Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự - Bài 14 - Trần Quang Việt
Ch-7: ꢀáp ꢁng tꢂn sꢃ cꢄa hꢅ thꢃng LTI và thiꢆt kꢆ bꢇ lꢈc tưꢉng tꢊ
Lecture-14
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
7.5. Các phép biꢆn ꢋꢌi tꢂn sꢃ
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.2. Bꢇ lꢈc Butterworth
Trên thꢀc tꢁ ngưꢂi ta tìm ꢃưꢄc các phép biꢁn ꢃꢅi ꢃꢆ thiꢁt
kꢁ bꢇ lꢈc thông cao, thông dãi, chꢉn dãi dꢀa vào bꢇ lꢈc
thông thꢊp ꢀ Tꢋp trung khꢌo sát thiꢁt kꢁ bꢇ lꢈc thông
thꢊp (xem như bꢇ lꢈc mꢍu – Prototype Filter)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
1
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
ꢁ ꢀáp ꢁng biên ꢂꢃ cꢄa bꢃ lꢅc thông thꢆp Butterworth bꢇc n:
1
| H ( jω) |=
2n
ω
1 +
(ω )
c
ꢂ Tꢈi tꢉn sꢊ ωc, ꢂáp ꢁng biên ꢂꢃ bꢋng 1/(2)1/2 hoꢌc -3dB ꢀ công
suꢆt suy giꢍm ½ : gꢅi là tꢉn sꢊ cꢎt, tꢉn sꢊ 3dB hoꢌc tꢉn sꢊ ½
công suꢆt
ꢂ Trong thiꢏt kꢏ, ta dùng ꢂáp ꢁng chuꢐn hóa (ωc=1) như sau:
1
| H( jω)|=
1+ω2n
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
ꢂ ꢀáp ꢁng biên ꢂꢃ cꢄa bꢃ lꢅc chuꢐn hóa:
1
| H( jω)|=
1+ω2n
ꢁ Xác ꢂꢑnh hàm truyꢒn cꢄa bꢃ lꢅc chuꢐn hóa:
H( jω)H(− jω) =
s = jω H(s)H(−s) =
1
1
1+ω2n
1+(s/ j)2n
s2n = −( j)2n
Các poles cꢄa H(s)H(-s) phꢍi thꢓa:
−1= ejπ (2k−1)
j = e jπ / 2
s2n =ejπ(2k+n−1)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
Vꢇy các poles cꢄa H(s)H(-s) là:
( 2 k +n−1)
jπ
sk = e 2 n
; k = 1, 2,3,..., 2n
ꢖꢗ
ꢚ
ꢖꢗ
ꢚ
H(s)
H(-s)
H(s)
H(-s)
ꢙ
ꢙ
ꢘꢙ
ꢔꢕ
ꢘꢙ
ꢔꢕ
ꢘꢚ
ꢘꢚ
( 2 k + n−1)
jπ
2 n
Kꢆt luꢍn: n poles cꢄa H(s):
sk = e
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
; k = 1, 2, 3,..., n
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
Vꢇy H(s) có dꢈng:
1
H(s) =
(s − s1)(s − s2 )(s − s3 )...(s − sn )
jπ
( 2 k +n−1)
sk = e 2 n
; k = 1, 2,3,..., n
ꢖꢗ
ꢚ
ꢝꢙ
Ví dꢎ: xét trưꢛng hꢜp n=4
s =ej5π /8 = −0.3827+ j0.9239
ꢝꢞ
1
s2 =ej7π /8 = −0.9239+ j0.3827
s2 =ej9π /8 = −0.9239− j0.3827
ꢔꢕ
ꢘꢙ
ꢝꢟ
s =ej11π /8 = −0.3827− j0.9239
1
ꢘꢚ
ꢝꢠ
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
H(s)=
1
(s+0.3827− j0.9239)(s+0.3827+ j0.9239)(s+0.9239− j0.3827)(s+0.9239+ j0.3827)
1
H(s) =
H(s) =
⇒
⇒
(s2 +0.7654s+1)(s2 +1.8478s+1)
1
s4 +2.6131s3 +3.4142s2 +2.6131s+1
