Giáo trình Giải tích 3 - Bài 15: Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 15
§4. Đạo hàm, Tích phân, và tích các phép biến đổi
Tích chập của hai hàm Vi phân của phép biến đổi Tích phân của phép biến đổi
1. Mở đầu
Phép biến đổi Laplace của nghiệm của một phương trình vi phân đôi khi là tích
của các biến đổi của hai hàm đã biết.
Chẳng hạn, xét bài toán với giá trị ban đầu
Tác động phép biến đổi Laplace ta có:
;
,
x" x cost x(0) x'(0) 0
s
s
1
2
.
s X s sx 0 x 0 X s
X(s)
.
L cost .L sint
s2 1
s2 1 s2 1
1
1
2
1
s
Mặt khác ta có
.
L cost.sint L
sin2t .
s2 22 s2 4
2
2
2
2
s 1
Do đó L cost sint L cost .L sint
Rõ ràng rằng, để giải được bài toán trên, ta cần tìm hàm
sao cho
h t
L h t L cost .L sint
2. Tích chập của hai hàm
Định nghĩa. Tích chập đối với phép biến đổi Laplace của hai hàm
liên tục từng
f, g
t
khúc được định nghĩa với như sau:
(f g)(t) f( )g(t )d, t 0
0
Tích chập là giao hoán
Ví dụ 1 a) Tính
cost sint
t
t
1
Ta có
cost sint cos sin(t )d
sint sin(2 t) d
2
0
0
t
0
1
2
1
1
2
1
1
1
sint cos(2 t)
t sint .
t sint cost cos t
2
2
2
2
eat at 1
at
2
(
2 t sint
)
b)
(
)
c)
t e
t cost
a2
Định lí 1.
Giả sử f t , g t liên tục từng khúc với
t 0
ct
,
bị chặn bởi
khi
, các số
không âm.
M, c
f t
g t
Me
t
L 1 F(s).G(s) f(t) g(t)
Khi đó ta có L f(t)g(t) L f(t) .L g(t) và
ut
su
G(s) e g(u)du
es(t )g(t )dt
Chứng minh. Có
0
96
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
s
Do đó
Với
G(s) e
estg(t )dt
0
khi
, có F(s)G(s) G(s) esf( )d esf( )G(s)d
g u 0
u 0
0
0
s
s
st
st
e f( ) e
e g(t )dt d
e f( )g(t )dt d.
0
0
0
0
Từ giả thiết đã cho đổi thứ tự lấy tích phân có
t
st
st
F(s)G(s) e
f( )g(t )d dt e
f( )g(t )d dt
0
0
0
0
est f(t) g(t) dt,
0
Do đó F(s)G(s) L f(t)g(t) .
2
1
Ví dụ 2 a) Cho
,
t . Tính L
f t sin2t g t e
s 1 s2 4
1
s 1
t
2
t
Ta có
, L e
L sin2t
s2 4
2
L 1
sin2t et et sin2d
s 1 s2 4
0
t
t
0
e
et e sin2d et
sin2 2cos2
5
0
t
e
1
et
sin2t 2cos2t 2
5
5
2
1
2
et sin2t cos2t
5
5
5
1
1
4
1
)
b)
c)
d)
(
(
(
L
L
L
1 cos2t
2
s s 4
1
kt sinkt
1
)
k3
2
2
2
s s k
1
1
1
2t
1 e
2sint cost )
2
5
s s 4s 5
3. Vi phân của phép biến đổi
97
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
ct
Định lí 2. Giả sử
liên tục từng khúc với
,
khi
t
, các số
(3.1)
f(t)
t 0 | f(t)| Me
không âm thì có
M, c
L tf(t) F '(s), s c
1
f(t) L 1 F(s) L 1 F '(s)
(3.2)
(3.3)
t
Tổng quát ta có
L tnf(t) (1)nF(n)(s), n 1,2,3,...
Chứng minh.
s
st
st
+) Từ giả thiết
hội tụ tuyệt đối, đều và
e f t liên tục,
e f t dt
s c
0
d
d
st
st
+) Do đó F s
e f t dt
e f t dt
ds 0
0 ds
est tf t dt L tf t
+)
0
+) Ta chứng minh (3.3) bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy,
n 1: ta đã có
L tf t F s
k
k
, tức có
L t f t 1 F
k
, thật vậy
Giả sử đúng
n k
Ta chứng minh đúng với
s
n k 1
d
d
k
k
k1
1
F
s
k1
k
k
k1
1 F
s
L t f t
L t f t L t.t f t
ds
ds
Ví dụ 1 a) TìmL t2 sinkt .
d2
k
d2
k
Từ (3.3) ta có L t2 sinkt (1)2
.
