Giáo trình Giải tích 3 - Năm 2017 - Bùi Xuân Diệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC
TS. BÙI XUÂN DIỆU
Bài Giảng
GIẢI TÍCH III
(lưu hành nội bộ)
CHUỖI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải
Hà Nội - 2017
(bản cập nhật Ngày 28 tháng 8 năm 2017)
Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh
máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được
sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa
chỉ “dieu.buixuan@hust.edu.vn”
Hà Nội, Ngày 28 tháng 8 năm 2017.
MỤC LỤC
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5
Chương 1 . Chuỗi (11LT+11BT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Đại cương về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
9
9
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Tiêu chuẩn d’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . 21
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Phép nhân chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Khi nào dùng tiêu chuẩn nào? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ví dụ về chuỗi bán hội tụ không phải là chuỗi đan dấu . . . . . . . . 35
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4
5
Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Chuỗi hàm số hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Một số chú ý về chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1
5.2
Các tính chất của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 58
1
2
MỤC LỤC
5.3
5.4
5.5
Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 60
Ứng dụng của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6
Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 71
Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ bất kỳ . . . . . . . . . . . . . 78
Khai triển chuỗi Fourier hàm số trên đoạn [a, b] bất kì . . . . . . . . . 80
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Chương 2 . Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) . . . . . . . . . . . . . . 85
1
2
Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Đại cương về phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . 88
Các phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Phương trình vi phân với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Phương trình đưa được về phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . 91
Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.10 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Đại cương về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . 99
Các phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng số . . . . . . . 108
PTVP tuyến tính đưa được về PTVP tuyến tính với hệ số hằng . . . . 112
Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Phương trình Chebysev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ
số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9
4
5
Đại cương về hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1
4.2
Các loại nghiệm của hệ PTVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Mối liên hệ giữa PTVP cấp n và hệ n PTVP cấp một . . . . . . . . . . 119
Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2
MỤC LỤC
5.1
3
Hệ PTVP TT cấp một thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Hệ PTVP TT cấp một không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
PP biến thiên hằng số giải hệ PTVP TT cấp một . . . . . . . . . . . . 123
5.2
5.3
6
Hệ PTVP TT thuần nhất với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1
6.2
6.3
Phương pháp đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Phương pháp khử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Chương 3 . Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + 7 BT) . . . . . . . . . . . 131
1
Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.1
1.2
Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Phép biến đổi Laplace nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2
Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.1
2.2
2.3
Phép biến đổi của đạo hàm, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu . . . 137
Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) có dạng f(t) = tg(t) . . . . . . 139
Phép biến đổi Laplace của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3
4
Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1
3.2
Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Phép biến đổi Laplace ngược của các hàm phân thức . . . . . . . . . . 142
Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Tích chập - Phép biến đổi Laplace của tích chập . . . . . . . . . . . . 146
Vi phân của phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Tích phân của phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Phép biến đổi Laplace của hàm Heaviside và tịnh tiến trên trục . . . 150
Bài toán giá trị ban đầu đối với PTVP có hệ số là hàm số . . . . . . . 152
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Chương A . Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số bất kì . . . . . . . . . . . . . 155
Chương B . Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh . . . . . 163
Chương C . Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh hơn d’Alembert và Cauchy. . . . 167
an+1
an
1
2
lim
= 1 và các tiêu chuẩn mạnh hơn tiêu chuẩn d’Alembert . . . . . . 167
an = 1 và các tiêu chuẩn mạnh hơn tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . 170
n→+∞
√
n
lim
n→+∞
3
4
MỤC LỤC
4
CHƯƠNG
1
CHUỖI (11LT+11BT)
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ
Định nghĩa 1.1. Cho {an}∞n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
∞
P
được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là
an, trong đó an được gọi là số hạng tổng quát
n=1
và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n.
∞
P
i) Nếu dãy số {Sn} là hội tụ và lim Sn = S tồn tại, thì ta nói chuỗi số
an là hội tụ và
n→∞
n=1
có tổng bằng S và viết
∞
X
an = S.
n=1
∞
P
ii) Ngược lại, ta nói chuỗi số
an là phân kỳ.
n=1
Ví dụ 1.1. Hãy xét ví dụ trực quan đầu tiên về chuỗi số là như sau. Chúng ta bắt đầu
với khoảng [0, 1]. Chia đôi khoảng này ra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi
khoảng có độ dài bằng 1/2. Sau đó ta lại tiếp tục chia đôi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ được hai
khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4. Tiếp tục kéo dài quá trình này ta sẽ được chuỗi số
sau:
1
2
1
4
1
2n
1 =
+
+ · · · +
+ · · ·
Ví dụ 1.2. Xét chuỗi số sau:
1 + 2 + · · · + n + · · ·
5
6
Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)
Chuỗi số này có tổng riêng thứ n bằng n(n+1)/2 nên tiến ra vô cùng khi n tiến ra vô cùng.
