Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Bài 10 - Trần Quang Việt
Ch-6: Phân tích hꢀ thꢁng liên tꢂc dùng biꢃn ꢄꢅi Laplace
Lecture-10
6.1. Biꢃn ꢄꢅi Laplace
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1. Biꢃn ꢄꢅi Laplace
6.1.1. Biꢀn ꢁꢂi Laplace thuꢃn
6.1.2. Biꢀn ꢁꢂi Laplace cꢄa mꢅt sꢆ tín hiꢇu thông dꢈng
6.1.3. Các tính chꢉt cꢄa biꢀn ꢁꢂi Laplace
6.1.4. Biꢀn ꢁꢂi Laplace ngꢊꢋc
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
1
6.1.1. Biꢃn ꢄꢅi Laplace thuꢆn
ꢀ Biꢀn ꢁꢂi Fourier cho phép phân tích tín hiꢇu thành tꢂng cꢄa các
thành phꢌn tꢌn sꢆ ꢁ phân tích hꢇ thꢆng ꢁơn giꢍn & trꢎc quan hơn
trong miꢏn tꢌn sꢆ.
ꢀ Biꢀn ꢁꢂi Fourier là công cꢈ chꢄ yꢀu ꢁꢐ phân tích TH & HT trong
nhiꢏu lꢑnh vꢎc (viꢒn thông, xꢓ lý ꢍnh, …)
ꢀ Muꢆn áp dꢈng biꢀn ꢁꢂi Fourier thì tín hiꢇu phꢍi suy giꢍm & HT
vꢔi ꢁáp ꢕng xung h(t) phꢍi ꢂn ꢁꢖnh.
∞
∞
| f (t) | dt < ∞ &
| h(t) | dt < ∞
−∞
∫
∫
−∞
ꢀ ꢗꢐ phân tích tín hiꢇu tꢘng theo thꢙi gian (dân sꢆ, GDP,…) và hꢇ
thꢆng không ꢂn ꢁꢖnh ꢁ dùng biꢀn ꢁꢂi Laplace (là dꢚng tꢂng quát
cꢄa biꢀn ꢁꢂi Fourier)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1. Biꢃn ꢄꢅi Laplace thuꢆn
ꢀ Xét tín hiꢇu f(t) là hàm tꢘng theo thꢙi gian ꢁ tꢚo hàm mꢔi φ(t) tꢛ
f(t) sao cho tꢜn tꢚi biꢀn ꢁꢂi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R
ꢀ Biꢀn ꢁꢂi Fourier cꢄa φ(t) nhꢊ sau:
∞
∞
Φ ω = F[φ(t)] =
f (t)e−σte− jωtdt
=
f (t)e−(σ + jω)t dt
F(s)=ꢞ(ꢟ)
( )
∫
−∞
Φ(ω) =
∫
−∞
∞
f (t)e−stdt
ꢗꢝt s=σ+jω:
∫
−∞
∞
F(s)= f(t)e−stdt
Hay:
(Biꢀn ꢁꢂi Laplace thuꢃn)
∫
−∞
Ký hiꢇu:
F(s) = L[ f (t)]
f (t)
φ(t) = f (t)e−σt
t
t
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2
6.1.1. Biꢃn ꢄꢅi Laplace thuꢆn
ꢀ Miꢏn hꢅi tꢈ (ROC) cꢄa biꢀn ꢁꢂi Laplace: tꢃp hꢋp các biꢀn s trong
mꢝt phꢠng phꢕc có σ=Re{s} làm cho φ(t) tꢜn tꢚi biꢀn ꢁꢂi Fourier
Ví dꢈ: tìm ROC ꢁꢐ tꢜn tꢚi F(s) cꢄa các tín hiꢇu f(t) sau:
(a) f (t) = e−atu(t);a > 0 (b) f (t) = e−atu(−t);a > 0
(c) f (t) = u(t)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.2. Biꢃn ꢄꢅi Laplace cꢇa mꢈt sꢁ tín hiꢀu thông dꢂng
(a) f(t)=ꢡ(t) ⇒ F(s) =1; ROC:s-plane
1
-at
(b) f(t)=e u(t); a>0
⇒ F(s) =
;ROC : Re{s} > −a
s + a
1
