Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 2 - Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Tống Đình Quỳ
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
§1 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
1.1 Khái niệm biến số ngẫu nhiên
* Khái niệm
Biến ngẫu nhiên là biến số phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên
nào đó. Ta sẽ ký hiệu biến ngẫu nhiên là X, Y, …, ꢀꢁ, ꢀꢂ,…
Trong toán học người ta đưa ra định nghĩa
ꢀ = X(ꢃ): ꢄ ⟼ ℝ.
* Thí dụ 1
. Gieo một con xúc xắc (phép thử) và gọi ꢀ là số chấm
xuất hiện. Rõ ràng biến ngẫu nhiên ꢀ phụ thuộc vào kết cục của
phép thử và lấy giá trị trong tập {1, 2, …, 6}.
* Thí dụ 2
. Chiều cao của một sinh viên là một biến ngẫu nhiên.
Phụ thuộc vào độ chính xác của phép đo, ta có giá trị của nó nằm
trong một khoảng số nào đó, chẳng hạn (1,69; 1,71m).
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
* Phân loại
(i) Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc, nếu tập giá trị của nó là
một tập hữu hạn {ꢅꢁ, ꢅꢂ, …, ꢅꢆ} hoặc vô hạn đếm được các phần tử
(tập đếm được).
(ii) Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu tập giá trị của nó
lấp kín một khoảng (đoạn) hoặc một số khoảng trên trục số hoặc
cũng có thể là cả trục số (tập không đếm được).
1.2 Bảng phân phối xác suất (Bảng PPXS)
Ta ký hiệu ꢇꢈ = P(X = ꢅꢈ), i = 1, 2, …, n, …
* Định nghĩa.
Bảng PPXS của một biến ngẫu nhiên rời rạc X được
xác định như sau
X = ꢅ
ꢇ(ꢅ)
ꢅꢁ
ꢇꢁ
ꢅꢂ
ꢇꢂ
…
…
ꢅꢆ
ꢇꢆ
…
…
Chú ý tập giá trị của ꢀ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, còn
hàm ꢇ(ꢅ) = P(X = ꢅ).
* Thí dụ 3
. Gọi ꢀ là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc
(xem thí dụ 1). Khi đó bảng PPXS của ꢀ sẽ là
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
X = ꢅ
ꢇ(ꢅ)
1
2
3
…
…
6
1/6
1/6
1/6
1/6
Để ý các XS ꢇ(ꢅ) bằng nhau trên tập giá trị {1, 2, …, 6} của X (đồng
khả năng). Ta nói rằng ꢀ có phân phối đều trên tập {1, 2, …, 6} và
ký hiệu X ~ ꢉ{ꢁ,ꢂ,…,ꢊ} (uniform distribution of probability). Người
ta cũng coi XS để X nhận các giá trị không có trong bảng bằng 0.
* Thí dụ 4
. Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta được yêu cầu bắn từng
viên cho đến khi trúng thì dừng bắn. Tìm PPXS của số đạn cần bắn,
biết rằng XS bắn trúng mỗi lần bắn là 0,4.
Giải: Rõ ràng số đạn cần bắn, ký hiệu là X, là biến ngẫu nhiên rời
rạc và có 3 giá trị 1, 2, 3.
X = 1 ⟺ sự kiện phát đạn đầu trúng, ꢇꢁ= P(X =1) = 0,4;
X = 2 ⟺ phát đầu trượt, phát thứ hai trúng và dễ dàng
tính được ꢇꢂ= 0,6.0,4 = 0,24;
X = 3 ⟺ hai phát đạn đầu trượt, ꢇꢋ = 0,36. Từ đó
X = ꢅ
ꢇ(ꢅ)
1
0,4
2
0,24
3
0,36
* Thí dụ 5
. Lấy lại thí dụ 4 nhưng xạ thủ được yêu cầu bắn hết đạn.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Tìm PPXS của số đạn trúng.
Giải: Nếu gọi ꢀ là số đạn trúng thì tập giá trị của nó {0, 1, 2, 3}, ở
đây ta có lược đồ Bernoulli với ꢌ =3, ꢇ =0,4 và ꢍ = 0,3. Sử dụng
k n−k
công thức Bernoulli p(k) = ꢎꢆꢏ ꢇ q
X = ꢅ
ꢇ(ꢅ)
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
Trong trường hợp tổng quát (ꢌ, ꢇ tuỳ ý) ta gọi PPXS của ꢀ là phân
phối nhị thức (binomial distribution) và ký hiệu là X ~ ℬ(ꢌ, ꢇ). Ở
đây X ~ ℬ(3; 0,4).
