Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 4

404001 - Tín hiꢀu và hꢀ thꢁng

Lecture-4

ꢀꢁꢂꢃ ꢄꢅꢆꢁ ꢁꢇ ꢄꢁꢈꢃꢉ ꢊꢋꢌꢍꢎꢄꢏoꢃꢉ

ꢐꢑꢒꢃ ꢄꢁꢓꢑ ꢉꢑaꢃ

ꢀ Giꢂi thiꢀu

ꢀ ꢃáp ꢄng vꢂi ngõ vào bꢅng không

ꢀ ꢃáp ꢄng xung ꢆơn vꢇ δ(t)

ꢀ ꢀáp ꢁng vꢂi ngõ vào bꢃt kꢄ

ꢀ Tính ꢅn ꢆꢇnh cꢈa hꢉ thꢊng

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Giꢂi thiꢀu

ꢀ Tꢋp trung khꢌo sát hꢉ thꢊng tuyꢍn tính bꢃt biꢍn & liên tꢎc (LTIC)

ꢀ Mô tꢌ toán hꢏc cꢈa hꢉ thꢊng LTIC: dꢐng phương trình vi phân

System

ꢀꢁꢂꢃꢄ

ꢅꢁꢂꢃꢄ

dⁿy

dtⁿ

dⁿ⁻¹

dtⁿ⁻¹

y

dy

+...+ a₁+ a₀y = b_m

dt

d^mf

dt^m

d^m−1

dt^m−1

f

df

dt

+ a_n−1

+ b_m−1

+...+ b

+ b₀f

1

ꢁ {a_i}, {b_i} là các hꢀng sꢁ

ꢁ Thꢂc tꢃ m≤n ꢂ tꢄp trung khꢅo sát trưꢆng hꢇp này

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1

Giꢂi thiꢀu

ꢁ Ví dꢎ 1: mꢐch ꢆiꢉn RLC – hꢉ thꢊng ꢆiꢉn

d²v(t) 1 dv(t)

1

1 di(t)

+

v(t) =

dt²

RC dt

LC

C dt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Giꢂi thiꢀu

ꢁ Ví dꢎ 2: Giꢌm sꢊc – hꢉ thꢊng cơ hꢏc

d²v(t) B dv(t)

K

1 df (t)

+

v(t) =

dt²

M

dt

M

dt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2

Giꢂi thiꢀu

dⁿy

dtⁿ

dⁿ⁻¹

dtⁿ⁻¹

y

dy

+...+ a₁+ a₀y = b_m

d^mf

dt^m

d^m−1

dt^m−1

f

df

dt

+ a_n−1

+b_m−1

+...+ b

+ b₀f

1

dt

ꢁ Ký hiꢉu D thay cho d/dt, ta có:

(Dⁿ+ a_n−1Dⁿ⁻¹+..+ a₁D + a₀)y(t) = (b_mD^m+b_m−1

ꢁ ꢀꢑt Q(D), P(D) lꢒn lưꢓt là ꢆa thꢁc bên trái và bên phꢌi, ta có:

D

^m−1+..+ b D +b₀) f (t)

1

(2.1)

Q(D)y(t) = P(D) f (t)

ꢀ ꢀáp ꢁng cꢈa hꢉ thꢊng: 2 nguyên nhân gây ra ꢆáp ꢁng

ꢁ ꢀiꢔu kiꢉn bên trong cꢈa hꢉ thꢊng (nꢕng lưꢓng tích trꢖ,….)

ꢁ Tác nhân bên ngoài cꢈa hꢉ thꢊng (f(t))

ꢀ ꢀáp ꢁng tꢅng cꢗng: do hꢉ thꢊng tuyꢍn tính nên

Total response = zero-input response + zero-state response

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ꢃáp ꢄng vꢂi ngõ vào bꢅng không

(Dⁿ+ a_n−1Dⁿ⁻¹+..+ a₁D + a₀)y(t) = (b_mD^m+b_m−1^m−1+..+ b D +b₀) f (t)

D

1

ꢀ Phương trình đặc trưng của hệ thống LTIC

ꢁ ꢧꢨꢘ ꢅ_ꢌꢁꢂꢃꢄꢩꢊ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ ꢉꢬꢘ ꢛꢇꢈ ꢉꢊo ꢭꢮꢛꢇ ꢌꢄꢁꢯꢝꢠoꢰꢘꢛꢕuꢂꢃ