Nói cách khác, chuỗi số này là phân kỳ.
∞
P
Ví dụ 1.3. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân
aqn = a + aq +
n=0
aq2 + · · · Ta có
Sn
= a + aq + · · · + aqn−1
qSn = aq + aq2 + · · · + aqn
n
Do đó Sn = a1−q
(q = 1) và
1−q
a
1−q
nếu |q| < 1
nếu |q| > 1.
lim Sn =
n→∞
∞
• Trường hợp q = 1 dễ thấy chuỗi số đã cho phân kỳ vì có tổng riêng thứ n bằng an.
0, nếu n chẵn,
a, nếu n lẻ
• Trường hợp q = −1 ta có Sn =
nên không tồn tại lim Sn.
n→+∞
a
Kết luận: chuỗi cấp số nhân đã cho hội tụ và có tổng bằng
nếu |q| < 1 và phân kỳ nếu
1−q
|q| ≥ 1.
Ví dụ 1.4. Viết số thực sau 2.317 = 2.3171717 . . . dưới dạng phân số.
17 17 17
2.317 = 2.3 +
+
+
+ · · ·
103 105 107
17
103
1
102
Sau số hạng đầu tiên thì chuỗi đã cho là một cấp số nhân với a =
và q =
. Do đó
17
103
1147
495
2.317 =
=
.
1
1 −
102
∞
P
1
Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính
n(n+1) . Trước hết ta phân tích
n=1
1
1
1
=
−
n+1 . Ta có
n(n+1)
n
1
1
1
Sn =
+
+ · · · +
1 · 2 2 · 3
n(n + 1)
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
=
−
+
−
+ · · ·
−
3
n
n + 1
= 1 −
.
n + 1
Do đó lim Sn = 1.
n→+∞
6
1. Đại cương về chuỗi số
7
Định lý 1.1 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ).
∞
P
Nếu chuỗi số
an là hội tụ, thì lim an = 0.
n→+∞
n=1
∞
P
Chứng minh. Đặt Sn = a1 + a2 + · · · + an, ta có an = Sn − Sn−1. Vì
an hội tụ nên dãy số
n=1
{Sn}∞n=1 là hội tụ. Đặt lim Sn = S. Vì n − 1 → ∞ khi n → ∞ nên lim Sn−1 = S. Do đó
n→+∞
n→+∞
lim an = lim (Sn − Sn−1) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Chú ý 1.1.
1. Mệnh đề đảo của Định lý 1.1 là không đúng. Chẳng hạn như chuỗi điều hòa sau đây
∞
P
1
n
1
n
có lim
→ 0 khi n → ∞, nhưng chuỗi này là phân kỳ (Xem Ví dụ 2.1 dưới
n→+∞
n=1
đây).
2. Định lý 1.1 cho chúng ta một điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ. Cụ
thể, nếu lim an không tồn tại hoặc lim an = 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Chẳng
n→+∞
n→+∞
∞
P
n
2n+1
n
2n+1
1
2
hạn như chuỗi số sau đây
có lim
=
nên chuỗi đã cho là phân kỳ. Tuy
n→+∞
n=1
nhiên lưu ý rằng nếu lim an = 0 thì chúng ta chưa có kết luận gì về tính hội tụ của
n→+∞
∞
P
chuỗi
an.
n=1
3. Thay đổi một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì không làm ảnh hưởng ∞đến tính
∞
P
P
hội tụ hay phân kì của chuỗi số đó. Chẳng hạn như hai chuỗi số
an và
an sẽ
n=1
n=2016
có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.
ꢂ
ꢃ
+∞
P
1
Ví dụ 1.1. Chuỗi
n ln 1 +
là phân kì bởi vì khi n → ∞
n
n=1
ꢂ
ꢃ
1
un = n ln 1 +
→ 1
n
Ví dụ 1.2 (Giữa kì, K61). Xét sự hội tụ của các chuỗi số
∞
∞
P
P
1
2
a)
(−1)n−1 cos n.
b)
(−1)n−1 cos n .
n=1
n=1
∞
∞
P
P
Định lý 1.2 (Các phép toán trên chuỗi số hội tụ). Nếu
an và
bn là các chuỗi số
n=1
n=1
∞
P
hội tụ, thì chuỗi số
(αan + βbn) cũng là một chuỗi số hội tụ và
n=1
∞
∞
∞
X
X
X
(αan + βbn) = α
an + β
bn.
n=1
n=1
n=1
7
8
Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)
ꢂ
ꢃ
∞
P
2016
n(n+1)
2017
2n
Bài tập 1.1. Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính
+
.
n=1
Bài tập 1.2. Xác định xem chuỗi sau đây là hội tụ hay phân kỳ. Nếu nó hội tụ, tính tổng
của chúng.
