Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 3 - Bài 2: Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều - Tống Đình Quỳ
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
§2 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU
2.1 Các số đặc trưng biên
Ta đã biết các đặc trưng cơ bản của ꢀ và ꢁ ở chương II. Chúng
có thể tính được trực tiếp từ các khái niệm mới của PP đồng thời.
Do tính tương tự ta viết chỉ viết các công thức cho biến ꢀ.
Nếu ꢀ rời rạc, kỳ vọng biên và phương sai biên là:
ꢂꢀ =
ꢇ ꢃꢄꢅ ꢃꢄ, ꢆꢇ = ꢄ ꢃꢄ ꢅꢈ(ꢃꢄ);
ꢄ
ꢇ ꢃꢄꢊꢅ ꢃꢄ, ꢆꢇ − ꢂꢀ
ꢊ
ꢊ
ꢉꢀ =
ꢃꢄ − ꢂꢀ ꢅ ꢃꢄ, ꢆꢇ =
ꢄ
ꢇ
ꢄ
ꢊ
=
ꢃꢄ − ꢂꢀ ꢅꢈ(ꢃꢄ)
ꢄ
Nếu ꢀ liên tục:
ꢂꢀ =
ꢍꢎ
ꢍꢎ ꢃꢋ(ꢃ, ꢆ)ꢌꢃꢌꢆ = ꢍꢎ ꢃꢋ (ꢃ)ꢌꢃ;
ꢈ
ꢏꢎ ꢏꢎ
ꢏꢎ
ꢍꢎ ꢍꢎ
ꢏꢎ ꢏꢎ
ꢊ
ꢉꢀ =
=
ꢃ − ꢂꢀ ꢋ(ꢃ, ꢆ)ꢌꢃꢌꢆ
ꢍꢎ ꢍꢎ ꢃꢊꢋ(ꢃ, ꢆ)ꢌꢃꢌꢆ − ꢂꢀ
ꢊ
ꢏꢎ ꢏꢎ
ꢍꢎ
ꢊ
=
ꢃ − ꢂꢀ ꢋ (ꢃ)ꢌꢃ.
ꢈ
ꢏꢎ
Ta có thể viết công thức tổng quát hơn, chẳng hạn nếu (ꢀ, ꢁ) có
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
PP đã biết và ta cũng có một hàm ꢐ = ꢑ(ꢀ, ꢁ), khi đó
ꢂ[ꢑ(ꢀ, ꢁ)] =
ꢇ ꢑ(ꢃꢄ, ꢆꢇ)ꢅ ꢃꢄ, ꢃꢇ (biến rời rạc);
ꢍꢎ ꢑ(ꢃ, ꢆ)ꢋ(ꢃ, ꢆ)ꢌꢃꢌꢆ (biến liên tục).
ꢄ
ꢍꢎ
hoặc
=
ꢏꢎ ꢏꢎ
ꢊ
Dễ thấy ꢉꢀ chính là ꢂ[ꢑ(ꢀ, ꢁ)] với ꢑ(ꢀ, ꢁ) = ꢃ − ꢂꢀ .
Ngoài ra ta còn có một số đặc trưng quan trọng là các độ lệch
chuẩn biên:
ꢒꢓ = ꢉꢀ, ꢒꢔ= ꢉꢁ.
2.2 Hiệp phương sai và hệ số tương quan
* Định nghĩa 1
. Hiệp phương sai (covariance) của hai biến X và ꢁ,
ký hiệu là ꢕꢓꢔ, được xác định như sau
ꢕꢓꢔ = ꢂ[(ꢀ − ꢂꢀ)(ꢁ − ꢂꢁ)] = ꢂ(ꢀꢁ) − ꢂꢀ.ꢂꢁ.
Phụ thuộc vào (ꢀ, ꢁ) rời rạc hay liên tục, ta có các công thức tính:
ꢕꢓꢔ =
ꢕꢓꢔ =
ꢇ ꢃꢄꢆꢇꢅ ꢃꢄ, ꢆꢇ − ꢂꢀ.ꢂꢁ;
ꢄ
ꢍꢎ ꢃꢆꢋ(ꢃ, ꢆ)ꢌꢃꢌꢆ − ꢂꢀ.ꢂꢁ.
