Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Lấy mẫu - Bài 9

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling)

Lecture-9

5.1. Giới thiệu

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

5.4. Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1. Giới thiệu

f(kT_s)

to DSP

f(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

1

5.1. Giới thiệu

y(kT_s)

from

DSP

i₀

y(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1. Giới thiệu

Sample/hold

∞

Sample

Hold

p(t) =

δ(t −kT )

∑

s

k=−∞

f(kT_s)

Chu kꢀ lꢁy mꢂu T_shay tꢃn sꢄ lꢁy mꢂu ω_s=2π/T_s, F_s=1/T_sphꢅi thꢆaꢇ

ꢈK nào?

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢀ Xét tín hiꢉu cꢃn lꢁy mꢂu f(t) vꢊi bꢋng tꢃn hꢌu hꢍn là B Hz

ꢀ Tín hiꢉu f(t) ꢎưꢏc lꢁy mꢂu bꢐng cách nhân vꢊi chuꢑi xung ꢎơn vꢒ

∞

f (t)=f(t)p(t)

f (t)=f(t)

ꢓ(t − nT )

f (t) =

f(nT )ꢓ(t − nT )

s s

∑

s

∑

n=−∞

∞

p(t) =

δ(t − kT )

∑

s

k=−∞

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢀ Phꢔ cꢕa tín hiꢉu ꢎã ꢎưꢏc lꢁy mꢂu

f(t) ↔ F(ꢖ)

∞

2ꢗ

p(t) ↔ P(ꢖ) =

ꢓ(ꢖ − nꢖ ); F =1/T , ꢖ =2ꢗF

s s s s s

∑

T

n=−∞

s

∞

−

1

f (t) ↔ F(ꢖ)= [F(ꢖ)∗P(ꢖ)] =

2ꢗ

F(ꢖ− nꢖ )

s

∑

T

n=−∞

s

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢀ Khôi phꢘc tín hiꢉu - ꢈꢒnh lý lꢁy mꢂu: ꢈL Nyquist, ꢈL Shannon

Low-pass Filter

ꢖ_s≥ 4ꢗB

F ≥ 2B; F =2B Nyquist rate

s s

Tín hiꢉu có phꢔ giꢊi hꢍn là B Hz có thꢙ khôi phꢘc chính

xác tꢚ các mꢂu cꢕa nó có ꢎưꢏc khi lꢁy mꢂu ꢎꢛu ꢎꢜn vꢊi

tꢄc ꢎꢝ F_s≥2B mꢂu/s. Nói cách khác tꢃn sꢄ lꢁy mꢂu nhꢆ

nhꢁt là F_s=2B Hz

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢀ Lꢁy mꢂu vꢊi bꢝ giꢌ mꢂu bꢞc không:

∞

p(t) =

δ(t −kT )

∑

s

k=−∞

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢀ Phꢔ cꢕa tín hiꢉu ꢎã ꢎưꢏc lꢁy và giꢌ mꢂu:

| F(ꢖ) |

Low-pass Filter

ꢀ Khôi phꢘc tín hiꢉu tꢚ tín hiꢉu ꢎã ꢎưꢏc lꢁy và giꢌ mꢂu:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢀ Lưu ý khi lꢁy mꢂu thꢟc tꢠ:

ꢁ Tín hiꢉu có bꢋng tꢃn hꢌu hꢍn: cꢃn lꢁy mꢂu vꢊi tꢄc ꢎꢝ lꢊn hơn

tꢄc ꢎꢝ Nyquist

Ideal Filter

Practical Filter

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢁ Tín hiꢉu thꢟc tꢠ thưꢡng có bꢋng tꢃn vô hꢍn: giꢊi hꢍn bꢋng tꢃn

bꢐng bꢝ lꢢc chꢄng chꢣng lꢁn phꢔ

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

ꢁ Tín hiꢉu thꢟc tꢠ thưꢡng có bꢋng tꢃn vô hꢍn: giꢊi hꢍn bꢋng tꢃn

bꢐng bꢝ lꢢc chꢄng chꢣng lꢁn phꢔ

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

ꢀ Mꢘc ꢎích: thiꢠt lꢞp mꢄi quan hꢉ giꢌa các mꢂu trong miꢛn thꢡi gian

vꢊi các mꢂu trong miꢛn tꢃn sꢄ

∞

1

∞

F(ꢖ)e^jꢖtdꢖ

F(ꢖ)= f(t)e^−jꢖtdt

f(t)=

∫

−∞

∫

2ꢗ

−∞

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

ꢀ Xét tín hiꢉu f(t) ꢎưꢏc lꢁy mꢂu vꢊi chu kꢀ T_s

ꢀ Xét tín hiꢉu tuꢃn hoàn f_T0(t) do lꢞp lꢍi T₀f(t) vꢊi chu kꢀ T₀:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

ꢀ Lꢁy mꢂu phꢔ tín hiꢉu ꢎã ꢎưꢏc lꢁy mꢂu vꢊi chu kꢀ ω₀

N₀mẫu

N₀=T /T =ꢖ /ꢖ₀

0

s

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

ꢀ Biꢠn ꢎꢔi DFT thuꢞn:

ꢁ Do f(t) chꢥ tꢣn tꢍi tꢚ 0 ꢎꢠn T₀(tương ꢤng vꢊi N₀mꢂu):

N₀−1

_

F(ꢖ)= f(kT )e^{− jꢖkT}

s

f (t)= f(kT )ꢓ(t − kT )