Hàm số ꢇ(ꢅ) = P(X = ꢅ), ꢅ ∈ tập giá trị của X, được gọi là hàm xác
suất (probability function) của X; nó có hai tính chất quan trọng:
* Tính chất
(i)
ꢇ(x) > 0 ∀x;
(ii)
∀ꢐ ꢇ(ꢅ) = 1.
* Thí dụ 6
. Biến ngẫu nhiên X được coi là tuân theo luật PPXS
Poisson, ký hiệu là X ~ ꢑ(ꢒ), ꢒ là tham số nào đó, nếu hàm xác
suất của nó được xác định như sau
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢔ
ꢓ
ꢇ(ꢅ) =
ꢕꢖꢓ, ꢅ = 0, 1, 2, …
ꢐ!
Chú ý hàm của các biến ngẫu nhiên rời rạc tiếp tục là biến ngẫu
nhiên rời rạc. Việc xác định PPXS của biến hàm trong trường hợp
này tương đối đơn giản.
* Thí dụ 7
. Cho hai biến ꢀ và ꢗ có bảng PPXS tương ứng:
ꢅ
ꢇ(ꢅ)
−1
0,3
0
0,4
1
0,3
ꢘ
ꢇ(ꢘ)
1
0,3
2
0,7
Lập bảng PPXS của: a) X 2; b) X + Y.
Giải:
a) Biến Z = X 2 chỉ có hai giá trị 0 và 1. Từ đó ta có bảng PPXS
z
0
1
ꢇ(ꢙ)
0,4
0,6
b) Biến Z = X + Y có các giá trị 0, 1, 2 và 3. Để ý rằng
P(Z = ꢙꢏ) = ꢢ ꢚ( ꢀ = ꢅꢈ . {ꢗ = ꢘꢛ}).
∀ꢈ,ꢛ: ꢜ ꢞꢐ ꢠꢡ
ꢝ
ꢟ
Tích trong tổng được hiểu là sự kiện xảy ra đồng thời {X = ꢅꢈ} và
{Y = ꢘꢛ}. Nếu thêm giả thiết hai sự kiện trên độc lập thì
ꢚ( ꢀ = ꢅꢈ . ꢗ = ꢘꢛ ) = P(X = ꢅꢈ)P(Y = ꢘꢛ).
Từ đó bảng PPXS của Z
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ꢙ
0
1
2
3
ꢇ(ꢙ)
0,09
0,33
0,37
0,21
(chẳng hạn P(Z = 2) = P(0;2) + P(1;1) = 0,4.0,7 + 0,3.0,3).
1.3 Hàm phân phối xác suất (hàm phân phối)
Có một cách khác để đặc trưng cho phân phối XS.
* Định nghĩa.
Hàm phân phối xác suất (probability distribution
function) của một biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là ꢣ(ꢅ), được xác
định như sau
ꢣ(ꢅ) = P(ꢀ < ꢅ), ꢅ ∈ ℝ.
Ý nghĩa: ꢣ(ꢅ) phản ánh độ tập trung XS ở bên trái điểm ꢅ
⇒ hàm phân phối tích luỹ (xác suất tích luỹ)
⇒ hàm phân phối tích phân.
* Thí dụ 8
. Từ bảng PPXS của thí dụ 4 ta có ꢣ ꢅ = ꢐ ꢤꢐ ꢇ(ꢅꢈ) ⇒
ꢟ
0;
ꢅ < 1,
0,4; 1 < ꢅ ≤ 2,
0,64; 2 < ꢅ ≤ 3,
ꢣ ꢅ =
1;
ꢅ > 3.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Nếu vẽ đồ thị, ta có dạng bậc thang. Để ý là tại mỗi nơi chuyển bậc
thì ta có điểm gián đoạn loại 2. Hàm phân phối cho biến liên tục có
vai trò quan trọng trong nghiên cứu xác suất.
* Tính chất
i 1 ≥ ꢣ(x) ≥ 0;
(ii) F(ꢅ) là hàm không giảm ⟺ ∀ ꢅꢂ > ꢅꢁ ⇒ ꢣ(ꢅꢂ) ≥ ꢣ(ꢅꢁ);
(iii) P(ꢥ ≤ ꢀ < ꢦ) = ꢣ(ꢦ) − ꢣ(ꢥ);
(iv) F(+∞) = 1; F(−∞) = 0.
