Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier - Bài 6

Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier

Lecture-6

3.3. Chuỗi Fourier và tính chất

3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất

3.3.1. Chuꢀi Fourier

3.3.2. ꢃiꢄu kiꢅn tꢆn tꢇi chuꢀi Fourier

3.3.3. Các tính chꢁt cꢂa chuꢀi Fourier

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

1

3.3.1. Chuỗi Fourier

2π

e^{jnꢉ t}; n=0, 1, 2,.... và

0

ꢀ Xét tꢈp tín hiꢅu:

T₀=

{

}

ꢉ₀

t₁+T₀

(e^{jnꢉ t}, e^{jmꢉ t})=

e^{jnꢉ t}

e

^{− jmꢉ}⁰^tdt =

e^{j(n−m)ꢉ t}dt

0

Ta có:

∫

t₁

t₁+T₀

1

j(n − m)ꢉ₀

0

j(n−m)ꢉ₀T₀

e^{j(n−m)ꢉ t}[e

−1]

=0

0 1

=

e^{j(n−m)ꢉ t}

=

t₁

j(n − m)ꢉ₀

t₁+T₀

(e^{jnꢉ t}, e^{jnꢉ t})=

e^{jnꢉ t}

e

^{− jnꢉ}⁰^tdt = T₀= E_n

0

Và:

∫

t₁

Vꢈy tꢈp tín hiꢅu trên là không gian tín hiꢅu trꢊc giao.

ꢀ Dùng kꢋt quꢌ phꢍn trưꢎc ta có biꢏu diꢐn chuꢀi Fourier cho f(t)

trong khoꢌng t₁<t<t₁+T₀

∞

t₁+T₀

1

f(t)e^{-jnꢉ t}dt

D e^{jnꢉ t}

0

vꢎi

f(t)=

D_n=

∑

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

n

∫

t₁

T₀

n=−∞

3.3.1. Chuỗi Fourier

ꢀ Chuꢀi Fourier cho tín hiꢅu tuꢍn hoàn:

∞

t₁+T₀

1

f(t)e^{− jnꢉ t}dt

0

Ta có:

f(t)=

D e^{jnꢉ t}vꢎi

D_n=

∑

n

∫

t₁

T₀

n=−∞

chꢑ ꢒúng trong khoꢌng t₁<t<t₁+T₀. Trên toàn trꢓc thꢔi gian:

∞

0

D e^{jnꢉ (t+T )}=ϕ(t)

0

ϕ(t)=

D e^{jnꢉ t}

∑

⇒ϕ(t+T )=

n

∑

0

n

n=−∞

Suy ra chuꢀi Fourier biꢏu diꢐn cho tín hiꢅu tuꢍn hoàn. Tóm lꢇi,

nꢋu f(t) tuꢍn hoàn vꢎi chu kꢕ T₀sꢖ ꢒưꢗc biꢏu diꢐn bꢘi chuꢀi

Fourier như sau:

∞

1

2π

D e^{jnꢉ t}

D_n=

f(t)e^{− jnꢉ t}dt

0

f(t)=

ꢉ₀

=

∑

n

∫

T₀

T

n=−∞

0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

2

3.3.1. Chuỗi Fourier

ꢀ Ví dꢓ: tìm chuꢀi Fourier biꢏu diꢐn cho TH tuꢍn hoàn như hình vꢖ

1

T

1

T

1

2T

1

3

D₀=

D_n=

¹dt =

=

1

∫

-T

1

T

1

e^{− jnꢉ t}dt =

e^{− jnꢉ t}

0

(e^{− jnꢉ T}− e^{jnꢉ T}

)

0

1

0 1

=

-T

−T

1

T

−jnꢉ₀T

−j2nπ

1

nπ







1

= sinc

3

nπ







=

sin(nꢉ₀T )

