Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Bài 11

Ch-6: Phân tích hꢀ thꢁng liên tꢆc dùng biꢂn ñꢃi Laplace

Lecture-11

6.2. Phân tích hꢀ thꢁng LTI dùng biꢂn ñꢃi Laplace

6.3. Sơ ñꢄ khꢁi và thꢅc hiꢀn hꢀ thꢁng

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2. Phân tích hꢀ thꢁng LTI dùng biꢂn ñꢃi Laplace

6.2.1. Hàm truyꢀn cꢁa hꢂ thꢃng LTI

6.2.2. Xác ñꢄnh ñáp ꢅng cꢁa hꢂ thꢃng LTI

6.2.3. Tính ꢆn ñꢄnh cꢁa hꢂ thꢃng LTI mô tꢇ bꢈi PTVP

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

1

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Hàm truyꢀn cꢁa hꢂ thꢃng LTI: xét HT LTI có ñáp ꢅng xung h(t):

Ta có: y(t)=f(t)∗h(t)

Y(s)=F(s)H(s)

H(s)=Y(s)/F(s)

Vꢉi H(s) là biꢊn ñꢆi Laplace cꢁa h(t) còn ñưꢋc gꢌi là “hàm truyꢇn”

cꢁa hꢂ thꢃng

ꢀ Biꢎu diꢏn hꢂ thꢃng LTI bꢐng hàm truyꢀn

ꢀ Hàm truyꢀn cꢁa hꢂ thꢃng LTI ghép liên tꢍng:

H(s)=H₁(s)H₂(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Hàm truyꢀn cꢁa hꢂ thꢃng LTI ghép song song:

H(s)=H₁(s)+H₂(s)

ꢀ Hàm truyꢀn cꢁa hꢂ thꢃng LTI ghép hꢑi tiꢊp:

H₁(s)

H(s)=

1+H₁(s)H₂(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Hàm truyꢀn cꢁa HT LTI nhân quꢇ mô tꢇ bꢈi phương trình vi phân

Q(D)y(t)=P(D)f(t)

D^ky(t) ↔ s^kY(s)

Q(s)Y(s)=P(s)F(s)

D^kf(t) ↔ s^kF(s)

Y(s) P(s)

=

F(s) Q(s)

H(s)=

Ví dꢒ: xác ñꢄnh hàm truyꢀn cꢁa HT LTI mô tꢇ bꢈi PTVP

(D²+2D+3)y(t)=Df(t)

P(s)

s

H(s)=

=

Q(s) s²+ 2s + 3

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Xác ñꢄnh hàm truyꢀn cꢁa hꢂ thꢃng mô tꢇ bꢈi sơ ñꢑ khꢃi

1/s

1

s+1

Y(s)

F(s)

2

Y(s)

F(s) s²+ 5s + 2

2s+1

H(s)=

=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Xác ñꢄnh hàm truyꢀn cꢁa hꢂ thꢃng mô tꢇ bꢈi sơ ñꢑ khꢃi

4

Y(s)

1

s+1

F(s)

1/s

2

Y(s)

F(s) s²+ 3s + 2

4s+1

H(s)=

=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Xác ñꢄnh hàm truyꢀn cꢁa HT mô tꢇ bꢈi mô hình vꢓt lý

x: chiꢀu cao mꢔt ñưꢕng, y: chiꢀu cao xe

d²y(t) dy(t)

+b

dx(t)

dt

∴m

+ky(t)=b

+kx(t)

dt²

dt

D²+ ^bD+ ^ky(t)= _m^bD+ _m^kx(t)

(

)

(

)

m

(b/m)s+(k/m)

s²+(b/m)s+(k/m)

(b/m)s+(k/m)

s²+(b/m)s+(k/m)

H(s) =

X(s)

Y(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Xác ñꢄnh hàm truyꢀn cꢁa HT mô tꢇ bꢈi mô hình mꢖch:

1H

y(t)

4Ω

1

3

+

-

H(s)=?

f (t)

F

ꢁ Cách 1: Tìm phương trình vi phân ꢂ H(s)

s

s²+4s+3

∴ (D²+4D+3)y(t)=Df(t)

H(s)=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢁ Cách 2: Toán tꢗ hóa sơ ñꢑ mꢖch, giꢇi mꢖch ꢂ H(s) (Nhân quꢇ)

v_R(t)=Ri_R(t)