ꢍꢎ
ꢏꢎ ꢏꢎ
Dễ thấy ꢉꢀ = ꢕꢓꢓ. Trong chừng mực nào đó, hiệp phương sai
được dùng là độ đo quan hệ giữa hai biến: nếu hiệp phương sai
dương ⇔hai biến có khuynh hướng đồng biến và nếu chúng có
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
khuynh hướng nghịch biến ⇔ hiệp phương sai âm.
* Định nghĩa 2
tương quan.
. Nếu ꢕꢓꢔ = 0 ta nói rằng hai biến ꢀ và ꢁ không
Rõ ràng nếu X, ꢁ độc lập ⇒ chúng không tương quan; điều
ngược lại nói chung không đúng.
Nhiều khi để đơn giản các ký hiệu, người ta tập hợp các hiệp
phương sai và phương sai của một véc tơ ngẫu nhiên vào một ma
trận được gọi là ma trận hiệp phương sai (covariance matrix);
X
trong trường hợp biến 2 chiều = (X, Y) đó là ma trận
ꢉꢀ ꢕꢓꢔ
ꢕꢓꢔ ꢉꢁ
ꢖ =
.
Do hiệp phương sai có nhiều hạn chế (khó xác định miền biến
thiên để so sánh quan hệ hai biến, thứ nguyên phức tạp,…), người
ta đưa ra khái niệm dưới đây:
* Định nghĩa 3
. Hệ số tương quan của hai biến X, Y (correlation
coefficient), ký hiệu là ꢗꢓꢔ, được xác định như sau
ꢘ
ꢙꢚ
ꢗꢓꢔ =
.
ꢛ ꢛ
ꢙ ꢚ
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
Hệ số tương quan có tính chất quan trọng ꢗꢓꢔ ≤ 1 và:
- Nếu ꢗꢓꢔ = ± 1 ⇒ ∃ ꢜ, ꢝ: ꢁ = ꢜꢀ + ꢝ (quan hệ tuyến tính);
- Nếu ꢗꢓꢔ = 0 ⇔ X, ꢁ không tương quan;
- Nếu 0 < ꢗꢓꢔ ≤ 1 ⇒ X, ꢁ phụ thuộc;
- Nếu ꢗꢓꢔ > 0, ta có tương quan dương (khuynh đồng biến);
- Nếu ꢗꢓꢔ < 0, tương quan âm (khuynh nghịch biến)…
* Thí dụ 1
. Từ bảng PPXS đồng thời của ꢀ ꢞà ꢁ
ꢆ
1
2
3
ꢃ
1
2
0,10
0,15
0,25
0,00
0,15
0,35
hãy tính hiệp phương sai và hệ số tương quan của chúng.
Giải. Đầu tiên ta tính các đặc số biên: ꢂꢀ = 1,5; ꢉꢀ = 0,25;
ꢂꢁ = 2,25; ꢉꢁ = 0,6845; sau đó tính ꢂ(ꢀꢁ) = 3,45. Từ đó:
ꢕꢓꢔ = ꢂ(ꢀꢁ) − ꢂꢀ.ꢂꢁ = 3,45 – 1,5.2,25 = 0,075;
ꢘ
ꢟ,ꢟꢠꢡ
ꢙꢚ
ꢗꢓꢔ =
=
≈ 0,1813.
ꢛ ꢛ
ꢙ ꢚ
ꢟ,ꢊꢡ.ꢟ,ꢢꢣꢤꢡ
* Thí dụ 2
. Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) có mật độ đồng thời
1
2ꢥ
, 4ꢃꢊ + ꢆꢊ ≤ 4;
ꢋ(ꢃ, ꢆ) =
0, 4ꢃꢊ + ꢆꢊ > 4.
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
Chứng tỏ X, Y phụ thuộc và tính hiệp phương sai ꢕꢓꢔ.
Giải. Trước hết ta tính các mật độ biên:
2
1 − ꢃꢊ, ꢃ ≤ 1;
0, ꢃ > 1.
ꢋ (ꢃ) = ꢍꢎ ꢋ ꢃ, ꢆ ꢌꢆ =
ꢥ
ꢈ
ꢏꢎ
1
2ꢥ
4 − ꢆꢊ, ꢆ ≤ 2;
0, ꢆ > 2.
