Giáo trình Giải tích 1 - Bài 13: Đạo hàm riêng và vi phân - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
GIẢI TÍCH I
BÀI 13
§3.2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT)
2. Vi phân toàn phần
Định nghĩa. f(x, y) xác định trên D 2, M0(x0 ; y0) D. Nếu A, B không phụ
thuộc vào x, y để có f = Ax + By + x + y, ở đó
lim 0, lim 0
x0
y0
x0
y0
thì ta bảo hàm f khả vi tại M0 và có df(M0) = Ax + By là vi phân toàn phần
của hàm f tại M0.
Hàm f được gọi là khả vi trong miền D f khả vi tại M D.
Chú ý. f(x, y) khả vi tại M0(x0 ; y0) f(x, y) liên tục tại M0(x0 ; y0).
Ví dụ 1. Xét tính khả vi của các hàm số sau tại (0 ; 0)
a) u = x + 2y
b) u = 2x + 3 y
x3y
x6 y2
, x2 y2 0
c)
(f không liên tục tại (0 ; 0) không khả vi)
f x, y
0,
x2 y2 0
1
2
2
x y sin
, x, y 0 , 0
x2 y2
d) f x, y
0,
x, y 0 , 0
x tany
x2 y2
0,
, x, y 0 , 0
e)(K50) 1. f x, y
x, y 0 , 0
(f không liên tục tại (0 ; 0) không khả vi)
x siny
x2 y2
0,
,
x, y 0 , 0
f x, y
2.
(không khả vi)
x, y 0 , 0
Z(x,y) 3 x4 y2,
f)(K62) Cho
Z có khả vi tại (0,0) ? Tại sao ?
(không có Zx(0,0) không khả vi)
Định lí 1. f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận M0(x0 ; y0)
f(x, y) khả vi tại M0(x0 ; y0) và có dz = f’x x + f’y y
Ví dụ 2. Tính vi phân toàn phần
1
z
2
2
z ln x y
u
, du 3, 4, 5
a)
b)
x2 y2
2
c) z arctanxy
d)(K59)
z
1)
tại A(3 ;1 ;2) (dx+6ln3dy). 2)
z tại A(3 ;1 ;2) (dx+6ln2dy).
u xy
u xy
71
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Chú ý. Dựa vào vi phân để tính gần đúng:
f(x0 + x, y0 + y) f(x0, y0) + f’x(x0, y0)x + f’y(x0, y0)y
Ví dụ 3. Tính gần đúng
2
4,05 2,93
2
a) (1,02)3(0,97)2
b)
c) (1,04)2,02
3
4
d) ln 1,03 0,98 1
e) sin32 cos59
x 3y
y 3x
z
f) Tính gần đúng sự biến thiên của hàm số
khi x biến thiên từ x1 = 2
đến x2 = 2,5 còn y từ y1 = 4 đến y2 = 3,5.
g) Hình chữ nhật có hai cạnh a = 10cm và b = 24cm. Đường chéo l thay đổi
như thế nào nếu cạnh a dài thêm 4mm còn cạnh b ngắn đi 1mm? Tính giá trị
gần đúng và so sánh với giá trị đúng của nó.
h) Chiều cao của một hình nón h = 30cm, bán kính đáy R = 10cm. Thể tích
của nó thay đổi như thế nào nếu tăng h thêm 3mm và giảm R đi 1mm?
2
0,06
3
3
ln 0,02 1,03
i)(K53) 1.
k)(K55) 1.
(0,03)
2.
(2,01)
1,97 4e
3
4
3
2
2
3
2
3
(2,02)
(2,015)
(1,89).
(-2,085)
A 1,04 2,03 3
2. A 3,04 2,02 1
3
3
l)(K59) 1) 2 2,98 3 4,01 2
2
3
2) 4 1,97 3,02 3
3. Vi phân hàm hợp, tính bất biến, các dạng vi phân
2
2
Cho hàm f: B
, : D
B
x, y u x, y ,v x, y f u x, y ,v x, y
f
Định lí 2. f có các đạo hàm riêng liên tục trên B, còn u, v có các đạo hàm riêng
liên tục trên D thì f có các đạo hàm riêng và
y
f u f v
u y v y
x
f u f v
u x v x
;
f
.
