Bài giảng Tín hiệu và hệ thống

404001 - Tín hiꢀu và hꢀ thꢁng

Lecture-16

ꢀꢁꢂ ꢃꢄꢅ ꢆꢇꢄ ꢈꢉ ꢊꢋ ꢌꢍ ꢎꢏꢐ ꢆưꢑꢄꢅ ꢆꢒ

ꢀ ꢂáp ꢃng tꢄn sꢁ cꢅa hꢀ thꢁng LTIC

ꢀ Biꢆu ꢇꢈ Bode

ꢀ Thiꢉt kꢉ bꢊ lꢋc tưꢌng tꢍ

ꢀ Bꢊ lꢋc Butterworth

ꢀ Bꢊ lꢋc Chebyshev

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biꢆu ꢇꢈ Bode

10(s +100)

H(s) =

ꢀ Ví dụ 2:

(s²+ 2s +100)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1

Biꢆu ꢇꢈ Bode

H(s) =

10(s +100)

(s²+ 2s +100)

ꢀ Ví dụ 2:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Thiꢉt kꢉ bꢊ lꢋc tưꢌng tꢍ

ꢀ Bꢀ lꢁc thꢂc tꢃ và các yêu cꢄu thiꢃt kꢃ

ꢀ Sꢂ phꢅ thuꢀc cꢆa ꢇáp ꢈng tꢄn sꢉ theo poles và zeros

ꢀ Thiꢃt kꢃ bꢀ lꢁc bꢊng cách bꢉ trí các poles và zeros

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2

Bꢊ lꢋc thꢍc tꢉ và các yêu cꢄu thiꢉt kꢉ

ꢋꢌꢍꢎ ꢏꢋ

ꢒ

ꢐ_ꢑ

Lowpass

filter

Highpass

filter

ꢐ_ꢓ

ꢔ

ꢐ_ꢓ

ꢔ

ꢓ

ꢑ

ꢓ

ꢚꢛꢜꢑꢗꢖꢘꢙ

ꢕꢖꢓꢓꢗꢖꢘꢙ

ꢋꢌꢍꢎ ꢏꢋ

ꢚꢛꢜꢑꢗꢖꢘꢙ

ꢋꢌꢍꢎ ꢏꢋ

ꢒ

ꢐ_ꢑ

Bandstop

filter

Bandpass

filter

ꢐ_ꢓ

ꢔ

ꢐ_ꢓ

ꢔ

ꢓꢝ

ꢓꢒ

ꢑꢒ

ꢓꢝ

ꢑꢝ

ꢓꢒ

ꢑꢒ

ꢕꢖꢓꢓꢗꢖꢘꢙ

ꢚꢛꢜꢑꢗꢖꢘꢙ

ꢕꢖꢓꢓꢗꢖꢘꢙ

ꢚꢛꢜꢑꢗꢖꢘꢙ

ꢕꢖꢓꢓꢗꢖꢘꢙ

ꢚꢛꢜꢑꢗꢖꢘꢙ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Xét hꢞ thꢉng vꢟi hàm truyꢠn H(s):

P(s)

Q(s)

(s − z₁)(s − z₁)...(s − z_n)

ⁿ(s − λ₁)(s − λ₁)...(s − λ_n)

H(s) =

= b

Khꢡo sát ꢇáp ꢈng tꢄn sꢉ ꢁ s=jω:

ꢢꢣ

ꢦ_ꢒ

r r ...r_n

1 2

ꢧ_ꢒ

ꢎ

| H ( jω) |=

ꢙ_ꢒ

d₁d₂...d_n

ꢧ_ꢒ

ꢙ_ꢝ

ꢤꢥ

∠H( jω) =φ +φ₂+...+φ_n

ꢔ

ꢦ_ꢝ

1

−θ₁−θ₂−...−θ_n

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Tꢨng ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt pole:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Tꢨng ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt pole:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Tꢨng ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt pole:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Tꢨng ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt pole:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Tꢨng ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt pole:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Giꢡm ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt zero:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Giꢡm ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt zero:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Giꢡm ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt zero:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Giꢡm ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt zero:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Sꢍ phꢎ thuꢊc cꢅa ꢇáp ꢃng tꢄn sꢁ theo poles và zeros

ꢀ Giꢡm ꢇꢀ lꢩi bꢊng mꢀt zero:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8

Thiꢉt kꢉ bꢊ lꢋc bꢏng cách bꢁ trí các poles và zeros

ꢀ Bꢀ lꢁc thông thꢪp:

Butterworth

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Thiꢉt kꢉ bꢊ lꢋc bꢏng cách bꢁ trí các poles và zeros