ꢁ ꢆꢇꢈ ꢉꢊo ꢀꢁꢂꢃꢋꢌꢍꢄꢂꢎ ꢁꢏꢐꢑꢃꢄꢂa ꢒꢓꢔ

Q(D)y₀(t) = 0

λꢂ

ꢁ ꢅ_ꢌꢁꢂꢃꢄꢕꢖꢗꢘ ꢒꢓ ꢙꢚꢛꢇ ꢜꢝ

⇒ Dy₀(t) = Cλe^λt, D²y₀(t) = Cλ²e^λt,...,Dⁿy₀(t) = Cλⁿe^λt

⇒ C(λⁿ+ a_n−1λⁿ⁻¹+...+ a₁λ + a₀)e^λt= CQ(λ)e^λt= 0

ꢞꢖưꢟꢛꢇ ꢂꢠꢡꢛꢖ ꢢꢣꢒ ꢂꢠưꢛꢇ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ

Q(λ) = 0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3

ꢃáp ꢄng vꢂi ngõ vào bꢅng không

ꢀ Các kiểu đặc trưng của hệ thống:

ꢁ ꢆꢱu ꢲꢁλꢃꢋꢌꢄꢒꢓ ꢛꢄꢛꢇꢖꢘꢥꢳ ꢢꢟꢛꢔ

y₀(t) = C₁e +C₂e +...+ C_n−1e +C_ne^{λ t}

λ₁t

λ₂t

λ_n−1t

n

ꢁ ꢆꢱu ꢲꢁλꢃꢋꢌꢄꢒꢓ ꢛꢇꢖꢘꢥꢳ ꢭꢴꢘ ꢁꢇꢘꢗ ꢵꢶ λ_ꢑꢩꢊ ꢛꢇꢘꢥꢳ ꢭꢴꢘ ꢠꢃꢔ

y₀(t) = (C₁+C₂t +...+C_rt^r−1)e^λ¹^t+C_r+1e^λ²^t+...+C_ne^λⁿ^t

ꢁ ꢆꢱu ꢲꢁλꢃꢋꢌꢄꢒꢓ ꢛꢇꢖꢘꢥꢳ ꢕꢖꢫꢒꢔꢄꢇꢘꢗ ꢵꢶ ꢩꢊ α ꢷβ

y₀(t) = Ce^−αtcos(βt +θ) +C₃e^λ³^t+...+ C_ne^λⁿ^t

λ_it

ꢃ ꢜꢪꢒ ꢖꢊꢳ

ꢢưꢸꢒ ꢇꢨꢘ ꢩꢊ ꢒꢪꢒ ꢹꢘꢺu ꢢꢣꢒ ꢂꢠưꢛꢇ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ

e

ꢃ ꢻꢼ ꢹꢱꢂ ꢖꢸꢕ ꢒꢤa ꢒꢪꢒ ꢹꢘꢺu ꢢꢣꢒ ꢂꢠưꢛꢇ ꢠꢽꢂ ꢾuaꢛ ꢂꢠꢨꢛꢇ ꢂꢠoꢛꢇ ꢉꢘꢥꢒ ꢂꢖꢺ ꢖꢘꢥꢛ

ꢖꢊꢛꢖ ꢉꢘꢄꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇꢍꢄꢒꢿꢛꢇ ꢾuaꢛ ꢂꢠꢨꢛꢇ ꢂꢠoꢛꢇ ꢉꢘꢥꢒ ꢂꢡꢳ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꣀuꢛꢇ

ꢢꢟꢛ ꢉꣁ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ ꢂ ꣂꣃꢛꢖ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ ꢉꢬꢘ ꢀꢁꢂꢃꢄꢂꢠoꢛꢇ ꢳꢘ꣄ꢛ ꢂ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ꢃáp ꢄng vꢂi ngõ vào bꢅng không

ꢀ Điều kiện đầu:

ꢁ ꣅꢘ꣄u ꢹꢘꢥꢛ ꢢ꣆u ꢩꢊ ꢒ꣆ꢛ ꢂꢖꢘꢱꢂ ꢂꢠoꢛꢇ ꢉꢘꢥꢒ ꢂꢡꢳ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ

ꢁ ꢆꢱu ꣀ꣇ꢂ ꢳꢓꢒ ꢂꢖ꣈ꢘ ꢇꢘaꢛ ꢩꢊ ꢂꢋꢌꢄꢂ ꢭꢘꢱꢂ ꢂꢠưꢬꢒ ꢇꢘꢪ ꢂꢠꣁ ꢂꢚꢘ ꢂꢋꢌ^ꢰ

ꢁ ꢜ꣆ꢛ ꢂꢡꢳ ꢇꢘꢪ ꢂꢠꣁ ꢂꢚꢘ ꢂꢋꢌ^꣉ꢍꢄꢉꢡ ꢅ_ꢌꢁꢂꢃꢄꢢꢴꢒ ꢩ꣊ꢕ ꢉꢬꢘ ꢀꢁꢂꢃꢄꢛ꣋ꢛ ꢂꢚꢘ ꢂꢋꢌ^꣉

y(0⁻) = y₀(0⁺); y^,(0⁻) = y₀^,(0⁺), y^,,(0⁻) = y₀^,,(0⁺),....