ds2 s2 k
ds2 s2 k2
2
d
2ks
s2 k2
6ks2 2k3
s2 k2
2
3
ds
2s3 24s
2
t
2
b)
(
)
c)
L t cos2t
, s 0
L te sin t
2
3
s 4
2
2 3s 6s 7
(
)
, s 0
2
2
2
s 1 s 2s 5
tx t 2 x x 0, x 0 0,
d)
+) Tác động phép biến đổi Laplace và sử dụng định lí 2 ta có
d
d
+) L tx L x
sX s x 0 ,
ds
ds
d
d
2
L tx L x
s X s s x 0 x 0
ds
ds
98
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
+)
Thay
vào
phương
trình
ta
có
d
d
2
sX s 2sX s X s 0
s X s x 0
ds
ds
+)
, là phương trình vi phân phân li biến số, có nghiệm là
s s 1 X s 4sX s 0
A
X s
, A 0
4
s 1
x t Ct e
+)
3 t , C 0
2 3t
e)
(
(
)
tx 3t 1 x 3x 0
x t Ct e ,C 0
2t
x t C 1 t e te2t ,C 0
f)
)
tx 2 t 1 x 2x 0
2 t
g) 1/
(
)
)
tx t 1 x x 0. x 0 0
x t ct e , c 0
3 t
2/
(
tx t 2 x x 0. x 0 0
x t ct e , c 0
2 3t
x(0) 0
tx (3t 1)x 3x 0
h)
,
(
)
x t ct e , c 0
1
1
1
Ví dụ 2 a) Tìm
.
L
tan
s
1
Do đạo hàm của tan1
là hàm hữu tỉ, từ (3.2) ta có
s
1
1
L
t
d
1
1
1
L 1 tan
tan1
s
ds
s
1
1/ s2
1
1
1
1
L 1
L
(sint)
1 (1/ s)2
s2 1
t
t
t
sint
1
1
tan1
.
L
s
t
2
1
2 cos2t cost
s 1
s2 4
3
1
L
ln
tan1
b)
(
)
c)
L
t
s 2
e2t sin3t
(
)
t
4. Tích phân của phép biến đổi
f t
t
| f(t)| Mect
khi
Định lí 3. Cho
liên tục từng khúc đối với
, lim
,
f(t)
t 0
t0
f(t)
F()d, s c
, các số
không âm thì có L
(4.1)
t
M, c
t
s
f(t) L 1 F(s) tL 1 F( )d
(4.2)
s
Chứng minh.
99
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
st
+) Từ giả thiết
hội tụ tuyệt đối và đều,
e f t dt
s c
0
t
e f t dt d
+) Ta có F d
s
s 0
et
t
f t dt
+) Từ đó đổi thứ tự tích phân ta có F d
e f t d dt
t
s
s
0 s
0
st f t
f t
+)
e
dt L
t
t
0
sinht
Ví dụ 1 a) Tìm L
.
t
sinht
cosht
Ta có
lim
lim
1
t
1
t0
t0
sinht
d
L
L sinht d
2
1
t
s
s
s
1
1
1
1
1
1
1 s 1
2 s 1
d ln
ln
2
1 1
2
s
sinht
1 s 1
ln
L
t
2 s 1
1
1 cos2t
2
b)
c)
( ln s 4 lns, s 0)
L
2
t
t
t
e e
( )
ln s 1 ln s 1 , s 1
L
t
2s
1
Ví dụ 2 a) Tìm L
.
2
s2 1
2s
2
1
1
tL
Từ (4.2) có
L
d
s2 1
2 1 2
2
s
1
1
1
tL 1
tL
t.sinht
2 1
s2 1
s
thoả mãn định lí 3.
f t t sinht
100
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2s
L 1
t sinht.
2
s2 1
s
1
8
1
2
t sint t cost )
b)
(
L
3
2
s 1
5. Phép biến đổi của hàm liên tục từng khúc
a) Đặt vấn đề
Các mô hình toán học trong hệ cơ học hay hệ điện thường liên quan đến các hàm
không liên tục tương ứng với các lực bên ngoài bất ngờ đảo chiều bật hay tắt.
Hàm đơn giản bật, tắt là hàm bậc thang đơn vị tại
(hàm Heaviside)
t a
0 t a
u t u(t a)
a
1 t a
có đồ thị như sau
Hình 4.5.1. Đồ thị của hàm đơn vị bậc thang
b) Phép tịnh tiến trên trục
t
Định lí 4. Nếu
tồn tại với
, thì có
s c
L {f(t)}
L u(t a)f(t a) easF(s) easL f
(2.1)
và
1
F (t a), s c a
L 1
e
asF(s) u(t a)f(t a) u(t a)L
(2.2)
f t
Hình 4.5.2. Tịnh tiến của
về phía phải a đơn vị
101
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
s a
as
f d
Chứng minh. +) Ta có
e F s e
0
as
st
+) Đổi biến
, ta có e F s e f t a dt
t a
a
0,
t a
+) Do
, nên có
u t a f t a
f t a , t a
as
st
.