ꢋ (ꢆ) = ꢍꢎ ꢋ ꢃ, ꢆ ꢌꢃ =
ꢊ
ꢏꢎ
Vì ꢋ(ꢃ, ꢆ) ≠ ꢋ (ꢃ) ꢋ (ꢆ) nên ꢀ và ꢁ phụ thuộc. Do ꢋ ꢃ , ꢋ (ꢆ) là
ꢈ
ꢊ
ꢈ
ꢊ
các hàm chẵn nên ꢂꢀ = ꢂꢁ = 0, từ đó
ꢍꢎ
ꢕꢓꢔ =
=
ꢍꢎ ꢃꢆꢋ(ꢃ, ꢆ)ꢌꢃꢌꢆ
ꢏꢎ ꢏꢎ
ꢨ
ꢈ
ꢈ
ꢊ ꢈꢏꢧ
ꢏꢈ ꢃꢌꢃ
ꢨ ꢆꢌꢆ = 0.
ꢏꢊ ꢈꢏꢧ
ꢊꢦ
Rõ ràng ꢀ và ꢁ không tương quan, nhưng vẫn phụ thuộc.
2.3 Các số đặc trưng có điều kiện
Dùng các khái niệm xác suất có điều kiện và mật độ có điều kiện
ở tiết trước ta có thể định nghĩa các đặc trưng có điều kiện, chẳng
hạn kỳ vọng có điều kiện của ꢀ với điều kiện ꢁ = ꢆ:
ꢂ ꢀ ꢆꢩ = ꢄ ꢃꢄꢪ ꢀ = ꢃꢄ ꢁ = ꢆꢩ (ꢀ rời rạc),
ꢂ ꢀ ꢆ = ꢍꢎ ꢃꢫ ꢃ ꢆ ꢌꢃ (ꢀ liên tục).
ꢏꢎ
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
Tương tự có thể định nghĩa ꢂ ꢁ ꢃ và các phương sai có điều kiện
tương ứng, chẳng hạn:
ꢊ
ꢉ ꢀ ꢆꢩ = ꢄ ꢃꢄ ꢪ ꢀ = ꢃꢄ ꢁ = ꢆꢩ – [ꢂ ꢀ ꢆꢩ ]ꢊ (ꢀ rời rạc),
ꢉ ꢀ ꢆ = ꢍꢎ ꢃꢊꢫ ꢃ ꢆ ꢌꢃ – [ꢂ ꢀ ꢆ ]ꢊ (ꢀ liên tục).
ꢏꢎ
Kỳ vọng có điều kiện ꢂ ꢁ ꢃ = ꢂ ꢁ ꢀ = ꢃ là hàm của ꢃ, trong
thống kê người ta gọi là hàm hồi quy của Y đối với ꢀ và đồ thị của
hàm trên mặt phẳng toạ độ Đề-các được gọi là đường hồi quy.
Để ý kỳ vọng có điều kiện ꢂ ꢁ ꢀ , cũng như các đặc trưng có
điều kiện khác, là biến ngẫu nhiên và đến lượt mình có thể có các
đặc số tương ứng.
* Thí dụ 3
. Cho bảng PP đồng thời của ꢀ ꢞà ꢁ
ꢆ
1
2
3
ꢃ
2
4
0,10
0,15
0,25
0,00
0,15
0,35
Tính các kỳ vọng và phương sai có điều kiện ꢂ ꢀ 1 , ꢂ ꢁ 4 ,
ꢉ ꢀ 1 , ꢉ ꢁ 4 .
Giải. Dễ thấy:
ꢬ
ꢟ,ꢈꢟ
ꢭꢭ
ꢪ ꢀ = 2 ꢁ = 1 =
=
= 0,4;
ꢬ (ꢈ) ꢟ,ꢊꢡ
ꢨ
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
ꢬ
ꢟ,ꢈꢡ
ꢨꢭ
ꢪ ꢀ = 4 ꢁ = 1 =
=
= 0,6.
ꢬ (ꢈ) ꢟ,ꢊꢡ
ꢨ
Từ đó
ꢂ ꢀ 1 = 2.0,4 + 4.0,6 = 3,2;
ꢉ ꢀ 1 = 22.0,4 + 42.0,6 – 3,22 = 0,96.