.
f
.
.
Chú ý.
1/ z = f(x, y), y = y(x) thì có
dz f f
dx x y
y x
dz f
dt x
f
y
y t
x t
2/ z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) thì có
Ví dụ 4. Tính
dz
dt
x
dz
, z , x et, y lnt
, z uv, u sinx,v cosx
a)
c)
d)
b)
y
dz
dx
dx
y
, z arctan , y x2
z x
và
x
z z
,
x
, z arctan , x usinv, y ucosv
u v
y
72
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
ezx yz
du
e)
, tính
, y asinx, z cosx
.
u
a2 1
dx
f)(K58)
1. Cho z=f(x(t),y(t)), ở đó các hàm f(x,y), x=g(t), y=h(t) khả vi và có g(3)=2,
dz
,
, h(3)=7,
và
. Tính
(3) 2
.
(8)
g (3) 5
h (3) 4 fx(2,7) 6
fy (2,7)
dt
2. Cho z=f(x(t),y(t)), ở đó các hàm f(x,y), x=g(t), y=h(t) khả vi và có g(3)=0,
dz
. Tính
, h(3)=7,
và
.
(7)
g (3) 5
h (3) 4
(3) 3
fx(0,7)
fy (0,7) 8
dt
g)(K61)
Cho z=z(u,v) khả vi trên
đặt f(x) z(x2,x3). Tính
,
zu(1,1) 2,zv(1,1) 3,
(5)
f (1).
h)(K62)
1) Cho f(x) khả vi cấp hai trên
CMR
thỏa mãn phương
w(u,t) f(u 3t)
2w
t2
2w
x2
trình truyền sóng,
9
.
2) CMR hàm số u(x,t) e16tcos(2x 3) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt
u
t
2u
x2
4
.
Tính bất biến của vi phân cấp 1:
f
u
f
du dv
v
z = z(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y)
dz
Phép toán: u, v là các hàm khả vi, khi đó ta có
u
vdu udv
d u v du dv d uv udv vdu
,
,
d
, v 0
v2
v
4. Đạo hàm của hàm ẩn
Khái niệm về hàm ẩn:
Hệ thức F(x, y) = 0 xác định một hay nhiều hàm ẩn y theo x.
Tương tự, hệ thức F(x, y, z) = 0 xác định một hay nhiều hàm ẩn z theo các biến
số x và y.
F x, y, z, u, v 0
Hệ hai phương trình
xác định một hay nhiều cặp hàm số ẩn
G x, y, z, u, v 0
u, v của ba biến số x, y, z.
Định lí 3. F(x0, y0) = 0, F(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận M0(x0,
y0) và F’y(M0) 0 thì hệ thức F(x, y) = 0 xác định hàm ẩn y = f(x) trong lân cận nào
đó củađiểm x0, thoả mãny(x0) = y0 và khả vi liên tục trong lân cận này, và có
Fx(M0)
y x
0
Fy (M0)
Ví dụ 5. Cho x2 + y2 = r2, tính y
73
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
Định lí 4. F(x0, y0, z0) = 0, F(x, y, z) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận
M0(x0, y0, z0) và F’z(M0) 0, khi đó hệ thức F(x, y, z) = 0 xác định hàm ẩn z = f(x,
y) trong lân cận nào đó của (x0, y0) thoả mãn z(x0, y0) = z0 liên tục và có các đạo
hàm riêng liên tục trong lân cận này, và có
Fy
Fz
Fx
,
zx(x0 ; y0 )
M
zy (x0 ; y0)
M
0
0
Fz
Định lí 5. F(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, G(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, các hàm F(x, y, z, u, v),
G(x, y, z, u, v) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận M0(x0, y0, z0, u0, v0)
và định thức
F
v
Fu
D F,G
0,
D
Gu Gv
D u, v
F x, y, z, u, v 0
khi đó hệ thức
xác định hai hàm ẩn u = f(x, y, z), v = g(x, y, z)
G x, y, z, u, v 0
trong lân cận nào đó của (x0, y0, z0), thoả mãn u(x0, y0, z0) = u0, v(x0, y0, z0) = v0,
các hàm u, v liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận này và có
D F,G
D F,G
1
1
ux(x0 ; y0 ; z0) .