Làm tương tꢡ ta có thꢢ tính ꢂưꢜc cho trưꢛng hꢜp bꢇc n bꢆt kꢣ:
1
1
H(s) =
=
Bn (s) sn + an−1sn−1 +...+ a1s +1
Bn(s): Gꢈi là ꢋa thꢁc Butterworth!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+an-1sn-1+…+a1s+1
n
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
1
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
Butterworth Polynominal in Factorized Form
n
Bn(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
ꢁ Xác ꢂꢑnh hàm truyꢒn H(s) cꢄa bꢃ lꢅc:
s ← s/ωc
H(s)
H(s)
Thiꢏt kꢏ bꢃ lꢅc Butterworth bꢇc 2 vꢤi ωc=10
s ← s/ωc
1
1
H(s) =
H(s)=
s2 + 2s +1
2 + 2
+1
s
s
(10 )
(10 )
100
s2 +10 2s+100
⇒
H(s)=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
5
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
ꢁ Xác ꢂꢑnh bꢇc n cꢄa bꢃ lꢅc và ωc theo các yêu cꢉu thiꢏt kꢏ:
2 n
ω x
G x = −10 log10 1 +
ꢂ ꢀꢃ lꢜi (dB) tꢈi tꢉn sꢊ ωx:
ωc
ω p
2 n
ꢂ ꢀꢃ lꢜi (dB) tꢈi tꢉn sꢊ ωp:
G p ≤ −10 log10 1 +
≤ 0
ω c
2 n
ω s
ωc
ꢂ ꢀꢃ lꢜi (dB) tꢈi tꢉn sꢊ ωs:
0 ≥ Gs ≥ −10 log10 1 +
2 n
ω p
ω
/10
≤ 10− G
≥ 10 − G
− 1
− 1
p
/10
/10
10− G
10− G
− 1
− 1
s
2 n
c
ω s
ω
⇒
≥
⇒
2 n
p
p
ω s
(ω )
/1 0
s
c
/10
− 1) /(10 − G
− 1)
− G s /10
p
log (10
⇒
⇒
n ≥
2 log(ω s / ω p )
ω p
/10
ωs
(10−G /10 −1)1/ 2n
ωc ≥
ωc ≤
(10− G
− 1)1/ 2 n
p
s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
ꢁ Các bưꢤc thiꢏt kꢏ bꢃ lꢅc thông thꢆp Butterworth:
Ví dꢎ: Thiꢀt kꢀ bꢁ lꢂc thông thꢃp Butterworth thꢄa mãn các yêu cꢅu
sau: ꢆꢁ lꢇi dãi thông (0≤ω<10) không nhꢄ hơn -2dB; ꢈꢁ lꢇi dãi
chꢉn (ω≥20) không vꢊꢇt quá -20dB
/10
− 1) /(10 − G
− G s /10
p
log (10
− 1)
n ≥
ꢂ Bưꢤc 1: Xác ꢂꢑnh
2 log(ω s / ω p )
ꢂ Bưꢤc 2: Xác ꢂꢑnh ωc:
ω p
ωs
ωc ≥
ωc ≤
và
(10− G
− 1)1/ 2 n
/10
(10−G /10 −1)1/ 2n
p
s
ꢂ Bưꢤc 3: Xác ꢂꢑnh H(s): dùng n (bưꢤc 1) tra bꢍng (hoꢌc tính)
s ← s/ωc
ꢂ Bưꢤc 4: Xác ꢂꢑnh H(s):
H(s)
H(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6
7.3. Bꢇ lꢈc Butterworth
2
lo g (1 0 − 1) /(1 0 0 .2 − 1)
= 3 .7 0 1
ꢂ Bưꢤc 1:
ꢂ Bưꢤc 2:
n ≥
ω c
ω c
ꢀ chꢅn n=4
2 lo g 2
1 0
(1 0 0 .2 − 1)1 / 8
2 0
≥
≤
= 1 0 .6 9 4
ꢀ chꢅn ωc=11
= 1 1 .2 6
(1 0 2 − 1)1 / 8
8
10
(11 )
= −10 log10 1 +
G
= −1.66dB > −2dB
= −20.8dB < −20dB
(
)
p
design
8
20
= −10 log10 1 +
( 11 )
G
( )
s
design
1
H (s) =
H (s) =
