Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 1 - Bài 3: Cộng và nhân xác suất - Tống Đình Quỳ
§3 CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT
3.1 Xác suất có điều kiện
a/ Khái niệm.
Thực ra mọi XS P(A) đều là XS có điều kiện (phép
thử). Tuy nhiên nếu có thêm điều kiện khác, chẳng hạn B, thì ta có
khái niệm mới: xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là P(A|B) và
gọi chung là xác suất có điều kiện. Bằng trực giác dễ thấy P(A|B)
tỷ lệ với P(AB), tức là P(A|B) = k P(AB), k là một hằng số > 0. Nếu
đặt A = B, ta có P(B|B) = 1 và k P(A|B) =1. Từ đó
ĐN 1
*
. Giả sử trong một phép thử ta có P(B) > 0, khi đó
ꢀ(ꢁꢂ)
P(A|B) =
.
(1)
ꢀ(ꢂ)
Để ý rằng nói chung P(A|B) ≠ P(A) và XS có điều kiện có các tính
chất như các XS không điều kiện. Ta cũng có thể tính P(A|B) bằng
cách dùng ĐN cổ điển trong bộ điều kiện mới.
Thí dụ 1
. Gieo một con xúc xắc. Ký hiệu A – xuất hiện mặt lục, B –
xuất hiện mặt chẵn, tính P(A|B).
Giải: Do có điều kiện B, ta tưởng tượng gieo con xúc xắc chỉ có 3
mặt đồng khả năng (mặt có số chấm chẵn). Từ đó dùng ĐN cổ điển
ở tiết trước ta có P(A|B) = 1/3. Mặt khác dễ thấy P(A) = 1/6,
P(B) = 1/2 và do AB = A, từ đó theo ĐN (1) ở trên
ꢀ(ꢁ)
ꢀ(ꢂ)
ꢀ(ꢁ)
ꢀ(ꢁ)
P(A|B) =
Thí dụ 2
= 1/3;
P(B|A) =
= 1.
. Rút lần lượt 2 con bài từ bộ bài tú lơ khơ 52 con. Tính XS
con bài thứ hai là át, biết rằng con thứ nhất cũng là át.
Giải: Nếu ký hiệu Ak – sự kiện con bài thứ k là át, k = 1;2, dễ
dàng tính được P(A2|A1) = 3/51 = 1/17, tương đương với sự kiện
nếu biết A1, việc tính XS có điều kiện đưa về tính trường hợp chỉ
còn 51 con bài với 3 con át trong đó.
ĐN 2
*
. Ta nói rằng A và B độc lập (độc lập thống kê), nếu
P(A|ꢃ) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B). (2)
Như vậy nếu A, B độc lập thì việc có sự kiện này không làm thay
đổi XS của sự kiện kia. Tuy nhiên việc tính các XS trong (2)
thực tiễn rất khó, thậm chí là không thể, vì vậy trên thực tế ta phải
thừa nhận nhiều sự kiện độc lập trong các bài tập sau này.
Chú ý:
- Độc lập là khái niệm tương hỗ.
- Kết quả bắn của hai xạ thủ được coi là độc lập, thậm chí kết
quả bắn của hai lần bắn khác nhau của cùng một xạ thủ cũng
được coi là độc lập v.v…
- Nếu cặp (A, B) gồm 2 sự kiện độc lập thì ta có 3 cặp các sự
kiện độc lập là (A, ꢃ); (B, ꢄ) và (ꢄ, ꢃ).
Biểu thức tương đương với (2), có để ý đến (1) là, nếu A, B độc lập
P(AB) = P(A)P(B).
(3)
ĐN 3
*
. Ta nói bộ sự kiện A1, A2, …, An độc lập trong tổng thể nếu
ꢅ(ꢄꢆ , ꢄꢆ , … , ꢄꢆ ) = ꢅ(ꢄꢆ )ꢅ(ꢄꢆ ) … ꢅ(ꢄꢆ ) (4)
ꢇ
ꢈ
ꢉ
ꢇ
ꢈ
ꢉ
với mọi dãy {i1, i2, …, ik} gồm các số nguyên khác nhau lấy từ tập
{1, 2, …, n} và k = 2, 3, …, n.