ꢁ ꣌ưu ꣍ꢄꢳ꣎ ꢂꢗ ꢂꢠ꣋ꢛ ꢹꢖ꣎ꢛꢇ ꢢ꣏ꢛꢇ ꢒꢖo ꢂꢠư꣈ꢛꢇ ꢖꢸꢕ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢂ꣐ꢛꢇ ꢒꢴꢛꢇ ꢅꢁꢂꢃꢄ

ꢁꢉꢡ ꢛꢓ ꢕꢖ꣑ ꢂꢖuꢴꢒ ꢉꢊo ꢛꢇꢈ ꢉꢊo ꢀꢁꢂꢃꢃ

ꢁ ꣒ꣃ ꢙ꣑ꢔꢄꢀꢁꢂꢃꢋꢑꢌꢝ^ꢰ꣓ꢂuꢁꢂꢃ꣔ꢄꢅꢁꢌ^ꢰꢃꢋꢌꢄꢁꢙ꣕ꢛꢇ ꢢꢘꢥꢛ ꢂꢠoꢛꢇ ꢳꢚꢒꢖꢃ꣔ꢄꢉ_ꢒꢁꢌ^ꢰꢃꢋ꣖

y(0⁻) = 0; y^,(0⁻) = −5

y(0⁺) = 0; y^,(0⁺) = 5

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4

ꢃáp ꢄng vꢂi ngõ vào bꢅng không

ꢀ Ví dụ:

ꢁ ꣂꢡꢳ ꢅ_ꢌꢁꢂꢃꢔꢄꢁ꣗^ꢏ꣉꣓꣗꣉ꢏꢃꢅꢁꢂꢃꢋ꣗ꢀꢁꢂꢃ꣔ꢄꢅ_ꢌꢁꢌꢃꢋꢌ꣔ꢄꢅ_ꢌ꣘ꢁꢌꢃꢋꢰ꣖

ꣅꢻꢔꢄꢅ_ꢌꢁꢂꢃꢄꢋꢄꢰ꣖ꢝ^ꢰꢂ꣉꣖ꢝ^ꢰꢏꢂ

ꢁ ꣂꢡꢳ ꢅ_ꢌꢁꢂꢃꢔꢄꢁ꣗^ꢏ꣉꣙꣗꣉꣚ꢃꢅꢁꢂꢃꢋꢁ꣗꣉ꢏꢃꢀꢁꢂꢃ꣔ꢄꢅ_ꢌꢁꢌꢃꢋ꣓꣔ꢄꢅ_ꢌ꣘ꢁꢌꢃꢋꢰ꣛

ꣅꢻꢔꢄꢅ_ꢌꢁꢂꢃꢄꢋꢄ꣜ꢝ^ꢰꢏꢂꢒoꢵꢁ꣙ꢂꢰπ꣝꣓ꢃ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ꢃáp ꢄng xung ꢆơn vꢇ δ(t)

ꢀ ꣞ꢖꢗo ꢵꢪꢂ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ ꢉꢬꢘ ꣀuꢛꢇ δꢁꢂꢃꢄꢩꢊ ꢾuaꢛ ꢂꢠꢨꢛꢇ ꢂꢠoꢛꢇ ꢉꢘꢥꢒ

ꣀꢪꢒ ꢢꣁꢛꢖ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ ꢉꢬꢘ ꢂꣃꢛ ꢖꢘꢥu ꢉꢊo ꢭꢽꢂ ꢹ꣟ꢐ

ꢀ ꢞꢖưꢟꢛꢇ ꢂꢠꢡꢛꢖ ꢂoꢪꢛ ꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇꢔ ꢁꢒꢖ꣏ ꣍ꢄꢳ≤ꢛ ꢂ ꣂ꣠ꢄꢒꢖuꢛꢇꢔꢄꢳꢋꢛꢃꢔ

(Dⁿ+ a_n−1Dⁿ⁻¹+..+ a₁D + a₀)y(t) = (b_nDⁿ+ b_n−1Dⁿ⁻¹+..+ b D + b₀) f (t)