ꢀ Bꢀ lꢁc thông cao:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9

Thiꢉt kꢉ bꢊ lꢋc bꢏng cách bꢁ trí các poles và zeros

ꢀ Bꢀ lꢁc thông dãi:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Thiꢉt kꢉ bꢊ lꢋc bꢏng cách bꢁ trí các poles và zeros

ꢀ Bꢀ lꢁc chꢫn dãi:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10

Thiꢉt kꢉ bꢊ lꢋc bꢏng cách bꢁ trí các poles và zeros

Trên thꢀc tꢁ ngưꢂi ta tìm ꢃưꢄc các phép biꢁn ꢃꢅi ꢃꢆ thiꢁt

kꢁ bꢇ lꢈc thông cao, thông dãi, chꢉn dãi dꢀa vào bꢇ lꢈc

thông thꢊp ꢁ Tꢋp trung khꢌo sát thiꢁt kꢁ bꢇ lꢈc thông

thꢊp (xem như bꢇ lꢈc mꢍu – Prototype Filter)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bꢊ lꢋc Butterworth

ꢀ ꢬáp ꢈng biên ꢇꢀ cꢆa bꢀ lꢁc thông thꢪp Butterworth bꢭc n:

1

| H ( jω) |=

2n

ω

1 +

(_ω)

c

ꢂ Tꢮi tꢄn sꢉ ω_c, ꢇáp ꢈng biên ꢇꢀ bꢊng 1/(2)^1/2hoꢯc -3dB ꢁ công

suꢪt suy giꢡm ½ : gꢁi là tꢄn sꢉ cꢫt, tꢄn sꢉ 3dB hoꢯc tꢄn sꢉ ½

công suꢪt

ꢂ Trong thiꢃt kꢃ, ta dùng ꢇáp ꢈng chuꢰn hóa (ω_c=1) như sau:

1

| H( jω)|=

1+ω²ⁿ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11

Bꢊ lꢋc Butterworth

ꢂ ꢬáp ꢈng biên ꢇꢀ cꢆa bꢀ lꢁc chuꢰn hóa:

1

| H( jω)|=

1+ω²ⁿ

ꢀ Xác ꢇꢱnh hàm truyꢠn cꢆa bꢀ lꢁc chuꢰn hóa:

H( jω)H(− jω) =

^{s = jω}H(s)H(−s) =

1

1+ω²ⁿ

1+(s/ j)²ⁿ

s²ⁿ= −( j)²ⁿ

Các poles cꢆa H(s)H(-s) phꢡi thꢲa:

−1= e^{jπ (2k−1)}

j = e ^{jπ / 2}

s²ⁿ=e^{jπ(2k+n−1)}

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bꢊ lꢋc Butterworth

Vꢭy các poles cꢆa H(s)H(-s) là:

( 2 k +n−1)

jπ

s_k= e ^{2 n}

; k = 1, 2,3,..., 2n

ꢢꢣ

ꢎ

H(s)

H(-s)

H(s)

H(-s)

ꢒ

ꢳꢒ

ꢤꢥ

ꢳꢒ

ꢤꢥ

ꢳꢎ

( 2 k + n−1)

jπ

2 n

Kết luận: n poles của H(s):

s_k= e

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

; k = 1, 2, 3,..., n

12

Bꢊ lꢋc Butterworth

Vꢭy H(s) có dꢮng:

1

H(s) =

(s − s₁)(s − s₂)(s − s₃)...(s − s_n)

jπ

( 2 k +n−1)

s_k= e ^{2 n}

; k = 1, 2,3,..., n

ꢢꢣ

ꢎ

ꢓ_ꢒ

Ví dụ: xét trưꢴng hꢩp n=4

s =e^{j5π /8}= −0.3827+ j0.9239

ꢓ_ꢝ

1

s₂=e^{j7π /8}= −0.9239+ j0.3827

s₂=e^{j9π /8}= −0.9239− j0.3827

ꢤꢥ

ꢳꢒ

ꢓ_ꢵ

s =e^{j11π /8}= −0.3827− j0.9239

1

ꢳꢎ

ꢓ_ꢶ

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bꢊ lꢋc Butterworth

1

H(s)=

(s+0.3827− j0.9239)(s+0.3827+ j0.9239)(s+0.9239− j0.3827)(s+0.9239+ j0.3827)

1

H(s) =

⇒

(s²+0.7654s+1)(s²+1.8478s+1)

1

s⁴+2.6131s³+3.4142s²+2.6131s+1

Làm tương tꢂ ta có thꢷ tính ꢇưꢩc cho trưꢴng hꢩp bꢭc n bꢪt kꢸ:

1

H(s) =

=

B_n(s) sⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+...+ a₁s +1

B_n(s): Gọi là đa thức Butterworth!!!