Tiếp theo
ꢬ
ꢟ,ꢈꢡ
ꢟ,ꢡ
ꢨꢭ
ꢪ ꢁ = 1 ꢀ = 4 = ꢪ ꢁ = 1 4 =
=
= 0,3;
ꢬ (ꢊ)
ꢭ
ꢬ
ꢟ
ꢨꢨ
ꢪ ꢁ = 2 4 =
ꢪ ꢁ = 3 4 =
=
= 0;
ꢬ (ꢊ) ꢟ,ꢡ
ꢭ
ꢬ
ꢮꢨ
ꢟ,ꢯꢡ
=
= 0,7.
ꢬ (ꢊ)
ꢭ
ꢟ,ꢡ
Và ta có:
ꢂ ꢁ 4 = 1.0,3 + 3.0,7 = 2,4;
ꢉ ꢁ 4 = 1.0,3 + 32.0,7 – 2,42 = 0,84.
* Thí dụ 4
. Cho ꢀ và ꢁ có hàm mật độ đồng thời
1
ꢃ
, 0 < ꢆ ≤ ꢃ ≤ 1;
ꢋ(ꢃ, ꢆ) =
0, nếu trái lại.
Tìm hàm mật độ có điều kiện ꢰ ꢆ ꢃ và tính ꢪ ꢀꢊ + ꢁꢊ ≤ 1 .
Giải. Đầu tiên ta tìm hàm mật độ biên
1, 0 < ꢃ ≤ 1;
ꢋ (ꢃ) =
ꢈ
0, nếu trái lại.
Từ đó
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
1
ꢃ
ꢱ(ꢧ,ꢲ)
, 0 < ꢆ ≤ ꢃ ≤ 1;
ꢰ ꢆ ꢃ =
=
ꢱ (ꢧ)
ꢭ
0, nếu trái lại;
(PP có điều kiện là phân phối đều trên (0, ꢃ)).
Theo tính chất (iii) của hàm mật độ
ꢳꢧ
ꢪ ꢀꢊ + ꢁꢊ ≤ 1 =
,
ꢴ
ꢧ
với ꢴ là miền ꢃ, ꢆ : 0 < ꢆ ≤ ꢃ ≤ 1, ꢃꢊ + ꢆꢊ ≤ 1 . Dùng toạ độ
cực ta có
ꢦ/ꢤ
ꢪ ꢀꢊ + ꢁꢊ ≤ 1 = ꢈ ꢌꢵ
= ln ꢹꢜꢺ
= ln 1 + 2 .
ꢵꢌꢫ
ꢵ ꢶꢷꢸꢫ
3ꢥ
8
ꢟ
ꢟ
* Thí dụ 5
. Điểm ngẫu nhiên (ꢀ, ꢁ) rơi đồng khả năng vào miền e-
líp có trục đối xứng nằm trên trục toạ độ và độ dài các bán trục là
ꢜ và ꢝ.
a) Xác định mật độ XS của từng toạ độ và mật độ XS có điều kiện.
b) Tính hiệp phương sai của ꢀ và ꢁ.
Giải. a) Dễ thấy hàm mật độ đồng thời của ꢀ ꢞà ꢁ
2
2
1
ꢥꢜꢝ
ꢃ
, + ꢆ ≤ 1;
2
2
ꢜ
ꢝ
ꢋ(ꢃ, ꢆ) =
2
2
0, + ꢆ > 1.
ꢃ
ꢜ
2
2
ꢝ
Rõ ràng ꢋ (ꢃ) ≠ 0 chỉ nếu ꢃ ≤ ꢜ, khi đó
ꢈ
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
ꢨ
ꢨ
ꢨ
ꢨ
ꢊ ꢻ ꢏꢧ
ꢊ ꢼ ꢏꢲ
ꢋ (ꢃ) =
ꢈ
, ꢃ ≤ ꢜ; tương tự ꢋ (ꢆ) =
, ꢆ ≤ ꢝ.
