Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Lấy mẫu

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling)

Lecture-9

5.1. Lý thuyết lấy mẫu

5.2. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

5.3. Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1. Lý thuyết lấy mẫu

5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian

5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian

 Có vô số tín hiệu có thể khôi phục từ các mẫu biết trước.

 Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn thì có thể khôi phục lại duy nhất

từ các mẫu biết trước nếu được lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian

a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

b) Lấy mẫu bằng bộ giữ mẫu bậc không

c) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

 Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn là B Hz

 Tín hiệu f(t) được lấy mẫu bằng cách nhân với chuỗi xung đơn vị

f(t)=f(t)p(t)

f(t)=f(t) δ(t nT )

f(t)

f(nT )δ(t nT )

s

n

f₀(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

 Phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu

f(t) F(ω)

2π

p(t) P(ω)

δ(ω nω_s); F =1/T , ω_s=2πF

s

T

n

s

1

f (t) F(ω)= [F(ω) P(ω)]

2π

F(ω nω_s)

T

n

s

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

 Khôi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon

Low-pass Filter

ω_s4πB

F 2B; F =2B Nyquist rate

s

Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khôi phục chính

xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với

tốc độ F_s2B mẫu/s. Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ

nhất là F_s=2B Hz

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

 Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

 Bộ khôi phục tín hiệu cho bộ giữ mẫu bậc không

H_r(ω)=T H (ω)H₂(ω)

Không thực hiện được!!!

s 1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

 Khôi phục gần đúng cho bộ giữ mẫu bậc 0

Low-pass Filter

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

 Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn

Ideal Filter

Practical Filter

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

 Băng tần tín hiệu vô hạn – hiện tượng alias

Giải pháp: Anti-aliasing Filter

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

 Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn và phổ như hình vẽ

 Lấy mẫu F( ) trên thang tần số với chu kỳ lấy mẫu là

0

F (ω)=F(ω) δ(ω nω₀)

F(nω₀)δ(ω nω₀)

T₀

n=

f_T(t)=T₀f(t nT₀)

f_T(t)=T₀f(t)

δ(t nT₀);T₀=2π/ω₀

0

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

 Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc khi lấy mẫu phổ của tín hiệu

T₀τ

ω₀2π/τ

 Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

 Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian

với các mẫu trong miền tần số

1

F(ω)e^jωtdω

jωt

f(t)=

F(ω)= f(t)e dt

2π

N₀mẫu

N₀=T₀/T_sω_s/ω₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

 Biến đổi DFT thuận:

. Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T₀(tương ứng với N₀mẫu):

N₀1

_

jωkT

s

f (t)= f(kT )δ(t kT )

F(ω)= f(kT )e

s

k=0

. Mặt khác trong đoạn - /2 đến /2 (tương ứng với N₀mẫu):

s

_

N₀1

_

F(ω)

jrω₀kT

s

F(ω)

F(rω₀)=T F(rω₀)=T f(kT )e

s

T

s

k=0

. Đặt = T =2 /N₀; F_r=F(r ): mẫu thứ r của F( ); f_k=T f(kT ):

0

0 s

0

s

mẫu thứ k của f(t); ta có:

N₀1

jrΩ₀k

F = f e

(Biến đổi DFT thuận)

r

k

k=0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

e^{jmΩ r}

0

 Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với

sau đó lấy tổng:

N₀1

N₀1 N₀1

r=0 k=0

jm r

jrΩ₀k jm r

0

F e =

f e

e

r

k

r=0

N₀1

jm r

j(m k)Ω₀r

0

F e = f

e

r

k

r=0

k=0

r=0

N₀1

r=0

N₀1

0; k m

=

jm r

0

F e

= F e

r

N f N f ;k m

0 k

0 m

r=0

N₀1

1

jrΩ₀k

f =

F e

r

(Biến đổi DFT ngược)

k

N

0

r=0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N₀phải là lũy thừa của 2

2

Giảm khối lượng tính toán:

N₀N₀logN₀

N₀1

1

jr k

Nhân: N₀

Cộng: N₀-1

0

f

F e

F

f e

k

r

N

0

r 0

k 0

Tổng cộng cho các hệ số: N₀N₀phép nhân và N₀(N₀-1) phép cộng

j 2 / N₀

j

0

W_Ne

e

 Đặt:

0

 Các biểu thức DFT được viết lại:

N₀1

r 0

1

kr

F

f W

f

F W

r N₀

r

k N₀

k

N

0

k 0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

 Chia f_kthành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:

f₀, f₄, f₆,..., f

f , f , f ,..., f

N₀1

N₀2 1 3 5

sequence g_k

sequence h_k

Biểu thức DFT được viết lại:

N

0

2

0

2

1

F_r

f_2kW_N^2kr

f_{2k 1}W^{(2k 1)r}

N₀

0

k 0

2

N₀

Ta có:

N

2

W W

0

N

2

N

0

2

0

1

kr

2

r

N₀

kr

N

0

2

G_rW_N^rH_r

N

F_r

f W W

f_{2k 1}W

0

2k

0

k 0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Lấy mẫu - Bài 9