P∞
∞
∞
P
P
2
en
n3
1
(a)
(b)
n2−1
(c)
(e)
(f)
n=2
n
2
1+
(3 )
n=1
n=1
ꢂ
ꢃ
∞
∞
∞
P
P
P
n
n2+1
2n2+3
1
ln n+1
(d)
ln
.
n3−n
n=1
n=1
n=2
[Gợi ý]
2
1
n−1
1
n+1
(a) Tách
=
−
.
n2−1
n
(b) Tách ln n+1 = ln n − ln(n + 1).
en
ex
x3
(c) Chứng minh lim
= ∞ (bằng cách chuyển qua giới hạn của hàm số lim
= ∞).
n3
n→∞
n→∞
Chuỗi đã cho phân kì.
(d) Chứng minh lim an = ln 1. Chuỗi đã cho phân kì.
2
n→∞
(e) Chứng minh lim an = 1. Chuỗi đã cho phân kì.
n→∞
h
i
1
1
1
2
1
1
(f) Tách
=
=
−
.
n3−n
(n−1)n(n+1)
(n−1)n
n(n+1)
Bài tập 1.3. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau
ꢄ
ꢅ
ꢄ
ꢅ
ꢄ
ꢅ
1
2
1
3
1
1
32
1
1
3n
(a)
(b)
(c)
+
+
+
+ · · · +
+
+ · · ·
22
2n
1
1
+
+ · · ·
1.2.3
2.3.4
1
9
2
225
n
+
+ · · · +
+ · · ·
(2n−1)2(2n+1)2
[Gợi ý]
(a) Viết chuỗi số đã cho thành tổng của hai chuỗi cấp số nhân (hội tụ)
∞
∞
P
P
1
2n
1
.
+
3n
n=1
n=1
h
i
1
1
2
1
1
(b) Tách
(c) Tách
=
−
.
n(n+1)(n+2)
n(n+1)
(n+1)(n+2)
h
i
n
1
8
1
1
=
−
.
(2n−1)2(2n+1)2
(2n−1)2
(2n+1)2
8
2. Chuỗi số dương
9
§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
∞
P
Định nghĩa 1.1. Chuỗi số
an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.
n=1
Nhận xét rằng một chuỗi số dương là hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng Sn của chúng
là bị chặn. Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu các tiêu chuẩn để một chuỗi số dương là
hội tụ.
2.1 Tiêu chuẩn tích phân
Định lý 2.1. Cho f(x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và an = f(n).
Z
∞
∞
P
Khi đó chuỗi số
an và tích phân suy rộng
f(x)dx có cùng tính chất hội tụ hoặc phân
n=1
1
kỳ. Nói cách khác,
Z
∞
∞
P
i) Nếu
f(x)dx là hội tụ thì
an cũng là hội tụ.
n=1
1
Z
∞
∞
P
ii) Nếu
f(x)dx là phân kỳ thì
an cũng là phân kỳ.
n=1
1
Chứng minh. Vì f(x) là hàm số giảm nên
un+1 = f(n + 1) ≤ f(x) ≤ f(n) = un, x ∈ [n, n + 1], n = 1, 2, · · ·
Lấy tích phân từ n đến n + 1 ta được
n+1
Z
un+1
≤
f(x)dx ≤ un, n = 1, 2, · · ·
n
Lấy tổng từ 1 đến M − 1 ta được
2
3
M
Z
Z
Z
u2 + u3 + · · · + uM
≤
f(x)dx + f(x)dx + · · · +
f(x)dx ≤ u1 + u2 + · · · + uM−1
1
2
M−1
hay
M
Z
u2 + u3 + · · · + uM
≤
f(x)dx ≤ u1 + u2 + · · · + uM−1
.
(1.1)
1
Z
Z
∞
M
i) Nếu
f(x)dx hội tụ, tức tồn tại lim
f(x)dx = S thì từ bất đẳng thức (1.1) ta
M→∞
0
1
có SM − a1 = u2 + u3 + · · · + uM là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi S nên tồn tại
∞
P
lim (SM − a1) = A. Chuỗi
an hội tụ và có tổng bằng A + a1.