ꢂ Bưꢤc 3:
ꢂ Bưꢤc 4:
(s 2 + 0.76536686s + 1)(s 2 + 1.84775907 s + 1)
1
2
2
s
s
s
s
[
+ 0.76536686
+1][
+1.84775907
+1]
(11 )
(11 )
(11 )
(11 )
14641
(s2 + 8.41903546s + 121)(s2 + 20.32534977s +121)
⇒ H (s) =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
ꢁ ꢀáp ꢁng biên ꢂꢃ cꢄa bꢃ lꢅc thông thꢆp Chebyshev:
1
| H ( jω ) |=
1 + ε 2Cn2 ( ωω )
c
ꢂ Trong thiꢏt kꢏ, ta dùng ꢂáp ꢁng chuꢐn hóa (ωc=1):
1
| H ( jω ) |=
2
1 + ε C n (ω )
2
ꢂ Vꢇy khi có H(s) ꢀ H(s) bꢋng cách:
s ← s/ωc
H(s)
H(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
ꢁ Xét ꢂáp ꢁng biên ꢂꢃ cꢄa bꢃ lꢅc thông thꢆp chuꢐn hóa Chebyshev :
1
| H( jω) |=
1+ ε 2Cn2 (ω)
C (ω ) = cos n cos−1 ω
;| ω |< 1
n
C (ω ) = cosh n cosh −1 ω
;| ω |> 1
n
Cn(ω) là mꢃt ꢂa thꢁc thꢓa tính chꢆt sau:
C n (ω ) = 2ω C n −1 (ω ) − C n − 2 (ω ); n ≥ 2
⇒ C2 (ω ) = 2ω 2 − 1
C0 (ω ) = 1
C1 (ω ) = ω
và
Có:
Mꢇt cách tưꢉng tꢊ ta có thꢏ tính ꢋưꢐc bꢑng Cn(ω)!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
Chebyshev Polyminals
n
C n (ω )
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
8
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
1
| H( jω) |=
ꢁ ꢀáp ꢁng biên ꢂꢃ bꢃ lꢅc Chebyshev:
1+ ε 2Cn2 (ω)
ω p ≡ ωc
Pass-band
Pass-band
ꢀꢃ gꢜn r (ꢀꢃ lơi max/ꢀꢃ lơi min) trong dãi thông:
r = 10log10 (1+ ε 2 ) (dB)
-r ↔Gp (Butterworth)
(dB)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
ꢁ Xác ꢂꢑnh ε và bꢇc(n) cꢄa bꢃ lꢅc Chebyshev thꢓa yêu cꢉu thiꢏt kꢏ:
= 10 log10 (1 + ε 2 ) ≤ r
r /10
r
⇒
ꢂ Xác ꢂꢑnh ε: ( )
ε ≤ 10
−1
design
2
2
ω
ꢂ ꢀꢃ lꢜi tꢈi tꢉn sꢊ ω: G = −10 log10 [1 + ε C n ( ω )]
p
ω s
− 10 log [1 + ε C ( )]
2
2
ꢂ ꢀꢃ lꢜi tꢈi tꢉn sꢊ ωs:
≤ G s
1 / 2
≤ 0
10
n
ω
p
− G / 1 0
s
1 0
− 1
ω
− 1
s
c o s h n c o s h
⇒
(ω )
≥
1 0 r / 1 0 − 1
p
− G s / 1 0
1 / 2
1
1 0
1 0 r / 1 0 − 1
− 1
⇒
n ≥
c o sh − 1
c o s h − 1 ω / ω
(
)
s
p
/10
10 − G
− 1
s
⇒ ε ≥
cosh[n cosh − 1 (ω s / ω p )]
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
9
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
ꢁ Xác ꢂꢑnh hàm truyꢒn H(s) cꢄa bꢃ lꢅc:
Ngưꢛi ta tính ꢂưꢜc các poles cꢄa H(s) như sau:
(2 k − 1)π
2 n
(2 k − 1)π
sk = − sin
sinh x + j cos
cosh x
2 n
k = 1, 2, 3,..., n
ꢖꢗ
H(s)
H(-s)
1
1
x = sinh − 1
n
ε
ꢥꢦꢦ
ꢥꢦꢦ