e F s e u t a f t a dt L u t a f t a
0
as
s3
e
1
1
Ví dụ 1. Cho f(t) t2 . Tính L
2
as
e
s3
1
1
2
2
1
Từ (2.2) có L 1
u t a
t a
t a
u t a L
s
3
0
1
t a
(t a)2 t a
2
Hình 4.5.3. Đồ thị của biến đổi ngược trong Ví dụ 1
0 t 3
t2 t 3
g t
Ví dụ 2. Cho g(t)
. Tìm L
f(t) (t 3)2
2
g t t
Do
nên có
2
6
9
2
F(s) L t 6t 9
s3 s2
s
2
6
9
3s
3s
Từ định lí có
L g(t) L u(t 3)f(t 3) e F(s) e
s3 s2
s
cos2t
0 t 2
t 2
Ví dụ 3 a) TìmL f(t) nếu f(t)
0
102
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
f(t) 1 u t 2 cos2t cos2t u(t 2 )cos2 t 2
s(1 e2s
s2 4
)
L f(t) L cos2t e2sL cos2t
Từ định lí 1 có
.
es e4s
1, 1 t 4
(F s
b) f t
)
0, 0 t 1 và t 4
s
2s
cost, 0 t 2
s 1 e
c) f t
F s
(
)
s2 2
0,
t 2
1 es
t, 0 t 1
d) f t
(F s
)
s2
1, t 1
Ví dụ 4. Một vật nặng
lb (1 lb = 450 g) được gắn tự do vào một lò xo bị căng ra
32
1 ft bởi một lực 4 lb. Khối lượng này ban đầu ở vị trí cân bằng. Bắt đầu tại thời
điểm (lần thứ hai), một lực ở bên ngoài được tác động vào vật
t 0
này. Tuy nhiên tại thời điểm
đó vật này lại tiếp tục chuyển động một cách tự do. Tìm hàm vị trí
f(t) cos2t
lực này bị mất đi (đột ngột không liên tục). Sau
t 2
của vật đã
x(t)
cho.
Chuyển về bài toán giá trị ban đầu
;
x" 4x f(t) x(0) x'(0) 0
cos2t, 0 t 2
ở đó
f t
0,
t 2
biến
Tác
động
phép
đổi
Laplace
vào
hai
vế
ta
có
s(1 e2s
)
(s2 4)X(s) F(s)
,
s2 4
s
s
X(s)
e2s
.
2
2
s2 4
s2 4
s
1
Do
L 1
t sin2t ;
2
4
s2 4
s
2s
t 2
e
2
L 1
u(t 2 ).
sin2(t 2 )
s2 4
4
s
2s
s
1
e
1
2
x t L
Từ đó ta có
L
s2 4
2
2
x 4
1
t 2
1
t sin2t u(t 2 ).
sin2(t 2 ) t u(t 2 ).(t 2 ) sin2t
4
4
4
103
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
1
4
1
t sin2t,
t 2,
t 2.
x(t)
sin2t,
2
Ta thấy, vật dao động với tần số
và với biên độ tăng tuyến tính đến khi lực
2
được bỏ đi tại thời điểm
. Sau đó, vật tiếp tục chuyển động với cùng tần số
t 2
2
nhưng với biên độ dao động . Lực
có thể tiếp tục được cộng hưởng,
F(t) cos2t
tuy nhiên ta thấy nó bị biến mất ngay lập tức tại thời điểm nó không còn tác động nữa.
Ví dụ 5. Giải bài toán giá trị ban đầu
mx cx kx f t , x 0 x 0 0
1, 0 t 2
a) m 1, k 4, c 5, f t
0, t 2
1
t
4t
, g t
(
3 4e e
)
)
x t g t u t 2 g t 2
12
t, 0 t 1
0, t 1
m 1, k 1, c 0, f t
b)
(
,
x t g t u t 1 g t 1 h t 1 g t t sint, h t 1 cost
1, 0 t
, f t
c) 1/
x 9x f t , x 0 x 0 0
0, t
1
(x t 1 u t 1 u t cos3t )
9
1, 0 t
,
2/
x 16x f t , x 0 x 0 0 f t
0, t
1
(
)
)
x t
1 u t 1 cos4 t
16
0 t 1
t 1
1
, x(0) 0 x (0)
d)
x x f (t),
f (t)
0
(
x t 1 cost 1 cos t 1 u(t 1)
104
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
BẢNG 2
f t
at
L f t
s
1
2
e f t
L f t s a
easL f t s ,a 0
u t a f t a
dn
dsn
n
1
n
3
4
L f t
s
t f t
f g t
L f t s .L
g t
s
f t
L f t d
5
6
7
t
s
n
n
n1
n2
n1
s L f t s s f 0 s f 0 f
0
f
t
t
1
f d
L f t
s
s
0
BẢNG 3
L 1 F s
t
F s
1
L 1 F s
t
F s
1
2
t
tL 1 F d t
F s
s
eatL 1 F s
t
F s t a
3
4
5
F s a
1
easF s
u t a L
1
1
F s G s
G s t
L
F s L
t
s
F s
L 1 F s d
6
0
THE END.
Thank you and good bye!
105
10 trang
21760
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 15: Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_15_dao_ham_tich_phan_va_tich_cac.pdf