V_R(s)=RI_R(s)

dv_c(t)

1

V_C(s)= I_C(s)

Cs

i_C(t)=C

dt

di_L(t)

v_L(t)=L

V_L(s)=LsI_L(s)

dt

n

i (t)=0

I (s)=0

KCL

KVL

∑

j

j=1

n

v (t)=0

V (s)=0

∑

j

j=1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢁ Cách 2: Toán tꢗ hóa sơ ñꢑ mꢖch, giꢇi mꢖch ꢂ H(s) (Nhân quꢇ)

1H

s

y(t)

Y(s)

4

4Ω

1

3

+

-

f (t)

F(s)

F

3/ s

F(s)

4+s+3/s

Y(s)

F(s) s²+4s+3

s

Y(s)=

⇒ H(s)=

=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Hàm truyꢀn cꢁa mꢘt sꢃ mꢖch ñiꢂn Op-amp

ꢁ Bꢘ khuꢊch ñꢖi:

R ₂

R ₁

H(s) = −

R ₂

R ₁

H(s) = 1 +

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢁ Hꢂ thꢃng bꢓc 1:

1/R C

s

H(s) = −

(Bộ tích phân)

1

R ₁C

H(s) = −

1

₂C

s +

R

1

R ₁C₁

s+

C₁

H(s) = −

C ₂

1

R ₂C ₂

s+

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢁ Hꢂ thꢃng bꢓc 2:

1

R ²C₁C ₂

H(s) =

s²+

s+

2

R C₁

1

R ²C₁C ₂

s²

H(s) =

s²+ _{R C}s+

2

1

R ₁R ₂C ²

2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7

6.2.1. Hàm truyꢇn cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢁ Mꢖch cꢘng, trꢙ:

R

V_out(s) = ²[V₂(s) − V₁(s)]

R ₁

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác ñꢉnh ñáp ꢊng cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Qui trình tìm ñáp ꢅng cꢁa hꢂ thꢃng:

f(t)

y(t)

L⁻¹[Y(s)]

LTI

∈ mô hình

L[f(t)]

Y(s)=F(s)H(s)

F(s)

H(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

8

6.2.2. Xác ñꢉnh ñáp ꢊng cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Ví dꢒ vꢀ xác ñꢄnh ñáp ꢅng cꢁa hꢂ thꢃng:

x(t)=u(t)

y(t)

L⁻¹[Y(s)]

L[u(t)]

1

1 (b/m)s+(k/m)

s s²+(b/m)s+(k/m)

(b/m)s+(k/m)

s²+(b/m)s+(k/m)

X(s)=

Y(s)=

s

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác ñꢉnh ñáp ꢊng cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Ví dꢒ vꢀ xác ñꢄnh ñáp ꢅng cꢁa hꢂ thꢃng:

y(t)= 1+e^{− t}− 2e^−2tu(t)

x(t)=u(t)

(

)

m=1, k=2, b=3

1

2

L⁻¹[ +

−

s s+1 s+2

]

L[u(t)]

1

s

3s+2

s²+3s+2

1 3s+2

s s²+3s+2

X(s)=

Y(s)=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

9

6.2.2. Xác ñꢉnh ñáp ꢊng cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Ví dꢒ vꢀ xác ñꢄnh ñáp ꢅng cꢁa hꢂ thꢃng:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác ñꢉnh ñáp ꢊng cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Ví dꢒ vꢀ xác ñꢄnh ñáp ꢅng cꢁa hꢂ thꢃng:

y(t)=1−e^−t(cos2t−¹₂sin2t)u(t)

x(t)=u(t)





m=1, k=5, b=2

₋₁1

L [ −

s+1

2

L[u(t)]

1

2

+

]

s (s+1)²+2²(s+1)²+2²

2s+5

s²+2s+5

1

s

1 2s+5

s s²+2s+5

X(s)=

Y(s)=

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

10

6.2.2. Xác ñꢉnh ñáp ꢊng cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Ví dꢒ vꢀ xác ñꢄnh ñáp ꢅng cꢁa hꢂ thꢃng:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác ñꢉnh ñáp ꢊng cꢈa hꢀ thꢁng LTI