a = sinh x; b = cosh x
ꢔꢕ
ꢥꢦꢦ
ꢥꢦꢦ
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
K n
⇒
⇒
H (s) =
H (s) =
(s − s1 )(s − s2 )...(s − sn )
K n
K n
=
Cn' (s) sn + an−1sn−1 + ... + a1s + a0
Kn ꢂưꢜc lꢡa chꢅn ꢂꢢ bꢍo ꢂꢍm ꢂꢃ lꢜi DC:
a
n odd
0
K =
a0
1+ε2
n
n even
ꢀꢏ viꢅc thiꢆt kꢆ ꢋưꢐc ꢋꢉn giꢑn, ngưꢒi ta thành lꢍp bꢑng C’n(s)
hoꢓc giá trꢔ cꢄa các poles vꢕi mꢇt sꢃ ꢋꢇ gꢐn r thưꢒng gꢓp ꢀ
Tra bꢑng!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
10
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
Cn' = sn + an−1sn−1 + a
n−2
s
+ ... + a1s + a0
n−2
n
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
0.5 dB ripple
r = 0.5dB
1 dB ripple
r = 1dB
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
n−2
Cn' = sn + an−1sn−1 + a
s
+ ... + a1s + a0
n−2
n
a0
a1
a2
a3 a4
a5
a6
2 dB ripple
r = 2dB
3 dB ripple
r = 3dB
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations
n
r = 0.5dB
r = 1dB
r = 2dB
r = 3dB
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations
n
r = 0.5dB
r = 1dB
r = 2dB
r = 3dB
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
12
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
ꢁ Các bưꢤc thiꢏt kꢏ bꢃ lꢅc thông thꢆp Chebyshev:
Ví dꢎ: Thiꢀt kꢀ bꢁ lꢂc thông thꢃp Chebyshev thꢄa mãn các yêu cꢅu
sau: r trong dãi thông (0≤ω≤10) ≤ 2dB; ꢈꢁ lꢇi dãi chꢉn (ω≥20)
Gs≤ -20dB
−Gs /10
1/ 2
1
10
− 1
ꢂ Bưꢤc 1: Xác ꢂꢑnh: n ≥
cosh −1
10r /10 − 1
cosh −1 ω / ω
(
)
s
p
/10
10 − G
− 1
s
≤ ε ≤ 10 r /10 − 1
ꢂ Bưꢤc 2: Chꢅn ε:
cosh[n cosh −1 (ω s / ω p )]
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
Nꢏu ε sao cho r=0.5dB, 1dB, 2dB hoꢌc 3dB ꢀ tra bꢍng C’n(s);
nꢏu không thꢓa ꢀ tính C’n(s):
( 2 k −1)π
( 2 k −1)π
cosh x
2 n
sk = − sin
sinh x + j cos
2 n
−1
1
n
1
(ε )
k = 1, 2,3,..., n; x = sinh
Cn' (s) = (s − s1 )(s − s2 )...(s − sn )
K n
Cn' (s)
ꢂ Bưꢤc 3: Xác ꢂꢑnh H(s):
H (s) =
a
n odd
0
K =
a0
1+ε 2
n
n even
s ←s/ωp
H(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
ꢂ Bưꢤc 4: Xác ꢂꢑnh H(s):
H(s)
13
7.4. Bꢇ lꢈc Chebyshev
1 / 2
1
1 0 2 − 1
1 0 0 .2 − 1
ꢂ Bưꢤc 1: n ≥
co sh − 1
= 2 .4 7 3 ꢀ chꢅn n=3
c o sh − 1 ( 2 )
10 2 − 1
cosh[3 cosh −1 (2)]
≤ ε ≤ 100.2 − 1
ꢂ Bưꢤc 2:
⇔ 0.382 ≤ ε ≤ 0.764