Thí dụ 3
năng
. Gieo 2 lần một đồng tiền và ta có 4 kết cục đồng khả
ꢊ = {SS, SN, NS, NN}.
Các sự kiện A =SS+SN, B = SS+NS, C = SS+NN độc lập từng đôi vì
P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, còn P(AB) = P(BC) = P(AC) = 1/4
thoả mãn (3). Tuy nhiên chúng không độc lập tổng thể do (4)
không được thoả mãn
P(ABC) = 1/4 ≠ P(A)P(B)P(C) = 1/8.
Rõ ràng tính độc lập tổng thể kéo theo độc lập từng đôi (do (3) là
trường hợp riêng của (4) với k = 2), nhưng ngược lại nói chung
không đúng.
3.2 Công thức cộng và nhân xác suất
Công thức nhân xác suất
1/
P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|ꢃ).
(5)
Kết quả này được suy ra trực tiếp từ (1). Còn từ (5) có thể dẫn ra
các hệ quả quan trọng:
(i) Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A)P(B) (xem (3))
(ii) Mở rộng cho tích n sự kiện
P(A1A2…An) = P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).
Trường hợp n = 3
(6)
P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|ꢄꢃ).
(iii) Nếu A1, A2, …, An độc lập trong tổng thể, thì
ꢋ
ꢋ
ꢅ
ꢆꢌꢍ ꢄꢆ = ꢆꢌꢍ ꢅ(ꢄꢆ).
Công thức cộng xác suất
2/
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).
(7)
Công thức (6) có thể được minh hoạ dễ dàng bằng sơ đồ Venn và
là cơ sở để dẫn ra các hệ quả sau:
(i) Nếu A, B xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P(B).
(ii)Mở rộng cho tổng n sự kiện
ꢋ
ꢋ
P( ꢆꢌꢍ ꢄꢆ) = ꢆꢌꢍ ꢅ(ꢄꢆ) − ꢆꢏꢎ ꢅ(ꢄꢆꢄꢎ)
+
ꢆꢏꢎꢏꢐ ꢅ(ꢄꢆꢄꢎꢄꢐ) − … + (−1)ꢋꢑꢍ P(A1A2…An).
(8)
Trường hợp n = 3
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)
− P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC).
(iii) Nếu A1, A2, …, An xung khắc từng đôi, thì
ꢋ
ꢋ
P( ꢆꢌꢍ ꢄꢆ) = ꢆꢌꢍ ꢅ(ꢄꢆ).
Các công thức (5)-(8) cho ta công cụ hiệu quả để tính XS các sự
kiện phức tạp qua XS các sự kiện đơn giản hơn.
Thí dụ 4
. Hai cọc bài được lấy từ một bộ bài tú lơ khơ, cọc bài thứ
nhất gồm 4 con át, cọc thứ hai gồm 4 con ka. Rút ngẫu nhiên từ
mỗi cọc bài ra một con bài, tính các xác suất:
a) cả 2 con là cơ;
b) có ít nhất 1 con cơ trong 2 con bài.
Cũng các câu hỏi như vậy nhưng trong điều kiện khác: trộn 2 cọc
bài thành một và từ đó rút ra 2 con bài.
Giải: Đặt A – con bài thứ nhất là cơ, B – con bài thứ hai là cơ.
Trong trường hợp hai cọc bài riêng rẽ, dễ thấy A, B độc lập và:
a) XS cầi tìm là P(AB), dùng (3) ta có
ꢍ ꢍ
P(AB) = P(A)P(B) = . =
ꢒ ꢒ ꢍꢓ
ꢍ
.
b) Sự kiện ta quan tâm là P(A + B), theo (7)
ꢍ ꢍ
ꢍ
ꢔ
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = + −
=
.