=

sin

1











nπ

3



∞

1

nπ







e^{jnꢉ t}

0

f(t)=

sinc

∑







_n=−∞3

3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3.3.1. Chuỗi Fourier

ꢀ Chuꢀi Fourier lưꢗng giác: trong trưꢔng hꢗp f(t) là tín hiꢅu thꢊc

∞

f(t)=f^*(t)

D e^{jnꢉ t}

=

D^*e^{− jnꢉ}⁰^t

=

D^*e^jnꢉ⁰^t

0

f(t)=

∑

n

−n

n=−∞

D^*_n= D_−n

D_n= D^∗_−n

chuꢀi Fourier ꢒưꢗc viꢋt lꢇi như sau:

∞

f(t)=D + (D e^{jnꢉ t}+ D_−ne^{− jnꢉ t})=D + (D e^{jnꢉ t}+ D^*_ne

)

− jnꢉ₀t

0

∑

0

n

0

n

n=1

∞

f(t)=C + C cos(nꢉ t+ꢙ )

∑

0

n

0

n

n=1

C₀=D₀; C_n=2|D_n|; ꢙ_n= ∠D_n

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3

3.3.1. Chuỗi Fourier

ꢀ Phꢚ cꢂa tín hiꢅu tuꢍn hoàn: chuꢀi Fourier biꢏu diꢐn tín hiꢅu tuꢍn

hoàn thành tꢚng các thành phꢍn tꢍn sꢛ. Phân bꢛ giá trꢜ cꢂa các

thành phꢍn trên thang tꢍn sꢛ gꢝi là phꢚ tꢍn sꢛ (thưꢔng gꢝi là phꢚ)

tín hiꢅu. Trong trưꢔng hꢗp tꢚng quát ngưꢔi ta dùng phꢚ biên ꢒꢞ và

phꢚ pha.

∞

1

nπ





e^{jnꢉ t}

0

f(t)=

sinc

Xét ví dꢓ trưꢎc:

∑









_n=−∞3

3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

ꢀ Các tín hiꢅu tuꢍn hoàn có nꢟng lưꢗng trong 1 chu kꢕ hꢠu hꢇn ꢒꢄu

có thꢏ biꢏu diꢐn bꢡng chuꢀi Fourier (D_nhꢠu hꢇn & nꢟng lưꢗng sai

sꢛ bꢡng 0). Thꢊc tꢋ f(t) & chuꢀi Fourier sꢖ không có sꢊ phân biꢅt

ꢒꢛi vꢎi các hꢅ thꢛng vꢈt lý vì chúng ꢒáp ꢢng trên cơ sꢘ nꢟng lưꢗng

ꢀ ꢃiꢄu kiꢅn Dirichlet: chuꢀi Fourier hꢞi tꢓ vꢄ giá trꢜ trung bình tꢇi

ꢒiꢏm gián ꢒoꢇn

ꢁ ꢃiꢄu kiꢅn 1:

D_nhꢠu hꢇn

|f(t)|dt<∞

∫

T

Không thꢣa ꢒiꢄu kiꢅn 1

f(t)=1/t; 0<t ≤1

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

4

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

ꢁ ꢃiꢄu kiꢅn 2: có sꢛ cꢊc ꢒꢇi và cꢊc tiꢏu hꢠu hꢇn trong 1 chu kꢕ

Thꢣaꢤꢃꢥꢤ1 nhưng không thꢣa 2

Ex: f(t)=sin(2π /t); 0<t ≤1

ꢁ ꢃiꢄu kiꢅn 3: có sꢛ ꢒiꢏm gián ꢒoꢇn và giá trꢜ gián ꢒoꢇn là hꢠu hꢇn

trong 1 chu kꢕ

Không thꢣaꢤꢃꢥꢤ3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

ꢀ Hiꢅn tưꢗng Gibbs: phát hiện: nhà vꢈt lý Michelson ꢂ giải thích:

nhà toán hꢝc Gibbs

9%

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

5

3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

ꢀ Tính tuyꢋn tính:

f₁(t) ↔ D_1n

f(t)=k₁f₁(t)+k₂f₂(t) ↔ D_n=k₁D_1n+ k₂D_2n

f₂(t) ↔ D_2n

ꢀ Phép dꢜch thꢔi gian:

f(t) ↔ D_n

f(t − t₀) ↔ e^{− jnꢉ t}D_n

0

ꢀ Phép ꢒꢌo thꢔi gian:

f(t) ↔ D_n

f( − t) ↔ D_−n

ꢀ Phép tꢦ lꢅ thꢔi gian:

∞

D e^{jnaꢉ t}

0

f(t) ↔ D_n

f(at) ↔ D ; f(at)=

∑

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

n

n=−∞

3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

ꢀ Nhân 2 tín hiꢅu:

∞

f₁(t) ↔ D_1n

f₂(t) ↔ D_2n

f(t)=f (t)f (t) ↔ D =

D D

1n 2(n-k)

∑

1

2

n

k=−∞

ꢀ Liên hiꢅp phꢢc:

f(t) ↔ D_n

f^*(t) ↔ D^*_−n

ꢀ ꢃꢜnh lý Parseval :

∞

1

P =

|f(t)|²dt=

|D |²

∑

f

n

∫

T

n=−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6

3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

ꢀ Xét hꢅ thꢛng LTI vꢎi ꢒáp ꢢng xung là h(t)

và f(t) là tín hiꢅu tuꢍn hoàn thꢣa ꢒiꢄu kiꢅn Dirichlet. Khi ꢒó có thꢏ

biꢏu diꢐn f(t) thành chuꢀi Fourier là tꢚng cꢂa các thành phꢍn TS e^jnωot

∞

D e^{jnꢉ t}

0

f(t)=

∑

n

n=−∞

∞

0

y(t)=f(t)∗h(t)=

D [e^{jnꢉ t}∗h(t)]

∑

n

n=−∞

∞

h(ꢧ)e^{jnꢉ (t−ꢧ)}dꢧ =

D

jnꢉ₀t

0

y(t)=

D

h(ꢧ)e^{− jnꢉ ꢧ}dꢧ e



n



0

∑

n

∫

−∞



−∞







n=−∞

∞

y(t)=

D H(nꢉ )e^{jnꢉ t}

0

H(ꢉ)= h(t)e^{− jꢉt}dt

∑

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

n

0

∫

−∞

n=−∞

3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

ꢀ Nhꢈn xét vꢄ ꢒáp ꢢng cꢂa hꢅ thꢛng LTI vꢎi tín hiꢅu tuꢍn hoàn

ꢁ y(t) cꢨng ꢒưꢗc biꢏu diꢐn dưꢎi dꢇng chuꢀi Fourier vꢎi các hꢅ sꢛ là

D_nH(nω₀) ꢂ y(t) là tín hiꢅu tuꢍn hoàn cùng tꢍn sꢛ vꢎi f(t)

ꢁ Các thành phꢍn tꢍn sꢛ khác nhau cꢂa f(t) khi qua HT LTI sꢖ bꢜ thay

ꢒꢚi khác nhau vꢄ biên ꢒꢞ và pha tùy thuꢞc vào H(ω) ꢂ HT LTI

ꢒóng vai trò là mꢞt bꢞ chꢝn lꢝc tꢍn sꢛ; H(ω): ꢒáp ꢢng tꢍn sꢛ.

ꢀ Ví dꢓ: xác ꢒꢜnh chuꢀi Fourier cꢂa ngꢣ ra HT LTI có ꢒáp ꢢng xung

h(t)=e^-2tu(t) vꢎi ngõ vào f(t) như ví dꢓ phꢍn 3.3.1 có T=π

∞

1

nπ

1





e^{jnꢉ t}; H(ꢉ)= h(t)e^{− jꢉt}dt

0

f(t)=

sinc

=

∑









∫

−∞

_n=−∞3

3

2+jꢉ

∞

1

nπ





f(t)=

sinc

e^j2nt

∑









_n=−∞6(1+jn)

3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

7

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier - Bài 6 - Trần Quang Việt