Việc chứng minh các tính chất này khá đơn giản dùng định nghĩa
hàm phân phối.
Hạn chế: + khó biết nơi nào tập trung nhiều XS hơn,
+ sau này ta thấy không thể biểu diễn ꢣ(ꢅ) dưới
dạng hàm sơ cấp trong nhiều trường hợp.
1.4 Các số đặc trưng cơ bản
A. Kỳ vọng
Ta xét phép tính kỳ vọng trong trường hợp biến rời rạc. Giả
thiết rằng X có hàm XS ꢇ(ꢅ). Khi đó kỳ vọng (Expectation value)
của Z = ꢧ(X) được định nghĩa như sau
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
* Định nghĩa 1.
Kỳ vọng của Z = ꢧ(X) với ꢇ(ꢅ) là hàm XS đã cho
của biến X được tính theo
EZ = ∀ꢐ ꢧ(ꢅ)ꢇ(ꢅ).
Trường hợp riêng khi Z = X, ta có
(1)
* Định nghĩa 2.
Kỳ vọng của X, với ꢇ(ꢅ) là hàm XS đã cho
của biến X, được tính theo
EX = ∀ꢐ ꢅꢇ(ꢅ) = ∀ꢈ ꢅꢈꢇꢈ.
(2)
* Tính chất
i E(c) = c, c = const;
(ii) E(cX) = cEX;
(iii) E(X + Y) = EX + EY;
(iv) E(XY) = EX.EY, X và Y độc lập.
Chú ý: tính chất (ii) và (iii) được gọi là tính tuyến tính của phép
toán, vốn quen thuộc trong phép tính đạo hàm hay tích phân.
Ý nghĩa thực tế: kỳ vọng là giá trị trung bình (mean value) của
biến ngẫu nhiên hoặc đóng vai trò định vị của biến.
* Thí dụ 9
. Xét lại thí dụ 3 và cần tính kỳ vọng của X.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Giải: Do X ~ ꢉ{ꢁ,ꢂ,…,ꢊ} nên sử dụng (2)
ꢁ
EX = (1 + 2 + …+ 6) = 3,5.
ꢊ
Nhận xét rằng nếu X có phân phối đều thì EX nhận giá trị chính
giữa tập giá trị, ở đây EX = (1 + 6)/2.
Nếu muốn tìm kỳ vọng của tổng số chấm xuất hiện khi gieo 3 con
xúc xắc, sủ dụng tính chất (iii) ta có kỳ vọng bằng 3.3,5 = 10,5.
* Thí dụ 10
. Một nhóm có 6 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3
người. Hỏi trung bình chọn được bao nhiêu nam trong 3 người?
Giải: Gọi X – số nam được chọn, dễ thấy với ꢍ = 0, 1, 2, 3
ꢝ ꢪꢫꢝ
ꢨ ꢨ
ꢩ ꢪ
P(X = ꢍ) =
.
ꢪ
ꢨ
ꢬ
Thay vào (2) và thực hiện tính toán
ꢇ(0) = 1/84; ꢇ(1) = 3/14; ꢇ(2) = 15/28; ꢇ(3) = 5/21
ꢁ
ꢋ
ꢁꢯ
ꢯ
⇒
EX = 0. + 1. + 2. + 3. = 2.
ꢭꢮ
ꢁꢮ
ꢂꢭ
ꢂꢁ
* Thí dụ 11
. Một trạm y tế có 1 bác sỹ, 2 y sỹ và 6 điều dưỡng.
Chọn ngẫu nhiên từng người một cho đến khi được 1 điều dưỡng
thì dừng chọn. Tính (theo cách chọn trên):
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
a) Số người trung bình được chọn.
b) Số y sỹ trung bình được chọn.
Giải:
a) Gọi X – số người được chọn theo cách của đầu bài và X nhận
các giá trị 1, 2, 3 và 4. Từ đó, nếu đặt ꢰꢈ - chọn được người
không phải là điều dưỡng ở lần chọn thứ ꢱ, ꢱ =1, 2, 3, 4:
P(X = 1) = P(ꢰꢁ) = 6/9 = 2/3;
P(X = 2) = P(ꢰꢁꢰꢂ) = 3.6/(9.8) = 1/4;
P(X = 3) = P(ꢰꢁꢰꢂꢰꢋ) = 3.2.6/(9.8.7) = 1/14;
P(X = 4) = P(ꢰꢁꢰꢂꢰꢋꢰꢮ) = 3.2.1.6/(9.8.7.6) = 1/84.