ꢒ ꢒ ꢍꢓ
ꢍꢓ
Trong trường hợp hai cọc bài trộn thành một, ta vẫn dùng các sự
kiện A, B; tuy nhiên chúng không còn độc lập, mặc dù XS P(A) =
P(B) = 2/8 = 1/4 do vai trò hai con bài ngang nhau. Từ đó:
a) Dùng công thức (5)
ꢍ ꢍ
P(AB) = P(A)P(B|A) = . =
ꢒ ꢔ ꢕꢖ
ꢍ
.
b) Một lần nữa theo (7)
ꢍ ꢍ
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = + −
ꢒ ꢒ
ꢍꢗ
ꢕꢖ
1
28
=
.
Tất nhiên trong trường hợp này ta có thể dùng định nghĩa cổ điển
để tính các XS tương ứng.
Thí dụ 5
. Ba xe ô tô của một công ty có XS sự cố trong tháng
tương ứng là 0,05; 0,02 và 0,1. Tính các XS:
a) có đúng 2 xe bị sự cố trong tháng;
b) có ít nhất 1 xe không bị sự cố trong tháng.
Giải: Đặt Ak là sự kiện xe thứ k bị sự cố trong tháng (k = 1, 2, 3)
và P(A1) = 0,05; P(A2) = 0,02; P(A3) = 0,1.
a) Nếu gọi A là sự kiện có đúng 2 xe bị sự cố trong tháng
ꢄ = ꢄꢍꢄꢕꢄꢗ + ꢄꢍꢄꢕꢄꢗ + ꢄꢍꢄꢕꢄꢗ.
Dùng tính xung khắc của ba số hạng và tính độc lập của các thừa
số trong các số hạng tích, ta có
ꢅ ꢄ = ꢅ ꢄꢍ ꢅ ꢄꢕ ꢅ ꢄꢗ + ꢅ(ꢄꢍ)ꢅ(ꢄꢕ)ꢅ(ꢄꢗ) + ꢅ(ꢄꢍ)ꢅ(ꢄꢕ)ꢅ(ꢄꢗ)
= 0,05.0,02.(1– 0,1) + 0,05.(1– 0,02).0,1 + (1– 0,05).0,02.0,1
= 0,0077.
b) Nếu gọi B - sự kiện có ít nhất 1 xe không bị sự cố trong tháng
P(B) = 1 − P(ꢃ) = 1 − P(A1A2A3)
= 1 − 0,05.0,02.0,1 = 0,9999.
Thí dụ 6
. Trong thời gian có dịch ở một vùng cứ 100 người mắc
dịch thì có 10 người phải cấp cứu. XS gặp một người bị cấp cứu vì
mắc dịch ở vùng đó là 0,06. Tìm tỷ lệ mắc bệnh dịch của vùng đó.
Giải: Đặt A – gặp người mắc dịch, B – gặp người bị cấp cứu và ta
phải tìm P(A). Từ đầu bài ta có P(B|A) = 10/100 = 0,1; P(AB) =
0,06. Theo (1) P(B|A) = P(AB)/P(A), từ đó suy ra
P(A) = P(AB)/P(B|A) = 0,06/0,1 = 0,6.
Thí dụ 7
. XS trúng đích của mỗi lần bắn là 0,4. Hỏi cần bắn bao
nhiêu phát để XS có ít nhất một viên trúng sẽ lớn hơn 0,95?
Giải: Gọi số lần bắn thoả mãn yêu cầu của bài toán là n. Đặt A là
sự kiện có ít nhất 1 lần bắn trúng và dễ thấy
P(A) = 1−P(ꢄ) = 1 − (1 − 0,4)n .
Theo yêu cầu đầu bài P(A) > 0,95, suy ra
ꢘꢋꢙ,ꢙꢚ
1 − 0,6n > 0,95 ⇒ 0,6n < 0,05 ⇒ n >
≈ 5,8647
ꢘꢋꢙ,ꢓ
⇒ n > 6.