ꢀ Xác ñꢄnh giá bꢚt ñꢍu và giá trꢄ xác lꢓp cꢁa ñáp ꢅng:

y (0 ⁺) = lim [sY (s)]

s→ ∞

lim y(t) = lim [sY (s)]

t→ ∞

s → 0

3 s+ 2

s s ²+ 3 s+ 2

Y (s)=

Ví dꢒ:

(

)

3s + 2

s s ²+ 3 s + 2

y (0 ⁺) = lim s

= 0

s → ∞

(

)

3s + 2

s s ²+ 3 s + 2

lim y (t ) = lim s

= 1

t → ∞

s → 0

(

)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

11

6.2.3. Tính ꢃn ñꢉnh cꢈa hꢀ thꢁng LTI mô tꢋ bꢌi PTVP

ꢀ Các poles cꢁa hàm truyꢀn H(s) chính là nghiꢂm cꢁa PTðT (xem

lꢖi chương 2) nên tính ꢆn ñꢄnh cꢁa hꢂ thꢃng tùy thuꢘc vào vꢄ trí cꢁa

các poles trong mꢔt phꢛng phꢅc

ꢀ Hꢂ thꢃng ꢆn ñꢄnh tiꢂm cꢓn nꢊu: tꢜt cꢇ các poles nꢐm ꢈ LHP

ꢀ Hꢂ thꢃng ꢆn ñꢄnh biên nꢊu: không có pole nào ꢈ RHP và có poles

ñơn trên trꢒc ꢇo

ꢀ Hꢂ thꢃng không ꢆn ñꢄnh nꢊu có

mꢘt trong 2 ðK: có pole ꢈ RHP hoꢔc

có pole lꢔp trên trꢒc ꢇo.

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3. Sơ ñꢄ khꢁi và thꢅc hiꢀn hꢀ thꢁng

6.3.1. Thꢝc hiꢂn hꢂ thꢃng ꢈ mꢅc sơ ñꢑ khꢃi

6.3.2. Thꢝc hiꢂn hꢂ thꢃng bꢐng mꢖch ñiꢂn Op-amp

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

12

6.3.1. Thꢅc hiꢀn hꢀ thꢁng ꢌ mꢊc sơ ñꢄ khꢁi

b_ms^m+b_m-1s^m-1+...+b₁s+b₀

sⁿ+a_n-1s^n-1+...+a₁s+a₀

H(s)=

ꢀ Xét hꢂ thꢃng vꢉi hàm truyꢀn:

ꢀ Ta có thꢎ thꢝc hiꢂn hꢂ thꢃng theo 3 cách khác nhau:

a) Dꢖng trꢝc tiꢊp

b) Dꢖng ghép liên tꢍng

c) Dꢖng ghép song song

ꢃ Dꢝa trên cơ sꢈ bꢘ tích phân hoꢔc vi phân + khuꢊch ñꢖi & bꢘ cꢘng

ꢃ Thꢝc tꢊ không dùng bꢘ vi phân ꢂ không ꢆn ñꢄnh!!!

ꢀ Nꢊu m>n ꢂ H(s) là bꢘ vi phân bꢓc m-n ꢂ không xét trên thꢝc tꢊ!!!

ꢀ Bài toán tꢆng quát trên thꢝc tꢊ m≤n – tꢆng quát m=n:

b_nsⁿ+b_n-1s^n-1+...+b₁s+b₀

H(s)=

sⁿ+a_n-1s^n-1+...+a₁s+a₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Dꢍng trꢅc tiꢂp (dꢍng chính tꢎc)

b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀

s³+a₂s²+a₁s+a₀

H(s)=

ꢀ Xét hàm truyꢀn bꢓc 3:

b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀

s³+a₂s²+a₁s+a₀

F(s)

Y(s)

1

X(s)

b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀

Y(s)

s³+a₂s²+a₁s+a₀

H₁(s)=X(s)/F(s)

H₂(s)=Y(s)/X(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

13

a) Dꢍng trꢅc tiꢂp (dꢍng chính tꢎc)

1

X(s)

Y(s)

X(s)

H₂(s)=b₃s³+b₂s²+b₁s+b₀=

H₁(s)=

=

s³+a₂s²+a₁s+a₀F(s)

s³X (s)

F(s)

b₃

Y(s)

+

-

1

s

a₂

b₂

s²X (s)

1

s

a₁

b₁

sX(s)

X(s)

