐ các pole là: s=λ1,λ2,λ3,…
ꢃ Khai triꢎn F(s) dùng quy luꢂt sau:
• Các pole không lꢘp lꢕi:
k3
(s −λ1) (s − λ2 ) (s − λ3 )
k1
k2
F(s) =
+
+
+...
• Các pole lꢘp lꢕi, giꢋ sꢐ λ2 lꢘp lꢕi r lꢊn
r−1
k2 j
k3
k1
F(s) =
+
+
+...
∑
(s −λ1) j=0 (s −λ )r− j (s −λ3 )
2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
ꢀ Phương pháp hàm tưꢔng minh xác ñꢓnh các hꢇ sꢆ:
• Nhân 2 vꢀ vꢑi Q(s); sau ñó cân bꢟng thu ñưꢃc hꢇ phương trình
theo các hꢇ sꢆ cꢊn tìm
• Giꢋi hꢇ phương trình tìm các hꢇ sꢆ
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!
s2 − 2
s3 +3s2 + 2s
k1 k2
+
k3
• ví dꢈ:
=
+
s +1 s + 2
s
⇒ s2 − 2 = k1(s +1)(s + 2) + k2s(s + 2) + k3s(s +1)
k1 + k2 + k3 =1
3k1 + 2k2 + k3 = 0
2k1 = −2
k1 = −1
k2 =1
k3 =1
⇒
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
10
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
ꢀ Phương Heaviside xác ñꢓnh các hꢇ sꢆ:
ki = (s − λi )F (s)
• Các pole không lꢘp lꢕi:
s=λi
ki0 = (s −λ )r F(s)
i
s=λi
1 d j
j!ds j
• Các pole lꢘp lꢕi:
r
(s −λ ) F(s)
kij =
; j ≠ 0
i
i
s=λ
8s +10
k1
k20
k21
k22
• Ví dꢈ:
F(s) =
=
+
+
+
(s +1)(s + 2)3 (s +1) (s + 2)3 (s + 2)2 (s + 2)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
ꢀ Phương hꢁn hꢃp: phương pháp nhanh nhꢆt!!!
8s +10
k1
k20
k21
k22
• Ví dꢈ:
F(s) =
=
+
+
+
(s +1)(s + 2)3 (s +1) (s + 2)3 (s + 2)2 (s + 2)
8s +10
3
8s +10
k1 =
= 2
k20 =
= 6
s + 2
s +1
s=−2
(
)
(
)
s=−1
sF(s);s → ∞ :
k1 + k22 = 0 ⇒ k22 = −2
k20 k21 k22
+
5
4
10 −8k1 − k20 − 4k22
k1 +
+
=
⇒ k21 =
s = 0:
8
4
2
2
10 −16 − 6 + 8
⇒ k21 =
= −2
2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
11
Tìm biꢂn ñꢃi Laplace ngưꢉc
ꢀ Ví dꢈ: tìm biꢀn ñꢁi Laplace ngưꢃc cꢄa các hàm sau:
7s -6
s2 − s − 6
(a) F(s)=
2s2 +5
s2 +3s + 2
(b) F(s)=
6(s + 34)
(c) F(s)=
s(s2 +10s + 34)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
12
12 trang
16360
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 11 - Trần Quang Việt", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_bai_11_tran_quang_viet.pdf