Có thể kiểm tra dễ dàng ∀ꢐ ꢇ(ꢅ) = 1. Áp dụng (2) ta có
ꢂ
ꢁ
ꢁ
ꢁ
ꢁꢲ
ꢳ
EX = ∀ꢐ ꢅꢇ(ꢅ)=1. + 2. + 3.
+ 4.
=
≈ 1,4286.
ꢋ
ꢮ
ꢁꢮ
ꢭꢮ
b) Gọi ꢗ là số y sỹ được chọn và ta cần tính EY. Việc lập bảng
PPXS cho ꢗ khá phức tạp. Tuy nhiên nếu sử dụng tính chất
của kỳ vọng thì đơn giản hơn nhiều. Gọi Z – số bác sỹ được
chọn theo cách của đầu bài. Ta có:
E
Y + Z + 1 = X ⇒
⇒
Y + EZ + 1 = EX = 10/7
Y + EZ = 3/7;
E
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
mặt khác theo quy tắc tam xuất
E
.
Y = 2/7 ≈ 0,2857
EY/EZ = 2/1 ⇒
B. Phương sai
Dùng phép tính kỳ vọng ở mục trước ta có thể đưa ra khái niệm
phương sai (Variance value).
* Định nghĩa.
Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là VX,
được xác định như sau
VX = E[(X − EX)2].
(3)
Nhận xét: X – ꢴꢀ là độ lệch của ꢀ so với trung bình của nó
⇒ Phương sai – trung bình của bình phương độ lệch
⇒ Đặc trưng cho độ phân tán của ꢀ quanh trung bình
độ bất định; độ rủi ro …
Chú ý: Công thức (3) có dạng tương đương
VX = E(X 2) − (EX)2.
ꢂ
Cách tính: VX =
ꢅ − ꢴꢀ ꢇ(ꢅ) = ∀ꢈ(ꢅꢈ − ꢴꢀ)ꢂꢇꢈ
∀ꢐ
ꢂ
=
∀ꢐ ꢅꢂ ꢇ(ꢅ) − (EX)2 = ∀ꢈ ꢅꢈ ꢇꢈ − (EX)2.
* Tính chất
i ꢵ(c) = 0, c = const;
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
(ii) V(cX) = c2VX;
(iii) V(X + Y) = VX + VY, với ꢀ và ꢗ độc lập.
* Thí dụ 12
. Tính phương sai của X ~ ꢉ{ꢁ,ꢂ,…,ꢊ} (xem thí dụ 3).
Giải: Ta đã có trong thí dụ 3 EX = 3,5. Bây giờ ta phải tính
ꢁ
ꢶꢁ
ꢊ
E(X 2) = (1 + 22 + 32 + … + 62) =
ꢊ
ꢶꢁ
ꢊ
ꢋꢯ
ꢁꢂ
⇒ VX = E(X 2) − (EX)2 =
− 3,52 =
≈ 2,9167.
* Thí dụ 13 Hai xạ thủ A và B bắn loạt 100 viên mỗi người vào bia
.
có các vòng tròn từ 5 đến 10 điểm. Tần suất bắn đạt các điểm của
mỗi xạ thủ được cho trong bảng sau:
Điểm X
5
6
7
8
9
10
A
B
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,07
0,12
0,10
0,39
0,25
0,40
0,52
Bạn có thể đánh giá gì về kết quả bắn của hai xạ thủ?
Giải: Có thể coi tần suất là xác suất xấp xỉ. Từ đó tính được nếu
gọi A và ꢷ tương ứng là điểm của A và B:
EA = 9,05; EB = 9,08; E(A 2) = 83,05; E(B 2) = 84,02
⇒
VA = 1,1475; VB = 1,5736.
Ta thấy điểm trung bình của A (EA = 9,05) bé hơn của B (EB =
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
9,08), tuy nhiên phương sai của A VA = 1,1475 nhỏ hơn VB =
1,5736 hay kết quả của A ổn định hơn B.
BÀI TẬP
1. Có 4 xạ thủ cùng bắn mỗi người một phát vào bia, XS
trúng bia của các xạ thủ tương ứng là 0,9; 0,8; 0,7 và 0,6.
a) Tìm PPXS của số đạn trúng. Sau đó lập hàm phân phối
tương ứng và vẽ đồ thị của hàm.
b)Tính xác suất để có không quá 2 người bắn trúng.