1

s

a₀

b₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Dꢍng trꢅc tiꢂp (dꢍng chính tꢎc)

b_nsⁿ+b_n-1s^n-1+...+b₁s+b₀

sⁿ+a_n-1s^n-1+...+a₁s+a₀

ꢀ Tꢆng quát cho hàm truyꢀn bꢓc n:

H(s)=

sⁿX(s)

F(s)

b_n

Y(s)

+

- -

+

-

1

s

b_{n −1}

a_{n −1}

s

ⁿ⁻¹X(s)

1

s

a_{n − k}

b_{n − k}

s^n−kX(s)

1

s

sX(s)

X(s)

a₁

b₁

b₀

1

s

a₀

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

14

a) Dꢍng trꢅc tiꢂp (dꢍng chính tꢎc)

ꢀ Ví dꢒ: Vꢞ sơ ñꢑ khꢃi thꢝc hiꢂn hꢂ thꢃng sau

5

s

s+5

s+7

4s+28

s²+6s+5

a)

; c)

; b)

; d)

s+2

s+7

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

b) Dꢍng ghép liên tꢏng

4s+28

s²+6s+5

ꢀ Ví dꢒ 1: xét hꢂ thꢃng sau:

H(s)=

4s+28

1







 

 

 





H(s)=

F(s)



s+1

s+5

4s+28

s+1

1

Y(s)

s+5

7s²+37s+51

(s+2)(s+3)²

H(s)=

ꢀ Ví dꢒ 2: xét hꢂ thꢃng sau:

Thꢝc hiꢂn như thꢊ nào?

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

15

c) Dꢍng ghép song song

4s+28

s²+6s+5

ꢀ Ví dꢒ 1: xét hꢂ thꢃng sau:

H(s)=

6

2

H(s)=

F(s)

−

s+1 s+5

6/(s+1)

+

Y(s)

-

2/(s+5)

7s²+37s+51

(s+2)(s+3)²

H(s)=

ꢀ Ví dꢒ 2: xét hꢂ thꢃng sau:

Thꢝc hiꢂn như thꢊ nào?

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

d) Kꢂt hꢐp liên tꢏng và song song

ꢀ Thꢝc hiꢂn H(s) có nghiꢂm lꢔp lꢖi:

7s²+37s+51

(s+2)(s+3)²

H(s)=

Ví dꢒ: xét hꢂ thꢃng sau:

5

2

3

H(s)=

+

−

s+2 s+3 (s+3)²

5/(s+2)

F(s)

2

+

Y(s)

-

1/(s+3)

3

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

16

d) Kꢂt hꢐp liên tꢏng và song song

ꢀ Thꢝc hiꢂn H(s) có các cꢝc liên hiꢂp phꢅc:

10s+50

(s+3)(s²+4s+13)

Ví dꢒ: xét hꢂ thꢃng sau:

H(s)=

2

1+j2

1-j2

Không

thꢝc

hiꢂn

H(s)=

-

s+3 s+2-j3 s+2+j3

2

2s-8

ñưꢋc

-

s+3 s²+4s+13

2/(s+3)

F(s)

+

Y(s)

2s-8

s²+4s+13

Thꢝc hiꢂn theo dꢖng trꢝc tiꢊp

Thꢝc hiꢂn nhꢕ hꢂ thꢃng bꢓc 2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3.2. Thꢅc hiꢀn hꢀ thꢁng bꢑng mꢍch ñiꢀn Op-amp

2s+5

s²+4s+10

Ví dꢒ: thꢝc hiꢂn hꢂ thꢃng có hàm truyꢀn

mꢖch ñiꢂn Op-amp

bꢐng

H(s)=

ꢀ Bưꢉc 1: Vꢞ sơ ñꢑ khꢃi dꢖng trꢝc tiꢊp (chính tꢚc)

Lưu ý: mꢖch cꢘng dùng Op-amp thꢝc hiꢂn như sau:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

17

6.3.2. Thꢅc hiꢀn hꢀ thꢁng bꢑng mꢍch ñiꢀn Op-amp

ꢀ Bưꢉc 2: Thay ñꢆi sơ ñꢑ khꢃi ñꢎ có thꢎ dùng mꢖch Op-amp

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3.2. Thꢅc hiꢀn hꢀ thꢁng bꢑng mꢍch ñiꢀn Op-amp

ꢀ Bưꢉc 3: Vꢞ mꢖch thꢝc hiꢂn

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

18

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Bài 11 - Trần Quang Việt