(c) f(t)=-e-atu(-t); a>0 ⇒ F(s) =
;ROC : Re{s}< −a
s + a
1
(d) f(t)=u(t)
⇒ F(s) = ;ROC : Re{s} > 0
s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3
6.1.3. Các tính chꢉt cꢇa biꢃn ꢄꢅi Laplace
ꢀ Tính chꢉt tuyꢀn tính:
f1(t) ↔ F (s)
1
⇒
a f (t)+a2 f2(t) ↔a F(s)+a2F2(s)
1 1
1 1
f2 (t) ↔ F2 (s)
2
1
Ex : 2e−tu(t) + e−2tu(t) ↔
+
s +1 s + 2
;ROC : Re{s} > −1
ꢀ Dꢖch chuyꢐn trong miꢏn thꢙi gian:
f (t −t0) ↔F(s)e−st
0
f (t) ↔ F(s)
⇒
t − 4
1
Ex : rect
= u(t −3) −u(t −5) ↔
e
−3s − e−5s
(
)
2
s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3. Các tính chꢉt cꢇa biꢃn ꢄꢅi Laplace
ꢀ Dꢖch chuyꢐn trong miꢏn tꢌn sꢆ:
f (t)es0t ↔F(s−s0)
f (t) ↔ F(s)
⇒
s
s + a
(s + a)2 + b2
⇒ e−at cos bt u(t) ↔
( )
Ex : cos bt u(t) ↔
( )
s2 + b2
ꢀ ꢗꢚo hàm trong miꢏn thꢙi gian:
f (t) ↔ F(s)
d n f (t)
⇒
↔ sn F (s) − sn−1 f (0− ) − sn−2 (1) (0− ) − ... − f ( n−1) (0− )
f
dt n
(1)
⇒ δ (t) ↔ s
⇒ δ (n) (t) ↔ sn
δ (t) ↔1
d2 f (t)
dt2
t − 4
f (t) = rect
⇒
↔ ?
2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4
6.1.3. Các tính chꢉt cꢇa biꢃn ꢄꢅi Laplace
ꢀ Tích phân miꢏn thꢙi gian:
t
F(s)
f (τ)dτ ↔
f (t) ↔ F(s)
⇒
−
∫
0
s
0−
f (τ)dτ
t
F(s)
∫
−∞
f (τ)dτ ↔
+
∫
−∞
s
s
ꢀ Tꢢ lꢇ thꢙi gian:
1 s
f (at) ↔ F ;a >0
⇒
f (t) ↔ F(s)
a a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3. Các tính chꢉt cꢇa biꢃn ꢄꢅi Laplace
ꢀ Tích chꢃp miꢏn thꢙi gian:
f1(t) ↔ F (s); f2 (t) ↔ F2 (s) ⇒
f1(t)∗ f2(t) ↔F(s)F (s)
1
1
2
ꢀ Tích chꢃp miꢏn tꢌn sꢆ:
1
2π j
f (t)f (t) ↔ F(s)∗F (s)
f1(t) ↔ F (s); f2 (t) ↔ F2 (s) ⇒
1
1
2
1
2
ꢀ ꢗꢚo hàm trong miꢏn tꢌn sꢆ:
dF(s)
f (t) ↔ F(s)
⇒
tf (t) ↔−
ds
1
1
e−tu(t) ↔
⇒ te−tu(t) ↔
2
s +1
t 2 u (t ) ↔ ?
s +1
(
)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
5
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
f (t) = φ(t).eσt
ꢀ Tín hiꢇu f(t) ꢁꢊꢋc tꢂng hꢋp nhꢊ sau:
∞
−1
σt
jωt
σt
1
2π
F(s)e dω .e
f (t) = F [Φ(ω)].e =
∫
−∞
σ + j∞
F(s)estds
1
f (t) = 2π j
(Biꢀn ꢁꢂi Laplace ngꢊꢋc)
∫
σ − j∞
-1
f(t) = L F(s)
Ký hiꢇu:
ꢂ Chúng ta không tꢃp trung vào viꢇc tính trꢎc tiꢀp tích phân trên!!!
ꢀ Mô tꢍ F(s) vꢏ các hàm ꢁơn giꢍn mà ꢁã có kꢀt quꢍ trong bꢍng các cꢝp
biꢀn ꢁꢂi Laplace. Thꢌc tꢃ ta quan tâm tꢍi các hàm hꢎu tꢏ!!!