(M0);vx(x0 ; y0 ; z0) .
(M0)
.
D D x, v
D D u, x
Tương tự có
uy (x0 ; y0 ; z0),vy (x0 ; y0 ; z0), uz(x0 ; y0 ; z0),vz(x0 ; y0 ; z0)
Ví dụ 6.
a) z3 3xyz = a3, tính dz
b) 1 + xy ln(exy + exy) = 0, tính dy.
x y z 0
x2 y2 z2 1
x
z
y
ln 10
c)
, tính dz
d)
, tính dy, dz.
z
e) x = u cosv, y = u sinv, z = u2, tính vi phân toàn phần dz.
f) x = v cosu u cosv + sinu, y = v sinu u sinv cosu, z = (u v)2, tính dz.
g)(K50) Phương trình x.eyz = y + z + 1 xác định hàm ẩn z(x, y). Tính dz(0 ; 0)
(dx dy)
h)(K51) 1) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình z yex/z = 0. Tính
dz(0 ; 1)
dz(1 ; 0)
(dx + dy)
2) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi phương trình xey/z z = 0. Tính
(dx dy)
i)(K53) 1) Phương trình x + 2y + z = yexz xác định hàm ẩn z = z(x, y). Tính
dz(0 ; 1)
2) Phương trình xeyz = 2x y z xác định hàm ẩn z = z(x, y). Tính
dz(1 ; 0) (dx 2dy)
(2dx dy)
2
3) Phương trình y z x z 2 xác định hàm ẩn z = z(x, y).
1
2
zx y zy 2
Chứng minh rằng
x
74
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn
3
4) Phương trình
xác định hàm ẩn z = z(x, y).
x z y z 3
1
2
Chứng minh rằng
x zx
zy 3
y2
k)(K55) 1) x3 2y3 3z3 x y z . Tính
4
5
dz 1; 1
(
(
)
)
dx dy
9
8
9
5
2) 3x3 2y3 z3 x y z . Tính
dz 1;1
dx dy
3
3
l)(K56) 1)
y z , tính
(1)
(1)
sin(x z) e
zx zy
2) cos(z y) ezx , tính
zx zy
2
m)(K57) 1) Cho
. CMR
x z y z 1
x zx zy 1
2
2) Cho y z x z 1. CMR
zx y zy 1
n)(K58)
1) Cho
1
z(x z)
1 y(x z)
.Tính
,
zy
(
(
zx
,
zy
)
yz ln(x z)
zx
y(x z) 1
1 (yz)2
1 y (yz)2
z
zy
zx
2)Cho
. Tính
,
zx
,
zy
)
x z arctan(yz)
1 y (yz)2
2
3
8
3
o)(K59) 1)Cho x3 2xy2 2yz z3 2.Tính
2) Cho 2x2y 4y2 x2z z3 3.Tính
,
1
( ;
)
)
zx(1;0)
zy (1;0)
,
(
0
;
zx(0;1)
zy (0;1)
p)(K60) Cho x2 arctanz 2xy2 y4 2z3 1.Tính
,
.
zy
zx
(2xarctanz 2y2)(z2 1)
x2 6z2(z2 1)
4(xy y3)(z2 1)
x2 6z2(z2 1)
(
zx
,
zy
)
x3 y2 arctanz 4x2y 2y z5 2
z
.
y
zx
2) Cho
.Tính
,
(3x2 8xy)(z2 1)
y2 5z4(z2 1)
2(y arctanz 2x2 1)(z2 1)
y2 5z4(z2 1)
(
zx
,
zy
)
x3 2y3 3x2y 2
0
( )
3) Cho
. Tính
.
y (0)
x3 y3 3xy 13 0
q)(K61) Phương trình
xác định hàm ẩn y=y(x). Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm ẩn này, tại điểm A(1;2)
x 11
.
.
)
(y
5
Have a good understanding!
75
5 trang
26960
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 13: Đạo hàm riêng và vi phân - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_1_bai_13_dao_ham_rieng_va_vi_phan_nguye.pdf