M→∞
n=1
9
10
Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)
Z
∞
ii) Nếu
f(x)dx phân kì, trong trường hợp này vì hàm f(x) dương nên điều này có
0
Z
M
nghĩa là lim
f(x)dx = +∞. Bất đẳng thức (1.1) suy ra lim SM−1 = +∞. Chuỗi
M→∞
M→∞
1
∞
P
an phân kì.
n=1
Chú ý 1.1. Khi sử dụng tiêu chuẩn tích phân, không nhất thiết chuỗi ∞số phải bắt đầu từ
P
1
n = 1. Chẳng hạn như chúng ta có thể kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số
bằng cách
(n−1)2
n=4
Z
∞
1
kiểm tra sự hội tụ của tích phân suy rộng
dx.
(x−1)2
4
Tiêu chuẩn tích phân là một tiêu chuẩn rất hữu ích, đặc biệt là khi an = f(n) với f(x) là
một hàm số sơ cấp mà nguyên hàm có thể tính được và cũng là một hàm số sơ cấp. Chẳng
∞
P
1
1
hạn như, xét sự hội tụ của chuỗi
. Hàm số f(x) =
là liên tục, dương, và giảm
1+n2
1+x2
n=1
trên đoạn [1, ∞). Xét tích phân suy rộng
∞
Z
1
π
dx = arctan x|∞1 =
.
1 + x2
4
1
Theo tiêu chuẩn tích phân, chuỗi số đã cho hội tụ.
∞
P
1
Ví dụ 2.1. Xét sự hội tụ của chuỗi
(α > 0).
nα
n=1
1
xα
Chứng minh. Xét hàm số f(x) =
là liên tục, dương, và giảm trên [1, ∞). Dễ dàng
Z
∞
kiểm tra thấy rằng tích phân suy rộng
f(x)dx là hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu
0 < α ≤ 1. Áp dụng tiêu chuẩn tích phân 1ta có chuỗi đã cho hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ
nếu 0 < α ≤ 1.
Chú ý 1.2.
∞
P
1
nx
a) Hàm zeta được định nghĩa như sau ζ(x) =
và được sử dụng nhiều trong lý
n=1
t∞huyết số. Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu tiên tính được chính xác ζ(2) =
∞
P
P
1
n2
π2
6
1
n4
π4
=
. Ông cũng là người tìm ra công thức ζ(4) =
=
90 . Hai công thức này
n=1
n=1
sẽ được chứng minh ở Hệ quả 4.1(Bài về chuỗi hàm số) và Hệ quả 6.1 (Bài về chuỗi
Fourier).
Z
∞
∞
P
b) Tổng
an và giá trị của tích phân suy rộng
f(x)dx là khác nhau. Chẳng hạn
n=1
1
Z
∞
∞
P
1
π2
1
π
dx = .
4
như
=
trong khi đó
n2
6
1+x2
n=1
1
10
2. Chuỗi số dương
11
P∞
1
Bài tập 2.1. Dùng tiêu chuẩn tích phân chứng minh rằng chuỗi
và chỉ khi p > 1.
là hội tụ khi
n(ln n)p
n=2
Bài tập 2.2. Dùng tiêu chuẩn tích phân để xác định xem các chuỗi số sau đây là hội tụ
hay phân kỳ.
∞
∞
∞
∞
1
X
X
X
X
ln n
ln n
n3
ln(1 + n)
(n + 3)2
3
a)
e)
b)
f)
n2e−n
c)
d)
h)
(n + 2)2
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
1/n
2
X
X
X
X
e
n
ln n
np
ln n
3n2
g)
n2
en
n=1
n=1
n=1
n=1
Bài tập 2.3. Giải thích tại sao không thể dùng tiêu chuẩn tích phân để xác định xem
chuỗi sau đây là hội tụ hay phân kỳ.
∞
∞
2
X
X
cos πn
cos n
√
a)
b)
n
1 + n2
n=1
n=1
2.2 Các tiêu chuẩn so sánh
∞
∞
P
P
Định lý 2.2 (Tiêu chuẩn so sánh 1). Cho hai chuỗi số dương
với mọi n hoặc kể từ một số n nào đó. Khi đó
an và
bn có an ≤ bn
n=1
n=1
∞
∞
P
P
i) Nếu
bn là hội tụ thì
an cũng là hội tụ.
n=1
n=1
∞
∞
P
P
ii) Nếu
an là phân kỳ thì
bn cũng là phân kỳ.
n=1
n=1
Chứng minh. Từ giả thiết suy ra
An = a1 + a2 + · · · + an ≤ b1 + b2 + · · · + bn = Bn.