Thí dụ 8
. Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở
một thành phố vào mùa hè là 0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các
sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng.
Tính XS để ngày thứ hai có mưa, biết rằng ngày đầu không mưa.
Giải: Đặt A1 – ngày thứ nhất có mưa, A2 – ngày thứ hai có mưa;
theo đầu bài ta có P(A1A2) = 0,5; P(ꢄ1ꢄ2) = 0,3; còn hai sự kiện
một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng, nên dễ
dàng tính được P(A1ꢄ2) = P(ꢄ1A2) = 0,1. Mặt khác
P(ꢄ1) = P(ꢄ1(A2 + ꢄ2)) = P(ꢄ1A2) + P(ꢄ1ꢄ2) = 0,4.
P(A2|ꢄ1) = P(ꢄ1A2)/P(ꢄ1) = 1/4 = 0,25.
Thí dụ 9
. Một người viết n lá thư cho n người khác nhau, và bỏ
ngẫu nhiên vào n phong bì đã có sẵn địa chỉ. Tìm XS để có ít nhất
một lá thư được bỏ vào đúng phong bì.
Giải: Đặt Ai – sự kiện lá thư thứ i được bỏ đúng phong bì (i =1,
2, …, n), A - sự kiện cần tính XS, ta có A = A1 +A2 +…+ An . Do các
Ai không xung khắc, nên ta sẽ sử dụng công thức (8). Dễ thấy:
ꢍ
P(Ai) = =
ꢋ
ꢋꢑꢍ !
ꢋ!
;
ꢍ ꢍ
P(AiAj) = P(Ai)P(Aj|Ai) = .
ꢋ ꢋꢑꢍ
ꢋꢑꢕ !
ꢋ!
=
;
ꢋꢑꢗ !
ꢋ!
P(AiAjAk) = … =
; …
ꢍ
P(A1A2…An) =
.
ꢋ!
Từ đó thay vào (8)
ꢋ
ꢋ
P( ꢆꢌꢍ ꢄꢆ) = ꢆꢌꢍ ꢅ(ꢄꢆ) − ꢆꢏꢎ ꢅ(ꢄꢆꢄꢎ)
+
ꢆꢏꢎꢏꢐ ꢅ(ꢄꢆꢄꢎꢄꢐ) − … + (−1)ꢋꢑꢍ P(A1A2…An)
ꢜ−1 !
ꢜ!
ꢜ−2 !
ꢜ!
ꢜ−3 !
ꢜ!
1
ꢜ!
= ꢛꢋꢍ
− ꢛꢋꢕ
+ ꢛꢋꢗ
−… + (−1)ꢋꢑꢍ
ꢍ
ꢍ
1
ꢜ!
= 1 −
+
− … + (−1)ꢋꢑꢍ
.
ꢕ! ꢗ!
Khi n khá lớn XS cần tìm ≈ 1 − 1/ꢝ.
3.3 Công thức Béc-nu-li (Bernoulli)
Xét lược đồ Béc-nu-li:
- dãy n phép thử giống nhau, độc lập;
- trong mỗi phép thử có P(A) = p (đặt q = 1 − p).
Ta quan tâm đến sự kiện “A xuất hiện đúng k lần trong lược đồ
trên”, và XS xuất hiện sự kiện đó đượcký hiệu là ꢅ (ꢞ). Do mỗi kết
ꢋ
cục của phép thử (dãy Béc-nu-li) là tích của n sự kiện con A hoặc
ꢄ, nên dễ dàng chứng minh được công thức Béc-nu-li
ꢅ (ꢞ) = ꢛꢋꢐꢟꢐꢠꢋꢑꢐ.
(9)
ꢋ
Công thức (9) là dạng thuận tiện để tính toán hơn so với các công
thức cộng và nhân XS, vì vậy nó có ý nghĩa thực tiễn lớn.