1

ꢀ ꣡ꢗꢛ ꢒꢖꢽꢂ ꢒꢤa ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢉꢬꢘ ꢹꣃꢒꢖ ꢂꢖꣃꢒꢖ δꢁꢂꢃꢔ

ꢁ ꢜꢪꢒ ꢢꢘ꣄u ꢹꢘꢥꢛ ꢢ꣆u ꢂꢚꢘ ꢂꢋꢌ^ꢰꢢ꣄u ꢭꢮꢛꢇ ꢌ

ꢁ ꣢uꢽꢂ ꢖꢘꢥꢛ ꢹꣃꢒꢖ ꢂꢖꣃꢒꢖ ꢂꢚꢘ ꢂꢋꢌꢍꢄꢵau ꢢꢓ ꢹꢱꢂ ꢂꢖ꣏ꢒꢍꢄꣀꢝꢳ ꢛꢖư ꢹꢖ꣣ꢘ ꢂꢚo

ꢢꢘ꣄u ꢹꢘꢥꢛ ꢢ꣆u ꢂꢫꢒ ꢂꢖ꣈ꢘ ꢂꢚꢘ ꢂꢋꢌ^꣉ꢐ

ꢁ ꣞ꢖ꣎ꢛꢇ ꢒꢓ ꢹꣃꢒꢖ ꢂꢖꣃꢒꢖ ꢒꢤa ꢛꢇꢈ ꢉꢊo ꢹꢖꢘ ꢂ≥ꢌ^꣉ꢂ ꣅꢪꢕ ꢫꢛꢇꢔꢄzero-input

ꢁ ꣒꣊ꢅ ꢛꢱu ꢇꢨꢘ ꢖꢁꢂꢃꢄꢩꢊ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꢉꢬꢘ δꢁꢂꢃꢄꢂꢖꢡ ꢛꢓ ꢵ꣤ ꢒꢓ ꢙꢚꢛꢇꢔ

h(t)=kết hợp của các kiểu đặc trưng ; t≥0⁺

ꢁ ꢞꢖưꢟꢛꢇ ꢂꢠꢡꢛꢖ ꢂꢠ꣋ꢛ ꢒꢖ꣥ ꢢ꣏ꢛꢇ ꢹꢖꢘ ꢂ꣦ꢌꢍꢄꢂꢋꢌꢄꢒꢓ ꢹꣃꢒꢖ ꢂꢖꣃꢒꢖ δꢁꢂꢃꢄꢂ ꣅꢘ꣄u ꢒꢖ꣥ꢛꢖ

ꢩꢚꢘ ꢛꢖư ꢵauꢔꢄ

h(t)=A₀δ(t)+kết hợp của các kiểu đặc trưng; t≥0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5

ꢃáp ꢄng xung ꢆơn vꢇ δ(t)

ꢀ ꢆꢇư꣈ꢘ ꢂa ꣀꢪꢒ ꢢꣁꢛꢖ ꢢưꢸꢒ ꢖꢁꢂꢃꢄꢛꢖư ꢵauꢔ

h(t)=b_nδ(t)+[P(D)y_n(t)]u(t)

ꢁ ꢅ_ꢛꢁꢂꢃꢄꢩꢊ ꢢꢪꢕ ꢫꢛꢇ ꣧ꢝꢠoꢰꢘꢛꢕuꢂꢄꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇ ꢉꢬꢘ ꢢꢘ꣄u ꢹꢘꢥꢛ ꢢ꣆u ꢛꢖư ꢵauꢔ

y_nⁿ⁻¹(0) =1; y_nⁿ⁻²(0) = y_nⁿ⁻³(0) = ... = y¹_n(0) = y_n(0) = 0

ꢀ Đáp ứng với δ(t-T) ꢂ h(t-T) - bất biến

ꢀ ꣒ꣃ ꢙ꣑ꢔ

(D²+ 3D + 2)y(t) = Df (t)

ꢁ ꣂꢡꢳ ꢖꢁꢂꢃꢄꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇꢔ

ꢄꣅꢻꢔ h(t) = (−e^−t+ 2e^−2t)u(t)

ꢁ ꣂꢡꢳ ꢖꢁꢂꢃꢄꢒꢤa ꢖꢥ ꢂꢖꢦꢛꢇꢔ

(D + 2)y(t) = (3D + 5) f (t)

h(t) = 3δ (t) − e^−2tu(t)

ꢄꣅꢻꢔ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 4 - Trần Quang Việt