(1.2)
∞
P
i) Nếu
bn hội tụ, nghĩa là tồn tại lim Bn = B và Bn ≤ B với mọi n. Bất đẳng thức
n→+∞
n=1
(1.2) chứng tỏ dãy tổng riêng An là một dãy số bị chặn, hơn nữa nó tăng do tính chất
∞
P
của chuối số dương, nên tồn tại lim An = A. Chuỗi
an hội tụ.
n→+∞
n=1
ii) Bạn đọc có thể tự chứng minh một cách đơn giản cũng dựa vào bất đẳng thức (1.2).
∞
P
1
Ví dụ 2.1. Xét sự hội tụ của chuỗi
.
n2+n+1
n=1
∞
∞
P
P
1
1
n2
1
n2
1
Chứng minh. Ta có
<
. Mà
là hội tụ theo Ví dụ 2.1, nên chuỗi
11
n2+n+1
n2+n+1
n=1
n=1
cũng là hội tụ.
12
Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)
∞
P
1
ln n
Ví dụ 2.2. Xét sự hội tụ của chuỗi
.
n=2
∞
P
1
n
1
1
n
Chứng minh. Ta có ln n < n với mọi n ≥ 2. Do đó 0 <
<
ln n . Mà chuỗi
là phân kỳ
n=1
P∞
1
ln n
theo Ví dụ 2.1, nên chuỗi
là phân kỳ.
n=2
Ví dụ 2.3 (Giữa kì, K61). Xét sự hội tụ của các chuỗi số
∞
∞
P
P
1
cos n
n3+1
√
a)
b)
c)
.
.
ln(2n+1)
n=1
n=1
∞
∞
P
P
1
sin n
n3+1
√
d)
ln(2n−1)
n=2
n=1
∞
∞
P
P
Định lý 2.3 (Định lý so sánh 2). Cho hai chuỗi số dương
an và
bn thỏa mãn
n=1
n=1
an
lim
= c > 0.
n→+∞
bn
∞
∞
P
P
Khi đó
an và
bn có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.
n=1
n=1
an
bn
Chứng minh. Hình dung rằng lim
= c nghĩa là với mọi ǫ > 0 thì từ một lúc nào đó
n→+∞
n o
an
bn
toàn bộ số hạng của dãy
sẽ chui vào trong khoảng (c − ǫ, c + ǫ).
n≥N
an
bn
, ∀n ≥ N
c − ǫ
c + ǫ
Hình 2.3
Theo giả thiết, với mọi ǫ > 0, tồn tại số N sao cho
an
c − ǫ <
< c + ǫ ⇔ (c − ǫ)bn < an < (c + ǫ)bn.
bn
Lấy tổng từ n = N đến ∞ ta được
∞
∞
∞
X
X
X
(c − ǫ)
bn ≤
an ≤ (c + ǫ)
bn.
(1.3)
n=N
n=N
n=N
Không mất tính tổng quát số ǫ có thể chọn sao cho c − ǫ > 0. Khi đó
12
2. Chuỗi số dương
13
∞
∞
P
P
• vế phải của bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ rằng nếu
• vế trái của bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ rằng nếu
bn hội tụ thì
an hội tụ,
n=1
n=1
∞
∞
P
P
an hội tụ thì
bn hội tụ.
n=1
n=1
Chú ý 1.1.
a) Các trường hợp đặc biệt
∞
∞
P
P
an
bn
• Nếu lim
= 0 và chuỗi
bn hội tụ thì
an
an cũng hội tụ. Điều này dễ hiểu vì
n→+∞
= 0 suy ra với n đnủ=l1ớn thì
≤ 1 hay an ≤ bn với mọi n ≥ N nào đó.
n=1
an
bn
lim
bn
n→+∞
∞
∞
P
P
an
bn
• Nếu lim
= +∞ và chuỗi
bn phân kì thì
an cũng phân kì. Điều này
an
n→+∞
n=1
= +∞ns=u1y ra với n đủ lớn thì
≥ 1 hay an ≥ bn với mọi
an
bn
cũng dễ hiểu vì lim
bn
n→+∞
n ≥ N nào đó
b) Cũng giống như TPSR, khi xét sự hội tụ của chuỗi số người ta chỉ quan tâm đến
"dáng điệu" của số hạng tổng quát an tại vô cùng. Tiêu chuẩn so sánh thường được
sử dụng để so sánh chuỗi số đã cho với một trong hai chuỗi số sau đây:
∞
hội tụ nếu |q| < 1,
P
• Chuỗi cấp số nhân
qn
n=1
phân kì nếu |q| ≥ 1.