Thí dụ 10
. Trong phân xưởng có 5 máy hoạt động, XS để mỗi máy
bị hỏng trong ca đều bằng 0,1. Tính XS để trong ca đó có đúng 2
máy hỏng.
Giải: Ta có lược đồ Béc-nu-li, với n = 5, p = 0,1 và k =2, áp
dụng (9) ta có
ꢅꢚ(2) = ꢛꢚꢕ0,1ꢕ. 0,9ꢗ = 0,0729.
Tất nhiên ta có thể giải bằng các công thức cộng và nhân XS,
nhưng sẽ dài dòng hơn.
Thí dụ 11
. XS để chữa khỏi bệnh A bằng một loại thuốc là 0,8. Có
thể kết luận cứ 5 người bị bệnh A dùng thuốc trên thì 4 người
khỏi bệnh không?
Giải: Ở đây ta có lược đồ Béc-nu-li với n =5, p = 0,8 và k = 4.
Vậy ta có
ꢅꢚ(4) = ꢛꢚꢒ0,8ꢒ. 0,2ꢍ = 0,4096.
Từ đó kết luận trên không thể coi là đúng.
Nhiều khi ta cần tính XS để trong dãy n phép thử Béc-nu-li sự
kiện A xuất hiện với số lần từ k1 đến k2; dễ thấy XS cần tìm, ký
hiệu là ꢅ (ꢞꢍ; ꢞꢕ), sẽ là
ꢋ
ꢐ
ꢐꢌꢐ
ꢐ
ꢈ
ꢈ
ꢅ (ꢞꢍ; ꢞꢕ) =
ꢋ
ꢅ (ꢞ) =
ꢋ
ꢛꢋꢐ ꢟꢐꢠꢋꢑꢐ
ꢐꢌꢐ
ꢇ
.
(10)
ꢇ
Nhận xét: Khi n và k khá lớn, việc tính toán XS theo (9)-(10) rất
cồng kềnh và khó khăn. Vì vậy ta có thể tính xấp xỉ theo các cách
sau đây:
(i) Nếu n rất lớn, trong khi p rất nhỏ, XS trong (9) có thể được
tính gần đúng bằng (xấp xỉ Poison)
ꢉ
ꢅ (ꢞ) ≈ (ꢋꢡ) ꢝꢑꢋꢡ
.
(11)
ꢋ
ꢐ!
(ii) Nếu n rất lớn, trong khi p không quá bé và quá lớn (quá
gần 1), ta có xấp xỉ chuẩn của (9)
ꢐꢑꢋꢡ
ꢋꢡꢤ
ꢢ ꢣ
ꢜꢟꢠ
ꢞ
ꢅ ꢞ ≈
ꢋ
, ꢣꢐ =
,
(12)
ꢑꢦꢈ/ꢕ
ꢍ
trong đó ꢢ(ꢣ) =
ꢝ
là hàm Gauss.
ꢕꢥ
(iii) Nếu n rất lớn, trong khi p không quá bé và quá lớn, thì XS
trong (10) có thể xấp xỉ bằng
ꢐ ꢑꢋꢡ
ꢨ
ꢅ (ꢞꢍ; ꢞꢕ) ≈ ꢧ ꢣꢕ − ꢧ ꢣꢍ , ꢣꢎ =
ꢋ
, j = 1;2, (13)
ꢋꢡꢤ
ꢈ
ꢦ ꢝꢑꢩ /ꢕ ꢪꢫ là hàm Laplace.
ꢍ
trong đó ꢧ(ꢣ) =
ꢙ
ꢕꢥ
Thí dụ 12
. Xác suất sản xuất ra phế phẩm của một máy là 0,005.
Tìm XS để trong 800 sản phẩm của máy đó có đúng 3 phế phẩm.
Giải: Ở đây có thể dùng xấp xỉ Poisson theo (11) với np = 4
ꢬ
ꢅꢖꢙꢙ(3) ≈ ꢒ ꢝꢑꢒ = 0,1954.