ꢊ
ꢨ
ꢨ
ꢦꢻ
ꢦꢼ
Từ đó:
2
2
ꢝ
ꢃ
, + ꢆ ≤ 1;
2
2
ꢜ
2
ꢝ
2
ꢱ(ꢧ,ꢲ)
2ꢜ ꢝ − ꢆ
ꢫ ꢃ ꢆ =
=
ꢱ (ꢲ)
ꢨ
2
2
ꢃ
ꢜ
0,
2 + ꢆ > 1.
2
ꢝ
2
2
ꢜ
ꢃ
, + ꢆ ≤ 1;
2
2
2
2
ꢱ(ꢧ,ꢲ)
ꢜ
2ꢝ ꢜ − ꢃ
ꢝ
ꢰ ꢆ ꢃ =
=
2
2
ꢱ (ꢧ)
ꢭ
ꢃ
ꢜ
0,
2 + ꢆ > 1.
2
ꢝ
b) Do miền lấy tích phân đối xứng nên ꢂꢀ = ꢂꢁ = 0, nên
ꢕꢓꢔ = ꢨ ꢃꢆꢋ(ꢃ, ꢆ) ꢌꢃꢌꢆ,
ℝ
ꢨ
ꢨ
ꢧ
với để ý hàm ꢋ(ꢃ, ꢆ) chỉ khác 0 trong e-líp + ꢲ ≤ 1. Để tính
ꢨ
ꢨ
ꢻ
ꢼ
ꢈ
tích phân ta đổi biến sang toạ độ cực suy rộng
ꢃ = ꢜꢵꢶꢷꢸꢫ, ꢆ = ꢝꢵꢸꢽꢺꢫ,
ꢦꢻꢼ
ꢊꢦ
ꢈ ꢜꢝꢵꢊ ꢶꢷꢸꢫꢸꢽꢺꢫ
ꢟ
abr drdꢫ = 0.
1
ꢥꢜꢝ
ꢕꢓꢔ =
ꢟ
Như vậy hai biến ꢀ và ꢁ không tương quan, nhưng chúng phụ
thuộc vì ꢋ ꢃ, ꢆ ≠ ꢋ (ꢃ) ꢋ (ꢆ).
ꢈ
ꢊ
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
* Tính chất của kỳ vọng có điều kiện
(i) Với mọi hàm ꢑ(.) liên tục ꢂ[ꢑ(ꢀ)ꢁ ꢀ] = ꢑ(ꢀ)ꢂ ꢁ ꢀ ;
(ii) ꢂ ꢀꢈ + ꢀꢊ ꢀ = ꢂ ꢀꢈ ꢀ + ꢂ ꢀꢊ ꢀ ;
(iii) Nếu ꢀ, Y độc lập ꢂ ꢁ ꢀ = ꢂꢁ;
(iv) ꢂ[ꢂ ꢁ ꢀ ] = ꢂꢁ.
2.4 Phân phối chuẩn hai chiều
Ta dùng các ký hiệu rút gọn:
ꢕꢓ = ꢂꢀ, ꢕꢔ = ꢂꢁ, ꢒꢓꢊ = VX, ꢒꢔꢊ= VY, ꢗ = ꢗꢓꢔ.
Từ đó có thể xác định hàm mật độ chuẩn đồng thời của hai biến
ꢀ ꢞà ꢁ, ký hiệu là ꢾ(ꢕꢓ, ꢕꢔ, ꢒꢓꢊ, ꢒꢔꢊ, ꢗ), có dạng
ꢈ
ꢋ(ꢃ, ꢆ) =
×
ꢨ
ꢊꢦꢛ ꢛ ꢈꢏꢿ
ꢙ ꢚ
ꢊ
ꢊ
ꢈ
ꢧꢏꢘꢙ
ꢛꢙ
ꢲꢏꢘꢚ
ꢛꢚ
ꢧꢏꢘꢙ ꢲꢏꢘꢚ
exp − ꢊ(ꢈꢏꢿꢨ)
+
− 2ꢗ
.
.
ꢛꢙ
ꢛꢚ
Để ý ꢀ ~ꢾ(ꢕꢓ, ꢒꢓꢊ), Y ~ꢾ(ꢕꢔ, ꢒꢔꢊ) và nếu ꢀ và ꢁ không tương
quan (ꢗ = 0), thì giả thiết chuẩn cho phép kết luận chúng độc lập
(vì có thể chứng minh dễ dàng ꢋ(ꢃ, ꢆ) = ꢋ (ꢃ)ꢋ (ꢆ)).