∞
hội tụ nếu α > 1,
P
1
• Chuỗi hàm zeta ζ(α) =
nα
n=1
phân kì nếu α ≤ 1.
∞
P
n2+n
√
Ví dụ 2.1. Xét sự hội tụ của chuỗi
.
n5+1
n=1
Chứng minh. Số hạng trội (chiếm ưu thế) của tử số là n2 và số hạng trội của mẫu số là
∞
∞
√
P
P
n2
n5
1
n1/2
n5 = n5/2. Điều đó gợi ý chúng ta so sánh chuỗi số đã cho với chuỗi số
=
.
√
n=1
n=1
Ta có
n2 + n
1
√
an =
,
bn =
n1/2
n5 + 1
1
n
(n2 + n).n1/2
1 +
an
bn
√
q
lim
= lim
= lim
= 1.
n5 + 1
n→+∞
n→+∞
n→+∞
1
1 +
n5
∞
P
1
n1/2
Mà chuỗi
là phân kỳ theo Ví dụ 2.1 nên chuỗi đã cho cũng phân kỳ.
13
n=1
14
Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)
∞
P
2n+3n
4n+5n
Ví dụ 2.2. Xét sự hội tụ của chuỗi
.
n=1
Chứng minh. Số hạng trội (chiếm ưu thế) của tử số là 3n và số hạng trội của mẫu số là 5n.
∞
ꢄ ꢅ
P
n. Ta có
3
5
Điều này gợi ý chúng ta so sánh chuỗi số đã cho với chuỗi
n=1
ꢀ ꢁ
n
2n + 3n
4n + 5n
3
5
an =
,
bn =
ꢄ ꢅ
n + 1
n + 1
2
an
bn
(2n + 3n)5n
3
ꢄ ꢅ
4
lim
= lim
= lim
n
= 1.
n
n
n→+∞
n→+∞
n→+∞
(4 + 5 )3
5
∞
ꢄ ꢅ
P
n
3
Mà chuỗi cấp số nhân
là hội tụ theo Ví dụ 1.3, do đó chuỗi số đã cho cũng là hội
5
n=1
tụ.
Chú ý 1.2. Tiêu chuẩn so sánh thường được sử dụng để xét sự hội tụ của các chuỗi số có
dạng sau:
1. Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu số đều là các đa
thức của n hoặc là các lũy thừa của n, chẳng hạn
∞
a0 + a1n + a2nα + · · · + amnα
α1
X
2
m
, với 0 < α1 < α2 < · · · < αm, 0 < β1 < β2 < · · · < βk.
b0 + b1nβ1 + b2nβ2 + · · · + bknβk
n=1
βk
Khi đó số hạng trội của tử số là amnα và số hạng trội của mẫu là bkn . Điều này gợi
m
∞
∞
P
P
nα
nβk
1
−α
m
ý chúng ta so sánh chuỗi đã cho với chuỗi
=
m . Theo Ví dụ 2.1, chuỗi
nβk
n=1
n=1
đã cho là hội tụ nếu βk − αm > 1 và phân kỳ nếu βk − αm ≤ 1.
2. Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu số đều là tổng
của các lũy thừa với số mũ là n, chẳng hạn
∞
n
n
n
X
α1a1 + α2a2 + · · · + αma
m , với 0 < a1 < a2 < · · · < am, 0 < b1 < b2 < · · · < bk.
β1b1n + β2b2n + · · · + βkbkn
n=1
Khi đó số hạng trội của tử số là αmanm và số hạng trội của mẫu số là βkbnk . Điều này
am
ꢂ
ꢃ
∞
n. Theo Ví dụ 1.3, chuỗi đã
P
gợi ý chúng ta so sánh chuỗi số đã cho với chuỗi
bk
n=1
am
bk
am
bk
cho hội tụ nếu
< 1 và phân kỳ nếu
≥ 1.
3. Một dạng chuỗi khác cũng sử dụng tiêu chuẩn so sánh, đó là các chuỗi số có sử dụng
đến các VCB tương đương hoặc khai triển Maclaurin (trong học phần Giải tích I).
Chẳng hạn như, xét sự hội tụ của chuỗi số
ꢀ
ꢁ
∞
X
1
1
− sin
.
n
n
n=1
14
2. Chuỗi số dương
Xuất phát từ công thức khai triển Maclaurin của hàm số sin x:
15
x3
sin x = x −
+ o(x3),
3!