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

13

Bꢊ lꢋc Butterworth

Coefficients of Butterworth Polynominal B_n(s)=sⁿ+a_n-1s^n-1+…+a₁s+1

n

a

a₂

a₃

a₄

a₅

a₆

a₇

a₈

a₉

1

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bꢊ lꢋc Butterworth

Butterworth Polynominal in Factorized Form

n

B_n(s)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

14

Bꢊ lꢋc Butterworth

ꢀ Xác ꢇꢱnh hàm truyꢠn H(s) cꢆa bꢀ lꢁc:

s ← s/ω_c

H(s)

Thiꢃt kꢃ bꢀ lꢁc Butterworth bꢭc 2 vꢟi ω_c=10

s ← s/ω_c

1

H(s) =

s²+ 2s +1

²+ 2

+1

s

(₁₀)

100

s²+10 2s +100

⇒

H(s) =

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bꢊ lꢋc Butterworth

ꢀ Xác ꢇꢱnh bꢭc n cꢆa bꢀ lꢁc và ω_ctheo các yêu cꢄu thiꢃt kꢃ:

2 n

ω _x





G _x= −10 log₁₀1 +

ꢂ ꢬꢀ lꢩi (dB) tꢮi tꢄn sꢉ ω_x:

ꢂ ꢬꢀ lꢩi (dB) tꢮi tꢄn sꢉ ω_p:

( )

ω_c

ω _p









2 n





G _p≤ −10 log₁₀1 +

≤ 0

( )

ω _c









2 n

ω _s

( )

ω_c





ꢂ ꢬꢀ lꢩi (dB) tꢮi tꢄn sꢉ ω_s:

0 ≥ G_s≥ −10 log₁₀1 +









2 n

ω _p

(

_ω

)

/10

≤ 10^{− G}

≥ 10 ^{− G}

− 1

p

/10

10^{− G}

− 1

s

2 n

c

ω _s

(

_ω

)

⇒

≥

⇒

2 n

p

ω _s

(

_ω

)

/1 0

s

c

/10

p





log (10

− 1) /(10 ^{− G}

2 log(ω _s/ ω _p)

ω _p

− 1)

− G _s/10





⇒

n ≥

ω_s

_s/10

ω_c≥

ω_c≤

(10^{− G}

− 1)^{1/ 2 n}

/10

(10^−G

−1)^{1/ 2n}

p

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

15

Bꢊ lꢋc Butterworth

ꢀ Các bưꢟc thiꢃt kꢃ bꢀ lꢁc thông thꢪp Butterworth:

Ví dꢎ: Thiꢀt kꢀ bꢁ lꢂc thông thꢃp Butterworth thꢄa mãn các yêu cꢅu

sau: ꢆꢁ lꢇi dãi thông (0≤ω<10) không nhꢄ hơn -2dB; ꢈꢁ lꢇi dãi

chꢉn (ω≥20) không vꢊꢇt quá -20dB

/10

− 1) /(10 ^{− G}

− G _s/10

p



log (10



− 1)





n ≥

ꢂ Bưꢟc 1: Xác ꢇꢱnh

2 log(ω _s/ ω _p)

ꢂ Bưꢟc 2: Xác ꢇꢱnh ω_c:

ω _p

ω_s

_s/10

ω_c≥

ω_c≤

và

(10^{− G}

− 1)^{1/ 2 n}

/10

(10^−G

−1)^{1/ 2n}

p

ꢂ Bưꢟc 3: Xác ꢇꢱnh H(s): dùng n (bưꢟc 1) tra bꢡng (hoꢯc tính)

s ← s/ω_c

ꢂ Bưꢟc 4: Xác ꢇꢱnh H(s):

H(s)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bꢊ lꢋc Butterworth

2

lo g (1 0 − 1) /(1 0 ^{0 .2}− 1)









= 3 .7 0 1

ꢂ Bưꢟc 1:

ꢂ Bưꢟc 2:

n ≥

ω _c

ꢁ chꢁn n=4

2 lo g 2

1 0

(1 0 ^{0 .2}− 1)^{1 / 8}

2 0

≥

≤

= 1 0 .6 9 4

ꢁ chꢁn ω_c=11

= 1 1 .2 6

(1 0 ²− 1)^{1 / 8}

8

10



= −10 log₁₀1 +



G

= −1.66dB > −2dB



= −20.8dB < −20dB

(₁₁)

(

)

p

design





8

20

( ₁₁)



= −10 log₁₀1 +

G

( )

s

design





1

H (s) =

ꢂ Bưꢟc 3:

ꢂ Bưꢟc 4:

(s ²+ 0.76536686s + 1)(s ²+ 1.84775907 s + 1)

1

2

s

[

+ 0.76536686

+1][

+1.84775907

+1]

(₁₁)

14641

(s²+ 8.41903546s + 121)(s²+ 20.32534977s +121)

⇒ H (s) =

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

16

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 16