∑

s

k=0

ꢁ Mꢜt khác trong ꢎoꢍn -ω_s/2 ꢎꢠn ω_s/2 (tương ꢤng vꢊi N₀mꢂu):

_

N₀−1

_

F(ꢖ)

F(rꢖ )=T F(rꢖ )=T

f(kT )e^{− jrꢖ kT}

0

s

F(ꢖ) =

∑

0

s

0

s

T

s

k=0

ꢁ ꢈꢜt Ω₀=ω₀T_s=2π/N₀; F_r=F(rω₀): mꢂu thꢤ r cꢕa F(ω); f_k=T_sf(kT_s):

mꢂu thꢤ k cꢕa f(t); ta có:

N₀−1

f e^{−jrꢦ k}(Biꢠn ꢎꢔi DFT thuꢞn)

0

F =

∑

r

k

k=0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

8

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

ꢀ Biꢠn ꢎꢔi DFT ngưꢏc: nhân DFT thuꢞn vꢊi e^{jmꢦ r}sau ꢎó lꢁy tꢔng:

0

N₀−1

^{N −1}^{N −1}



0

F e^{jmΩ r}

=

f e^{−jrꢦ k}e^{jmΩ r}

0





∑

∑ _∑

r

k





r=0

r=0 k=0



N₀−1

^{N −1}









0

F e^{jmΩ r}

f

e^{j(m−k)ꢦ r}

0

∑

∑ ∑

^k

r=0

r





r=0

k=0

N₀−1

0; k ≠ m







F e^{jmΩ r}

=

0

∑

r

N₀f_k= N₀f_m;k = m

r=0

N₀−1

1

f_k=

F e^{jrꢦ k}

0

(Biꢠn ꢎꢔi DFT ngưꢏc)

∑

r

N₀

r=0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

ꢈưa ra bꢧi Turkey and Cooley nꢋm 1965, N₀phꢅi là lꢨy thꢚa cꢕa 2

2

Giꢅm khꢄi lưꢏng tính toán:

N₀→ N₀log N₀

N₀−1

1

F e ^{jrΩ k}F_r=

f_ke^{− jrΩ k}

Nhân: N₀

Cꢝng: N₀-1

0

f_k=

∑

r

N₀

r=0

k=0

Tꢔng cꢝng cho các hꢉ sꢄ: N₀N₀phép nhân và N₀(N₀-1) phép cꢝng

ꢀ ꢈꢜt: W_N= e^{− j 2π / N}= e^{− jΩ}

(

)

0

ꢀ Các biꢙu thꢤc DFT ꢎưꢏc viꢠt lꢍi:

N₀−1

1

F_r=

f_kW_N^krf_k=

F W ^−kr

r N₀

∑

0

N₀

k=0

r=0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

9

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

ꢀ Chia f_kthành 2 chuꢑi: chꢩn và lꢪ theo sꢄ thꢤ tꢟ:

f₀, f₄, f₆,..., f

f , f₃, f₅,..., f

N₀−1

N₀−2 1

ꢀꢁꢁꢁꢂꢁꢁꢁꢃ ꢀꢁꢁꢁꢂꢁꢁꢁꢃ

sequence g_k

sequence h_k

Biꢙu thꢤc DFT ꢎưꢏc viꢠt lꢍi:

N

⁰−1

2

(2k+1)r

F =

r

f W ^2kr

+

f

W

N₀

∑

k=0

2k N₀

2k+1

k=0

2

N₀

Ta có:

N

W =W

0

2

N

⁰−1

2

kr

f W ^kr+W ^r

f

r

2k

N₀

2k+1

= G_r+W_N^rH_r

N

W

0

⇒ F =

0

∑

k=0

2

0

k=0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

N

⁰−1

2

N

F_r= G_r+W ^rH_r

kr

⇒

⇒ F =

f W ^kr+W_N^r

f

W

0

∑

k=0

N₀

r

2k

2k+1

0

2

k=0

(0 ≤ r ≤ N₀−1)

ꢀ Do G_rvà H_rlà DFT N₀/2 ꢎiꢙm nên nó có tính tuꢃn hoàn:

N

0

G_r+= G_r& H

= H_r

0

r+

2

N

0

2

0

2

W_N^r+=W W_N

r

= e^{− jπ}W_N^r= −W_N^r

Mꢜt khác:

N₀

0

N

0

⇒ F_r+= G_r++W_N^r+H_r+

r

2

N

0

N

F

= G −W H

r N₀r

0

⇒

r+

2

0

2

N₀

F_r= G_r+W_N^rH_r; 0 ≤ r ≤ −1

2

0

⇔

N₀

F_r+= G_r−W_N^rH_r; 0 ≤ r ≤ −1

N

0

2

0

2

ꢀ Áp dꢘng tính DFT N₀=8 ꢎiꢙm:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

10

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

11

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

N₀

F_r= G_r+W_N^rH_r; 0 ≤ r ≤ −1

2

0

⇔

N₀

F_r+= G_r−W_N^rH_r; 0 ≤ r ≤ −1

N

0

2

0

2

ꢀ Sꢄ phép toán nhân và cꢝng dùng ꢎꢙ tính DFT dùng giꢅi thuꢞt FFT:

N₀

ꢁ Sꢄ phép toán nhân:

log₂N₀

2

ꢁ Sꢄ phép toán cꢝng: N₀log₂N₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

12

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Lấy mẫu - Bài 9 - Trần Quang Việt