ꢈ
ꢊ
Sử dụng khái niệm véc tơ – ma trận
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
ꢒꢓꢊ
ꢗ
ꢃ
ꢆ
ꢕꢓ
ꢕꢔ
ꣀ =
ta có biểu diễn
ꢋ(ꣀ) = ꢋ(ꢃ, ꢆ) =
, ꣁ =
, ꣂ =
,
ꢗ ꢒꢔꢊ
ꢈ
ꢊꢦ ꢳꣃ꣄ ꣂ
1
2
ꣅ
exp − ꣀ − ꣁ ꣂꢏꢈ(ꣀ − ꣁ) .
Ở đây det là ký hiệu định thức ma trận, T – phép chuyển vị. Biến
chuẩn 2 chiều trong trường hợp này ký hiệu ~ꢾ(ꣁ, ꣂ).
Trường hợp tổng quát nếu là véc tơ ꢺ chiều và ~ꢾ(ꣁ, ꣂ), khi
đó hàm mật độ có dạng
1
2
ꣅ
ꢋ(ꣀ) = (2ꢥ)ꢏ/ꢊ (ꢌꢹ ꣂ)ꢏꢈ/ꢊ exp − ꣀ − ꣁ ꣂꢏꢈ(ꣀ − ꣁ) .
ꢊ
ꢊ
* Thí dụ 6
. Cho biến 2 chiều (ꢀ, ꢁ) ~ ꢾ(ꢕꢓ, ꢕꢔ, ꢒꢓ , ꢒꢔ , ꢗ). Tính các
kỳ vọng và phương sai có điều kiện.
Giải. Dễ dàng tìm được ꢋ (ꢆ) từ mật độ đồng thời ở trên
ꢊ
ꢭ
ꢨ
−
ꢧꢏꢘ
ꢚ
ꢨ
ꢈ
ꢨ
ꢚ
ꢋ (ꢆ) = ꢛ ꢊꢦ
,
ꢊ
ꢚ
từ đó
ꢱ(ꢧ,ꢲ)
ꢫ ꢃ ꢆ =
ꢱ (ꢲ)
ꢨ
ꢊ
ꢈ
ꢈ
ꢒ
ꢒ
=
exp −
ꢃ − ꢕꢓ − ꢗ ꢀ (ꢆ − ꢕꢔ) .
ꢨ
ꢨ
ꢨ
ꢊꢛ (ꢈꢏꢿ )
ꢊꢦꢛ ꢈꢏꢿ
ꢁ
ꢙ
ꢙ
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
Biểu thức trên chính là hàm mật độ của phân phối chuẩn
ꢒꢀ
ꢒꢁ
ꢾ ꢕꢓ + ꢗ
ꢆ − ꢕꢔ ; ꢒꢓꢊ(1 − ꢗꢊ) ,
từ đó:
ꢒꢀ
ꢒꢁ
ꢂ ꢀ ꢆ = ꢕꢓ + ꢗ
ꢆ − ꢕꢔ ; ꢉ ꢀ ꢆ = ꢒꢓꢊ 1 − ꢗꢊ .
Tương tự:
ꢂ ꢁ ꢃ = ꢕꢔ + ꢗ
ꢒꢁ
ꢒꢀ
ꢃ − ꢕꢓ ; ꢉ ꢁ ꢃ = ꢒꢔꢊ 1 − ꢗꢊ .
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
BÀI TẬP
1. Cho ꢀ và ꢁ là toạ độ của một điểm ngẫu nhiên có PP đều
trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường ꢃ = ꢜ, ꢃ =
ꢝ, ꢆ = ꢶ, ꢆ = ꢌ (ꢝ > ꢜ, ꢌ > ꢶ). Tìm hàm mật độ đồng
thời của ꢀ và ꢁ, sau đó tính kỳ vọng của các toạ độ của
điểm ngẫu nhiên đó.
2. Cho ꢀ và ꢁ có bảng PPXS
ꢆ
ꢃ
1
2
3
4
1
2
0,16
0,08
0,08
0,10
0,10
0,14
0,20
0,14
Tìm các kỳ vọng biên, kỳ vọng có điều kiện và các phương
sai tương ứng.