ꢀ chꢅn ε=0.764 ꢀ (r)design=2dB
Tra bꢍng: Cn' (s) = s3 + 0.7378s2 + 1.0222s + 0.3269
ꢂ Bưꢤc 3: n odd ⇒ K n = a0 = 0.3269
0.3269
⇒
H (s) =
s3 + 0.7378s2 + 1.0222s + 0.3269
0.3269
2
ꢂ Bưꢤc 4:
H (s) =
3
s
(10 )
s
(10 )
s
+ 1.0222 10 + 0.3269
+ 0.7378
326.9
s3 + 7.378s 2 + 102.22s + 326.9
⇒
H (s) =
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biꢆn ꢋꢌi tꢂn sꢃ
ꢁ Bꢃ lꢅc thông cao (High-pass Filter):
Prototype Filter
Stop-band
Pass-band
High-pass Filter
ωp
s ←T(s)
Hp (s)
H(s)
T(s) =
s
Ví dꢎ 1: Thiꢀt kꢀ bꢁ lꢂc thông cao Chebyshev thꢄa mãn các yêu cꢅu
sau: r trong dãi thông (ω≥200) ≤ 2dB; ꢈꢁ lꢇi dãi chꢉn (ω≤100)
Gs≤ -20dB?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
14
7.5. Các phép biꢆn ꢋꢌi tꢂn sꢃ
ꢁ Bꢃ lꢅc thông dãi (Band-pass Filter):
Prototype Filter
Band-pass
Filter
Stop-band
Pass-band
ωp1ωp2 −ωs21 ωs22 −ωp1ωp2
ω = min
;
ω ω −ω ω ω −ω
s
(
)
(
)
s1
p2
p1
s2
p2
p1
s2 +ωp1ωp2
s ←T(s)
T(s) =
Hp (s)
H(s)
(ωp2 −ωp1)s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biꢆn ꢋꢌi tꢂn sꢃ
Ví dꢎ 2: Thiꢀt kꢀ bꢁ lꢂc thông dãi Chebyshev thꢄa mãn các yêu cꢅu
sau: r trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≤ 1dB; ꢈꢁ lꢇi dãi chꢉn
(ω≤450 hoꢋc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
Ví dꢎ 3: Thiꢀt kꢀ bꢁ lꢂc thông dãi Butterworth thꢄa mãn các yêu cꢅu
sau: ꢆꢁ lꢇi trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≥ -1dB; ꢈꢁ lꢇi dãi chꢉn
(ω≤450 hoꢋc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
15
7.5. Các phép biꢆn ꢋꢌi tꢂn sꢃ
ꢁ Bꢃ lꢅc chꢎn dãi (Band-stop Filter):
Band-stop
Filter
Prototype Filter
Pass-band
Stop-band
ω ω −ω ω ω −ω
s1
p2
p1
s2
p2
p1
ω = min
;
s
ωp1ωp2 −ωs21 ωs22 −ωp1ωp2
(ωp2 −ωp1)s
s2 +ωp1ωp2
s ←T(s)
T(s) =
Hp (s)
H(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biꢆn ꢋꢌi tꢂn sꢃ
Ví dꢎ 4: Thiꢀt kꢀ bꢁ lꢂc chꢉn dãi Butterworth thꢄa mãn các yêu cꢅu
sau: ꢆꢁ lꢇi trong dãi chꢉn (100≤ω≤150) ≤ -20dB; ꢈꢁ lꢇi dãi thông
(ω≤60 hoꢋc ω≥260) ≥ -2.2dB?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
16
16 trang
29/04/2022
4100
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự - Bài 14 - Trần Quang Việt", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_chuong_7_dap_ung_tan_so_cua_h.pdf