ở đó o(x3) là kí hiệu VCB bậc cao hơn x3, ta có
x3
x3
x − sin x =
+ o(x3) ∼
khi x → 0.
3!
6
1
n
Khi n → ∞ thì → 0, do đó
1
1
1
6n3
− sin
∼
khi n → ∞.
n
n
∞
P
1
n3
Mà chuỗi
hội tụ, nên theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi số đã cho cũng hội tụ. Một
n=1
cách tương tự, xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
∞
∞
∞
X
X
X
√
1
1
n − 1
1 − cos
,
n e − 1 −
,
arcsin
.
n
n
n2 − n + 1
n=1
n=1
n=1
Một số khai triển Maclaurin
• (1 + x)α = 1 + αx + α(α−1) x2 + · · · + α(α−1)···(α−n+1) xn + o(xn)
2
n!
1
1+x
•
•
= 1 − x + x2 − · · · + (−1)nxn + o(xn)
1
1−x
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn)
x2
xn
• ex = 1 + x + + · · · + + o(xn)
• sin x = x −
• cos x = 1 −
2!
n!
x3
3!
x5
5!
x2n+1
(2n+1)!
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1
)
x2
2!
x4
4!
x2n
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n)
(2n)!
x2
2
x3
xn
n
• ln(1 + x) = x −
+
+ · · · + (−1)n−1 + o(xn)
3
Một số VCB tương đương hay dùng khi x → 0
• x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ex − 1 ∼
ax − 1
ln a
∼ ln(1 + x),
√
√
1
αx
•
m 1 + αx − 1 ∼ ln m 1 + αx =
ln (1 + αx) ∼
,
m
m
x2
• 1 − cos x ∼
.
2
Ví dụ 2.3 (Giữa kì, K61). Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số
15
16
Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)
∞
+∞
+∞
√
ꢄ
ꢅ
ꢅ
P
√
P
P
1
n
tan(π n2 + 1).
d)
tan(π n2 + 3).
a)
b)
ln 1 +
c)
n=1
n=1
n=1
∞
ꢄ
P
2
n
ln 1 +
n=1
Ví dụ 2.4.
a) Xét sự hội tụ của chuỗi số
∞
P
π
2n
arctan
n=1
∞
P
π
2n
π
2n
π
Đây là một chuỗi số dương, khi n → ∞, ta có arctan
∼
. Mà chuỗi
=
n=1 2n
ꢂ ꢃ
∞
∞
n
P
P
1
π
2n
π
là hội tụ, nên chuỗi số
arctan
cũng hội tụ.
2
n=1
n=1
√
√
∞
P
n + 1 − n − 1
b) Xét sự hội tụ của chuỗi số
nα
n=1
√
√
n + 1 − n − 1
2
1
√
√
Khi n → ∞:
=
∼
, do đó
α+ 12
nα
( n + 1 + n − 1)nα
n
1
1
Nếu α > : chuỗi số là hội tụ; nếu α ≤ , chuỗi số là phân kì.
2
2
∞
√
P
n
c) Xét sự hội tụ của chuỗi số
e−
.
n=1
Để sử dụng tiêu chuẩn so sánh đối với các chuỗi số kiểu này, chúng ta ghi nhớ hai giới
hạn quan trọng sau.
an
i) lim
= +∞, (a > 1, ∀α), hay nα ≤ en khi n là đủ lớn.
α
n→∞
n
n
ii) lim
= +∞, (∀β), hay lnβ n ≤ n khi n là đủ lớn.
n→∞ lnβ n
Nói một cách khác thì khi n → ∞, hàm số mũ, hàm đa thức và hàm số logarit của n đều
là các VCL. Tuy nhiên, hàm số mũ tiến ra vô cùng "nhanh hơn" hàm đa thức, và hàm đa
thức "nhanh hơn" hàm số logarit.
√
√
Chúng ta sẽ dùng giới hạn đầu tiên: ( n)α ≤ e khi n đủ ∞lớn, hay là tương đương,
n
√
P
1
α
2
e− ≤ n− , với n đủ lớn và với mọi α. Chọn α = 4, thì chuỗi số
là hội tụ; nên chuỗi
n
n=1 n2
∞
√
P
n
số
e− cũng là hội tụ.
n=1
Bài tập 2.4. Dùng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau
√
3 n
∞
∞
∞
∞
2
n3
(n + 2)4
2016n
2015n + 2017n
n sin n
X
X
X
X
√
1)
5)
2)
3)
7)
4)
8)
1 + n3
n + 3
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
ꢆ
ꢇ
X
X
X
X
√
√
n + sin n
3 n7 + 1
n + 1
n3 + n + 1
1
3n2
√
sin( n + 1 − n) 6)
sin
ln 1 +
n=1
n=1
n=1
n=1
16
2. Chuỗi số dương
17
2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert
an+1
an
Định lý 2.4. Giả sử tồn tại lim
= L. Khi đó
n→+∞
i) Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
ii) Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
an+1
an
Chứng minh.