2. Một lô gồm 100 sản phẩm có 10 phế phẩm. Lấy ngẫu
nhiên ra 5 sản phẩm (không hoàn lại). Lập bảng PPXS của
số phế phẩm trong 5 sản phẩm đó.
3. Biến ngẫu nhiên X có bảng PPXS sau, ꢒ là tham số,
ꢅ
1
2
3
4
5
ꢇ(ꢅ)
2ꢒ
2ꢒ
3ꢒ
ꢒ
2ꢒ
a) Xác định tham số ꢒ.
b) Lập hàm phân phối của ꢀ và vẽ đồ thị.
c) Tìm giá trị ꢍ nhỏ nhất sao cho P(ꢀ ≤ ꢍ) > 0,5.
4. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng PPXS
ꢅ
1
3
5
7
9
ꢇ(ꢅ)
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Tìm PPXS của ꢗ = min {X, 6}.
5. Trọng lượng (g) của một chất trong 200 gói cho kết quả
Trọng lượng
47
17
48
36
49
98
50
35
51
14
Số gói
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Tìm PPXS của trọng lượng trên, sau đó tính kỳ vọng và
phương sai của trọng lượng đó.
6. Chữa bệnh cho 40 người, người ta thống kê được thời gian
khỏi bệnh như sau:
- có 12 người khỏi sau 7 ngày điều trị,
- có 15 người khỏi sau 8 ngày điều trị,
- có 13 người khỏi sau 9 ngày điều trị.
Tính kỳ vọng và phương sai của thời gian điều trị khỏi
bệnh của nhóm bệnh nhân trên.
7. Một người có một chùm chìa khoá 7 chiếc, trong đó chỉ có
hai chiếc mở được cửa. Người đó thử ngẫu nhiên từng
chiếc cho đến khi mở được cửa. Gọi ꢀ là số lần thử, tìm
PPXS của ꢀ và tính EX, VX.
8. Trong một chiếc hộp có 4 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến
4. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ và gọi ꢀ là tổng của hai số
trên hai thẻ. Tìm PPXS của X.
9. Một người chọn ngẫu từng sản phẩm từ một lô hàng (có
số lượng sản phẩm rất lớn) cho đến khi được một phế
phẩm thì dừng. Gọi ꢀ là số lần cần chọn. Tìm PPXS của X,
biết tỷ lệ phế phẩm của lô hàng là 10%. Giả sử có 100
người cùng chọn như vậy, hỏi có khoảng bao nhiêu người
phải chọn ít nhất 3 lần?
10. Một xạ thủ có 5 viên đạn. Anh ta được yêu bắn cho đến
khi có 2 viên đạn trúng thì dừng. Gọi ꢀ là số đạn phải bắn,
biết XS bắn trúng mỗi lần là 0,4. Tìm PPXS của X, sau đó
tìm kỳ vọng và phương sai của X.
11. Có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy lần lượt ra
3 sản phẩm (không hoàn lại).
a) Gọi ꢀ là số chính phẩm trong 3 sản phẩm đó. Tìm PPXS
của X, sau đó tìm kỳ vọng và phương sai của X.
Chương II. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
b) Gọi ꢗ là số phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra, tìm
ꢴꢗ và VY.
12. Một người bỏ ra ꢅ$ để tham gia trò chơi tung con xúc
xắc 3 lần. Nếu cả 3 lần đều xuất hiện mặt lục thì thu về
36$, nếu 2 lần xuất hiện mặt lục thì thu về 2,8$, còn nếu 1
lần xuất hiện mặt lục thì thu về 0,4$.
a) Tìm ꢅ sao cho trò chơi là vô thưởng vô phạt.
b)ꢅ bằng bao nhiêu thì trung bình mỗi lần chơi sẽ mất 1$?
13. Hai cầu thủ thay nhau ném bóng vào rổ cho đến khi nào
trúng rổ thì dừng ném, biết rằng XS ném trúng mỗi lần của
từng người tương ứng là 0,4 và 0,6. Tìm PPXS của:
a) số lần ném của cầu thủ thứ nhất;
b) số lần ném của cả hai cầu thủ.
14. XS bắn trúng của một khẩu súng là ꢇ. Tiến hành bắn liên
tiếp trong điều kiện như nhau cho đến khi trúng thì dừng
bắn. Tìm số đạn trung bình phải bắn.
15 trang
16900
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 2 - Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Tống Đình Quỳ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_xac_suat_thong_ke_bai_1_bien_ngau_nhien_roi_rac_t.pdf