ꢗ!
Thí dụ 13
. Xác suất ném trúng rổ của một cầu thủ là 0,8. Tìm XS để
trong 100 lần ném thì cầu thủ đó:
a) ném trúng 75 lần;
b) ném trúng không ít hơn 75 lần.
Giải: Việc tính XS theo (9)-(10) khá phức tạp. Ta sẽ tính xấp xỉ
theo (12) và (13):
75−100.0,8
100.0,8.0,2
ꢢ
ꢭ(ꢑꢍ,ꢕꢚ)
ꢒ
a)
b)
ꢅ
75 ≈
=
= 0,04565.
ꢍꢙꢙ
100.0,8.0,2
ꢅ (75; 100) ≈ ꢧ 5 − ꢧ −1,25 = 0,8943.
ꢍꢙꢙ
PHỤ LỤC
ꢑꢯꢱ/ꢱ
ꢰ
=
1. Bảng hàm Gauss ꢮ(ꢯ)
ꢳ
ꢱꢲ
x
0.0 0,3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.1
0.2
0.3
0.4
3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
3683 3668 9653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
3521 3503 3485 3467 3448 3929 3410 3391 3372 3352
3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920
2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1.0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1.1
1.2
1.3
1.4
2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
0440 0431 0422 0413 0404 0396 0388 0379 0371 0363
0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107
0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
x
0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
0006 0006 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0004
0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ꢱ
ꢯ ꢳꢑꢵ /ꢱ
ꢰ
=
2 Bảng hàm Laplace ꢴ(ꢯ)
ꢶ
ꢱꢲ
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0,0000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586
03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535
07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409
11791 12172 12556 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173
15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793
19146 19497 19847 20194 20194 20884 21226 21566 21904 22240
22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490
25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524
28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327
31594 31859 32121 32881 32639 32894 33147 33398 33646 33891
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214
36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298
38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147
40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 41774
41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189
43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408
44520 44630 44738 44815 44950 45053 45154 45254 45352 45449
45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327
46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062
47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.5
4.0
4.5
47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169
48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574
48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899
48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158
49180 49202 49224 49245 49266 49285 49305 49324 49343 49361
49379 49396 49413 49430 49446 49261 49477 49492 49506 49520
49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 49643
49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736
49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807
49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49861
0,49865
49977
3,1 49903
3,6 49984
3,2 49931
3,7 49989
3,3 49952
3,8 49993
3,4 49966
3,9 49995
499968
499997
5.0 49999997
BÀI TẬP
1. Gieo một con xúc xắc và đặt A là sự kiện xuất hiện mặt
chẵn, B – mặt có số chấm là bội số của 3.
a) Hai sự kiện trên có xung khắc không? Tại sao?
b) Hai sự kiện trên có độc lập không? Tại sao?
2. Trong hộp có n quả bóng bàn mới. Người ta lấy ra ngẫu
nhiên k quả để chơi (k < n/2) sau đó bỏ trở lại vào hộp.
Tính XS để lần sau lấy ra ngẫu nhiên k quả lại được k quả
mới.
3. Túi I đựng 2 bi trắng, 4 bi đỏ; túi II đựng 3 bi trắng 4 bi đỏ.
Rút hú hoạ từ mỗi túi ra hai viên bi. Tính các XS để:
a) rút được hai bi trắng;
b) số bi trắng được rút từ mỗi túi bằng nhau;
c) số bi trắng được rút từ túi I nhiều hơn từ túi II.
4. Lô hàng có 12 sản phẩm. Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy
ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm, sau khi kiểm tra xong trả lại
vào lô. Tính XS để sau 3 lần kiểm tra thì tất cả các sản
phẩm của lô hàng đều được kiểm tra.