1. Hình dung rằng lim
= L nghĩa là với mọi ǫ > 0 thì từ một lúc
sẽ chui vào trong khoảng (L − ǫ, L + ǫ).
n→+∞
n
o
an+1
an
nào đó toàn bộ số hạng của dãy
n≥N
an+1
an
, ∀n ≥ N
L − ǫ
L + ǫ
Hình 2.4
an+1
an
Nếu L < 1 ta chọn số ǫ > 0 bất kì nào đó sao cho L + ǫ < 1. Vì lim
= L nên tồn
n→+∞
tại số N sao cho
an+1
< L + ǫ, ∀n ≥ N.
an
Do đó
aN
(L + ǫ)N
an < (L + ǫ)an−1 < (L + ǫ)2an−2 < · · · < aN (L + ǫ)n−N
=
.(L + ǫ)n, ∀n > N.
∞
P
Chuỗi cấp số nhân
(L + ǫ)n hội tụ (L + ǫ < 1) nên theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi
n=1
∞
P
an cũng hội tụ.
n=1
2. Nếu L > 1 thì un+1 > un với n đủ lớn, chẳng hạn với mọi n ≥ N. Khi đó, lim an ≥
n→+∞
aN > 0. Chuỗi đã cho phân kì theo tiêu chuẩn điều kiện cần.
Chú ý:
• Nếu L = 1 thì không kết luận được g∞ì về sự hội tụ hay phân kì của chuỗi đã cho.
∞
P
P
1
n
1
n2
Chẳng hạn như cả hai chuỗi
và
đều thỏa mãn L = 1 nhưng chuỗi số đầu
n=1
n=1
tiên phân kì còn chuỗi số sau hội tụ.
17
18
Chương 1. Chuỗi (11LT+11BT)
• Trong các bài toán có dùng tiêu chuẩn d’Alambert, giới hạn sau đây thường hay được
sử dụng
ꢂ
ꢃ
n
α
n
lim 1 +
= eα.
n→+∞
Chứng minh. Giới hạn trên có thể được chứng minh bằng cách chuyển qua giới hạn
của hàm số như sau.
Ta có
ꢄ
ꢅ
α
x
α
x
1
ꢂ
ꢃ
x
ln 1 +
α
x
lim ln 1 +
= lim
= lim
= α.
1
x
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x
Do đó
ꢂ
ꢃ
x
α
lim 1 +
= eα.
x→+∞
x
∞
P
2n
n!
Ví dụ 2.1. Xét sự hội tụ của chuỗi
.
n=1
Chứng minh. Ta có
an+1
2n+1
2n
2
lim
= lim
:
= lim
= 0 < 1.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
an
(n + 1)! n!
n + 1
Theo tiêu chuẩn d’Alambert, chuỗi đa cho hội tụ.
∞
P
2nn!
nn
Ví dụ 2.2. Xét sự hội tụ của chuỗi
.
n=1
Chứng minh. Ta có
an+1
2n+1(n + 1)! 2nn!
lim
= lim
:
(n + 1)n+1
nn
n→+∞
n→+∞
an
ꢀ
ꢁ
n
n
= lim 2
n→+∞
n + 1
n
n+1
"
#
ꢀ
ꢁ
n+1
1
= lim 2 1 −
n→+∞
n + 1
2
=
< 1.
e
Theo tiêu chuẩn d’Alambert, chuỗi đa cho hội tụ.
n2 + 5
∞
P
Ví dụ 2.3. Xét sự hội tụ của chuỗi
. Ta có
3n
n=1
ꢈ
ꢈ
u
ꢈ
(n + 1)2 + 5
1
ꢈ
n+1
lim
= lim
=
< 1
ꢈ
ꢈ
un
3(n2 + 5)
3
n→∞
n→∞
nên chuỗi đa cho hội tụ theo tiêu chuẩn d’Alambert.
Ví dụ 2.4 (Giữa kì, K61). Xét sự hội tụ của các chuỗi số
18
Tải về để xem bản đầy đủ
173 trang
20000
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Năm 2017 - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_nam_2017_bui_xuan_dieu.pdf