3. Cho ꢀ và ꢁ có hàm mật độ đồng thời
ꢋ(ꢃ, ꢆ) =
.
ꢨ
ꢨ
ꢨ
ꢦ (ꢈꢢꢍꢧ )(ꢊꢡꢍꢲ )
a) Xác định A.
b)ꢀ và ꢁ có độc lập không?
c) Tìm các đặc trưng biên của ꢀ và ꢁ.
4. Xác định XS rơi của điểm (ꢀ, ꢁ) vào miền {1 ≤ ꢃ ≤ 2, 1 ≤
ꢆ ≤ 2}, nếu hàm PP của (ꢀ, ꢁ) có dạng (ꢜ > 0)
ꢨ
ꢨ
ꢨ
ꢨ
1 − ꢜꢏꢧ − ꢜꢏꢊꢲ + ꢜꢏ ꢧ ꢍꢊꢲ , ꢃ ≥ 0, ꢆ ≥ 0;
(ꢃ, ꢆ) =
Sau đó tính các đặc trưng có điều kiện.
0,
ꢃ < 0 hay ꢆ < 0.
5. Bảng PPXS đồng thời của số lỗi vẽ màu ꢀ và số lỗi đúc ꢁ
của một loại sản phẩm nhựa ở một công ty được cho bởi
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
ꢆ
ꢃ
0
1
2
0
1
2
3
0,59
0,10
0,06
0,02
0,06
0,05
0,05
0,02
0,03
0,01
0,01
0,00
Tính các kỳ vọng biên và ma trận tương quan của (ꢀ, ꢁ).
6. Cho luật PP của một biến 2 chiều như sau (ꢀ, ꢁ)
ꢆ
ꢃ
2
0,1
0,2
3
0
0,5
5
0,1
0,1
1
4
Tìm luật PPXS của các hàm ꢀ+ꢁ và ꢀꢁ, sau đó tính các kỳ
vọng và phương sai.
7. Biến ngẫu nhiên 2 chiều (ꢀ, ꢁ) có PP chuẩn trong một
hình vuông có cạnh ꢜ. Các đường chéo của hình vuông
trùng với các trục toạ độ.
a) Xác định mật độ của (ꢀ, ꢁ).
b)Tính các mật độ biên và mật độ có điều kiện.
c) Tính ma trận tương quan của (ꢀ, ꢁ).
d) ꢀ và ꢁ có phụ thuộc không?
8. Biến ngẫu nhiên 2 chiều có hàm mật độ đồng thời
ꢋ(ꢃ, ꢆ) = ꢜ ꢃꢊ + ꢆꢊ , nếu ꢃꢊ + ꢆꢊ ≤ 4.
Tìm hệ số ꢜ, sau đó tìm các đặc trưng biên và đặc trưng có
điều kiện.
9. Cho hàm mật độ đồng thời của ꢀ và ꢁ
ꢭ
ꢨ
ꢧꢨꢍꢊꢧꢲꢍꢡꢲꢨ
ꢋ(ꢃ, ꢆ) = ꢜ ꢏ
.
Xác định hằng số ꢜ, sau đó tìm các đặc trưng biên và đặc
trưng có điều kiện.
Chương III. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
10. Cho ꢀ và ꢁ là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng
thời ꢋ ꢃ, ꢆ = 1/2ꢃꢊꢆ, nếu ꢃ ≥ 1 và ꢃ ≥ ꢆ ≥ 1/ꢃ. Tìm các
kỳ vọng có điều kiện.
11. Cho ꢀ và ꢁ là hai biến ngẫu nhiên: Y có phân phối đều
trong (0;10); còn hàm mật độ có điều kiện ꢫ ꢃ ꢆ = 1/ꢆ,
với 0 < ꢃ < ꢆ < 10. Tính
a) ꢂ ꢀ ꢁ = ꢆ ; b) ꢂꢀ.
15 trang
26/04/2022
3780
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 3 - Bài 2: Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều - Tống Đình Quỳ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_xac_suat_thong_ke_chuong_3_bai_2_cac_so_dac_trung.pdf