5. Ba cầu thủ mỗi người ném hai quả bóng vào rổ, XS trúng
rổ của từng người trong mỗi lần ném tương ứng là 0,6; 0,7
và 0,8.
a) Tính XS có đúng 3 quả bóng trúng rổ.
b) Tính XS số bóng trúng rổ của 3 người bằng nhau.
c) Biết có đúng 2 quả trúng rổ, tính XS để cả hai quả đó
là của cầu thủ thứ hai.
6. Một phòng máy có 3 máy tính, XS hỏng trong một ngày
của mỗi máy tương ứng là 0,01; 0,02 và 0,03.
a) Tính XS để có ít nhất 2 máy hỏng trong ngày.
b) Biết trong ngày có ít nhất 1 máy hỏng, tính XS để
trong số máy hỏng có máy thứ ba.
7. Có 3 thùng: thùng I đựng 1 bi trắng, 4 bi đỏ; thùng II đựng
2 bi trắng 3 đỏ; thùng III đựng 3 bi trắng 2 đỏ. Rút ngẫu
nhiên từ mỗi thùng ra 1 viên bi.
a) Tính XS để trong 3 bi có 2 bi trắng 1 bi đỏ.
b) Biết trong 3 bi đó có ít nhất một bi đỏ, tính các XS để
trong số các viên bi đỏ có viên bi của thùng I.
8. Một lô có 50 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu
nhiên từ lô ra 10 sản phẩm đem kiểm tra: nếu trong 10
sản phẩm nếu có nhiều nhất 1 phế phẩm thì lô được xếp
đạt chất lượng, ngược lại (có nhiều hơn 1 phế phẩm) lô bị
xếp không đạt chất lượng. Tính XS để lô hàng được xếp là
đạt chất lượng.
9. Cho hai sự kiện A, B, trong đó P(A) = 0,4 và P(B) =0,7.
Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P (AB) và P(A
+B), và cho thí dụ các sự kiện đạt được các giá trị đó.
10. Theo thống kê trong các gia đình có 2 con thì XS cả hai
con là trai bằng 0,27, XS cả hai là gái bằng 0,23; các sự
kiện có một trai, một gái là đồng khả năng. Tính XS trong
một gia đình hai con được chọn ngẫu nhiên có con thứ hai
là trai, biết rằng con thứ nhất là gái.
11. Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho
5 câu trả lời với 1 câu trả lời đúng. Nếu chọn câu trả lời
đúng thì được 4 điểm và chọn mỗi câu trả lời sai bị trừ đi
1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú hoạ
một câu trả lời cho mỗi câu hỏi. Tính XS để:
a) học sinh đó được 13 điểm;
b) học sinh đó bị điểm âm.
12. Một người say rượu đi 8 bước, mỗi bước anh ta hoặc
tiến lên phía trước một mét hoặc lùi lại phía sau một mét
với XS như nhau. Tính XS để sau 8 bước:
a) anh ta trở lại điểm xuất phát;
b) anh ta cách điểm xuất phát hơn 4 mét.
13. Một gia đình có 6 con, XS sinh con trai là 0,52 ở mỗi lần
sinh. Tính XS để trong 6 con đó:
a) có đúng 3 con trai;
b) có không quá 3 con trai;
c) có nhiều nhất 4 con trai.
14. Một công nhân đứng máy 1000 ống sợi, XS mỗi ống sợi
bị đứt trong vòng một giờ là 0,005. Tính XS để trong vòng
1 giờ:
a) có 40 ống sợi bị đứt;
b) có không quá 40 ống sợi bị đứt.
15. Máy tính có n bộ phận. XS máy hỏng trong khoảng thời
gian T của bộ phận thứ k bằng pk (k =1, 2, …, n). Biết nếu
chỉ cần một bộ phận hỏng thì máy ngừng làm việc. Tính XS
để máy tính đó ngừng làm việc trong khoảng thời gian T.
19 trang
26/04/2022
6640
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 1 - Bài 3: Cộng và nhân xác suất - Tống Đình Quỳ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_xac_suat_thong_ke_bai_3_cong_va_nhan_xac_suat_ton.pdf
