Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier

Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier

Lecture-6

3.3. Chuỗi Fourier và tính chất

3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất

3.3.1. Chuỗi Fourier

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.1. Chuỗi Fourier

2

e^jnω⁰^t; n=0, ±1, ±2,.... và

 Xét tập tín hiệu:

T₀

ω₀

t₁T₀

jnω₀t

jmω₀t

jnω₀t

jmω₀t

(e , e )= e e dt = e^{j(n m)ω t}dt

0

Ta có:

t₁

t₁T₀

1

=

e^{j(n m)ω t}

1

0

j(n m)ω₀T₀

0 1

=

e^{j(n m)ω t}[e

1]

=0

t₁

j(n m)ω₀

t₁T₀

jnω₀t

(e^jnω⁰^t, e^jnω⁰^t)= e^jnω⁰^te dt T E

Và:

0

n

t₁

Vậy tập tín hiệu trên là không gian tín hiệu trực giao.

 Dùng kết quả phần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t)

trong khoảng t₁<t<t₁+T₀

t₁+T₀

1

f(t)e^-jnω⁰^tdt

f(t)= D_ne^{jnω t}

0

với

D_n=

t₁

T₀

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.1. Chuỗi Fourier

 Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn:

t₁+T₀

1

f(t)= D_ne^{jnω t}

jnω₀t

f(t)e dt

0

Ta có:

với

D_n=

t₁

T₀

n=

chỉ đúng trong khoảng t₁<t<t₁+T₀. Trên toàn trục thời gian:

(t)= D_ne^{jnω t}

0

(t+T₀)= D_ne^{jnω (t+T )}

(t)

0

n=

Suy ra chuỗi Fourier biểu diễn cho tín hiệu tuần hoàn. Tóm lại,

nếu f(t) tuần hoàn với chu kỳ T₀sẽ được biểu diễn bởi chuỗi

Fourier như sau:

1

2

f(t)= D_ne^{jnω t}

jnω₀t

0

D_n= f(t)e dt

ω₀

T₀

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.1. Chuỗi Fourier

 Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hoàn như hình vẽ

1

T

1

6

1

T

1

2T 1

1

D₀=

D_n=

^T¹dt

1

-T

T 3

T

1

jnω₀t

jnω₀T₁

e dt

e

(e

e^jnω⁰^T¹)

T

-T

1

T

jnω₀T

j2n

1

n

3

1

3

n

sin(nω₀T₁)

sin

sinc

n

3

1 n

e^{jnω t}

0

f(t)= sinc

3

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.1. Chuỗi Fourier

 Chuỗi Fourier lượng giác: trong trường hợp f(t) là tín hiệu thực

f(t)=f^*(t)

jnω₀t

f(t)= D_ne^{jnω t}

D^*_ne

D^*e^jnω⁰^t

0

n

n=

D^*_nD

D_nD

n

chuỗi Fourier được viết lại như sau:

jnω₀t

(D e^jnω⁰^tD e )

jnω₀t

=D₀

(D_ne^jnω⁰^tD^*_ne )

f(t)=D₀

n

n=1

f(t)=C₀

C_ncos(nω₀t+θ_n)

n=1

C₀=D₀; C_n=2|D_n|; θ_nD_n

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.1. Chuỗi Fourier

 Phổ của tín hiệu tuần hoàn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần

hoàn thành tổng các thành phần tần số. Phân bố giá trị của các

thành phần trên thang tần số gọi là phổ tần số (thường gọi là phổ)

tín hiệu. Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổ biên độ và

phổ pha.

1 n

e^{jnω t}

0

f(t)= sinc

Xét ví dụ trước:

3

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

 Các tín hiệu tuần hoàn có năng lượng trong 1 chu kỳ hữu hạn đều

có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier (D_nhữu hạn & năng lượng sai

số bằng 0). Thực tế f(t) & chuỗi Fourier sẽ không có sự phân biệt

đối với các hệ thống vật lý vì chúng đáp ứng trên cơ sở năng lượng

 Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụ về giá trị trung bình tại

điểm gián đoạn

|f(t)|dt<

. Điều kiện 1:

D_nhữu hạn

T

Không thỏa điều kiện 1

f(t)=1/t; 0<t 1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

. Điều kiện 2: có số cực đại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ

Thỏa ĐK 1 nhưng không thỏa 2

Ex:f(t)=sin(2 /t); 0<t 1

. Điều kiện 3: có số điểm gián đoạn và giá trị gián đoạn là hữu hạn

trong 1 chu kỳ

Không thỏa ĐK 3

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

 Hiện tượng Gibbs: phát hiện: nhà vật lý Michelson  giải thích:

nhà toán học Gibbs

9%

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

 Tính tuyến tính:

f₁(t) D_1n

f(t)=k₁f₁(t)+k₂f₂(t) D_n=k₁D_1nk₂D_2n

f₂(t) D_2n

 Phép dịch thời gian:

jnω₀t₀

f(t) D_n

f(t t₀) e D_n

 Phép đảo thời gian:

f(t) D_n

f( t) D

n

 Phép tỷ lệ thời gian:

f(at) D_n; f(at)= D_ne^{jnaω t}

0

f(t) D_n

n

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

 Nhân 2 tín hiệu:

f₁(t) D_1n

f(t)=f₁(t)f₂(t) D_n= D_1kD_2(n-k)

f₂(t) D_2n

k=

 Liên hiệp phức:

f^*(t) D^*

f(t) D_n

n

 Định lý Parseval :

1

P

|f(t)|²dt= |D_n|²

f

T

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

 Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung là h(t)

và f(t) là tín hiệu tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó có thể

biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier là tổng của các thành phần TS e^{jn ot}

f(t)= D_ne^{jnω t}

0

n=

y(t)=f(t) h(t)= D_n[e^jnω⁰^th(t)]

n=

y(t)= D_nh(τ)e^{jnω (t τ)}dτ

jnω₀τ

jnω₀t

0

= D_nh(τ)e dτ e

n=

y(t)= D_nH(nω₀)e^{jnω t}

0

jωt

H(ω)= h(t)e dt

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI

 Nhận xét về đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu tuần hoàn

. y(t) cũng được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier với các hệ số là

D_nH(n )  y(t) là tín hiệu tuần hoàn cùng tần số với f(t)

0

. Các thành phần tần số khác nhau của f(t) khi qua HT LTI sẽ bị thay

đổi khác nhau về biên độ và pha tùy thuộc vào H( )  HT LTI

đóng vai trò là một bộ chọn lọc tần số; H( ): đáp ứng tần số.

 Ví dụ: xác định chuỗi Fourier của ngỏ ra HT LTI có đáp ứng xung

h(t)=e^-2tu(t) với ngõ vào f(t) như ví dụ phần 3.3.1 có T=

1 n

1

e^{jnω t}; H(ω)= h(t)e dt

jωt

0

f(t)= sinc

3

2+jω

n=

1

n

y(t)=

sinc

e^j2nt

6(1+jn)

3

n=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier - Bài 6