ꢃ Zero cꢄa F(s): các giá trꢖ cꢄa s ꢁꢐ F(s)=0
ꢃ Pole cꢄa F(s): các giá trꢖ cꢄa s ꢁꢐ F(s)→∞
ꢃ Nꢀu F(s)=P(s)/Q(s) ꢁ Nghiꢇm cꢄa P(s)=0 là các zero & nghiꢇm
cꢄa Q(s)=0 là các pole
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
s2 − 2
s3 + 3s2 + 2s
1
= − +
1
1
ꢀ Ví dꢈ:
⇒ L
+
s s +1 s + 2
Dùng ?
s2 − 2
1
= L − +
1
1
-1
-1
+
s s +1 s + 2
= −1+ e−t + e−2t u(t)
(
)
3
s + 3s + 2s
2
Dùng bꢐng
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
ꢀ Xét hàm hꢣu tꢢ sau:
bmsm + bm−1sm−1 +...+ b s + b0 P(s)
1
F(s) =
=
sn + an−1sn−1 +...+ a1s + a0
Q(s)
m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!!
m<n
Expend
Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths
the proper.
The result
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,…)
start
Polynomical
dividing;
m≥n
in case m=n
F(s)/s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
ꢀ Khai triꢐn các hàm proper:
F(s) = P(s)/Q(s)
ꢃ Xác ꢁꢖnh zero & pole cꢄa F(s); zero & pole phꢍi khác nhau
ꢃ Giꢍ sꢓ các pole là: s=λ1,λ2,λ3,…
ꢃ Khai triꢐn F(s) dùng quy luꢃt sau:
• Các pole không lꢝp lꢚi:
k1
k2
k3
F(s) =
+
(s − λ1) (s − λ2 ) (s − λ3 )
+
+...
• Các pole lꢝp lꢚi, giꢍ sꢓ λ2 lꢝp lꢚi r lꢌn
r−1
k2 j
k1
k3
F(s) =
+
+
+...
∑
(s − λ1) j=0 (s − λ )r− j (s − λ3 )
2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
ꢀ Phꢊơng pháp hàm tꢊꢙng minh xác ꢁꢖnh các hꢇ sꢆ:
• Nhân 2 vꢀ vꢔi Q(s); sau ꢁó cân bꢤng thu ꢁꢊꢋc hꢇ phꢊơng trình
theo các hꢇ sꢆ cꢌn tìm
• Giꢍi hꢇ phꢊơng trình tìm các hꢇ sꢆ
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!
s2 − 2
s3 + 3s2 + 2s
k1 k2
+
k3
• ví dꢈ:
=
+
s +1 s + 2
s
⇒ s2 − 2 = k1(s +1)(s + 2) + k2s(s + 2) + k3s(s +1)
k1 + k2 + k3 =1
3k1 + 2k2 + k3 = 0
2k1 = −2
k1 = −1
k2 =1
k3 =1
⇒
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
ꢀ Phꢊơng Heaviside xác ꢁꢖnh các hꢇ sꢆ:
ki = (s − λi )F (s)
• Các pole không lꢝp lꢚi:
s=λi
ki0 = (s −λi )r F(s)
s=λi
1 d j
j!dsj
• Các pole lꢝp lꢚi:
r
(s −λ ) F(s)
kij =
; j ≠ 0
i
i
s=λ
8s +10
k1
k20
k21
k22
• Ví dꢈ:
F(s) =
=
+
+
+
(s +1)(s + 2)3 (s +1) (s + 2)3 (s + 2)2 (s + 2)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
8
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
ꢀ Phꢊơng hꢂn hꢋp: phꢊơng pháp nhanh nhꢉt!!!
8s +10
k1
k20
k21
k22
• Ví dꢈ:
F(s) =
=
+
+
+
(s +1)(s + 2)3 (s +1) (s + 2)3 (s + 2)2 (s + 2)
8s +10
3
8s +10
k1 =
= 2
k20 =
= 6
s +1
s + 2
(
)
(
)
s=−2
s=−1
sF(s);s → ∞ :
k1 + k22 = 0 ⇒ k22 = −2
k20 k21 k22
+
5
4
10−8k1 − k20 − 4k22
k1 +
+
=
⇒ k21 =
s = 0:
8
4
2
2
10 −16− 6+8
⇒ k21 =
= −2
2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biꢃn ꢄꢅi Laplace ngꢊꢋc
ꢀ Ví dꢈ: tìm biꢀn ꢁꢂi Laplace ngꢊꢋc cꢄa các hàm sau:
7s -6
s2 − s − 6
(a) F(s)=
2s2 +5
(b) F(s)=
s2 + 3s + 2
6(s + 34)
(c) F(s)=
s(s2 +10s + 34)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
9
9 trang
29/04/2022
4120
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Bài 10 - Trần Quang Việt", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_chuong_6_phan_tich_he_thong_l.pdf
