Giáo trình Giải tích 3 - Bài 13: Phép biến đổi của bài toán giá trị ban đầu - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 13
§2. Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu
Phép biến đổi của đạo hàm
Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
Hệ phương trình vi phân tuyến tính
Những kĩ thuật biến đổi bổ sung
1. Đặt vấn đề
Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng
ax (t) bx (t) cx(t) f(t)
với điều kiện
x 0 x0, x 0 x0
So sánh với các phương pháp giải đã học
Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính
2. Phép biến đổi của đạo hàm
f t
Định lý 1. Cho
liên tục và trơn từng khúc với
và là bậc mũ khi t
t 0
(tức tồn tại hằng số không âm
và T thoả mãn:
f(t) Mect, t T
c, M
(2.1)
Khi đó tồn tại
với
và có
L f t
s c
L f t sL f t f 0 sF s f 0
st
st
Chứng minh. +)
L f s e f t dt e df t
0
0
st
st
+)
e f t s e f t dt
0
0
t
ct
st
Do
khi
hội tụ với
f t Me , t T e f t 0
s c
s c
st
e f t dt
+) Từ Định lí 2 (bài 1)
0
+) Từ đó ta có
L f s sL f s f 0
Định nghĩa. Hàm f được gọi là trơn từng khúc trên a ; b
nó khả vi trên a ; b
trừ ra hữu hạn điểm và
liên tục từng khúc trên a ; b
f t
3. Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
Hệ quả. Phép biến đổi của đạo hàm bậc cao
n1
Giả sử rằng các hàm số
liên tục và trơn từng khúc với
và là bậc
t 0
f, f ,, f
n
mũ khi
. Khi đó tồn tại
với
và có
s c
L f
t
t
n1
n
n
n1
n2
L f
t s L f t s f 0 s f 0 f
s F s s f 0 s f 0 f
0
n
n1
n2
n1
0
84
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Ví dụ 1. Sử dụng Định lí 1, chứng minh rằng
n!
n at
a) L t e
, n 1,2,3,
n1
s a
Chứng minh bằng qui nạp
1
at
at
at sF s f 0 aF s
f t ate e
f t te
+)
n
=
1:
s a
1
F s
2
s a
k!
k at
+) n = k: L t e
k1
s a
k 1
s a
k 1
s a
k!
k 1 !
k2
k at
+) L tk1eat
L t e
.
k1
s a
s a
2sk
s2 k2
b)
L t sinhkt
+) f(t) = t.sinhkt
f(0) = 0 và có
+) f'(t) = sinhkt + kt coshkt, f'(0) = 0
f''(t) = 2kcoshkt + k2t sinhkt
2
2
L 2k coshkt k t sinkt s L f t sf 0 f 0
+)
+)
s
2
2
k F s s F s
2
F s L t sinhkt
, ở đó
2k
2
s k
2ks
F s
+)
2
2
2
s k
Hình 4. 2. 4. Sử dụng biến đổi Laplace để giải một phương trình vi phân
thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Ví dụ 2. Giải phương trình
a)
với điều kiện
x x 6x 0
x 0 2, x 0 1
Ta có:
L x t sX s 2
2
2
L x t s X x sx 0 x 0 s X s 2s 1
85
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Thay vào phương trình đã cho có
2
2
2s 3
3
s X s 2s 1 sX s 2 6X s 0 s s 6 X s 2s 3 0
2s 3
1
7
1
.
X(s)
.
.
s2 s 6
(s 3)(s 2) 5 s 3 5 s 2
3
7
1
nên có x(t) e3t e2t
1
L
eat
Do
5
5
s a
là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu.
Ví dụ 3. Giải bài toán giá trị ban đầu
a)
x 4x sin3t, x 0 x 0 0
Bài toán này gắn liền với quá trình chuyển động của một hệ vật – lò xo với tác động
của lực bên ngoài)
Hình 4. 2. 2. Hệ vật – lò xo thỏa mãn bài toán điều kiện đầu trong Ví dụ 2.
Điều kiện đầu của vật là vị trí cân bằng của nó.
2
2
3
s2 32
Từ điều kiện ban đầu có:
L x t s X s sx 0 x 0 s X s
Từ bảng 4.1.2 có
.
L sin3t
3
2
Thay vào ta có
s X s 4X s
s2 9
As B Cs D
(s2 9)(s2 4) (s2 4) (s2 9)
3
X s
3
3
Đồng nhất ta có A C 0, B , D , do đó
5
5
3
2
s2 4
1
3
X s
.
.
s2 9
10
5
2
s2 4
3
1
3
Do
nên ta có x(t)
sin2t sin3t .
L sin2t
, L sin3t
s2 32
10
5
4
b)
c)
d)
e)
(x t 3cos3t sin3t )
x 9x 0, x 0 3, x 0 4
3
1
(x t 7e 3e5t
)
3t
x 8x 15x 0, x 0 2, x 0 3
2
1
(x t cost cos2t )
x 4x cost, x 0 0, x 0 0
3
1
(
)
x 9x 1, x 0 0, x 0 0
x t 1 cos3t
9
86
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Nhận xét. Như vậy phương pháp biến đổi Laplace cho lời giải trực tiếp tìm nghiệm
của bài toán giá trị ban đầu mà không cần phân biệt đó là phương trình vi phân
thuần nhất hay là không thuần nhất.
4. Hệ phương trình vi phân tuyến tính
Phép biến đổi Laplace có khả năng biến đổi hệ phương trình vi phân tuyến tính
thành một hệ phương trình đại số tuyến tính
2x 6x 2y,
y 2x 2y 40sin3t
Ví dụ 4. a) Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính
với điều kiện ban đầu
x 0 x 0 y 0 y 0 0
x t
của hệ hai
y t
Đây là bài toán giá trị ban đầu xác định hàm dịch chuyển
và
vật thể được chỉ ra trong Hình 4.2.5, giả sử rằng lực
là tác động bất
f t 40sin3t
ngờ tới vật thể thứ hai tại thời điểm t = 0 khi cả hai vật thể đang ở trạng thái tĩnh tại
vị trí cân bằng của chúng.
Hình 4. 2. 5. Hệ vật thể thỏa mãn điều kiện đầu trong Ví dụ 3.
Cả hai vật thể đang ở vị trí cân bằng.
2
2
Từ điều kiện ban đầu có
L x t s X s s x 0 x 0 s X s
2
s Y s
y t
Tương tự
L
3
Do
, thay vào hệ phương trình có hệ phương trình sau:
L sin3t
s2 9
2
2
2s X(s) 6X(s) 2Y(s)
s2Y(s) 2X(s) 2Y(s)
(s 3)X(s) Y(s) 0
2X(s) (s2 2)Y(s)
120
s2 9
120
s2 9
(s2 3)
1
(s2 2)
(s2 1)(s2 4)
2
0
s2 3
2
0
1
2
120
s2 9
120 s 3
;
1
2
120
s2 9
120
s2 9
s2 2
s2 9
120
5
8
3
Do đó X s
(s2 4)(s2 9)(s2 1) s2 1 s2 4 s2 9
x t 5sint 4sin2t sin3t
Do đó
Tương tự có Y s
120(s2 3)
(s2 4)(s2 9)(s2 1) (s2 1) s2 4 s2 9
y t 10sint 4sin2t 6sin3t
10
8
18
nên có
87
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x t
trong Ví dụ 3 a).
y t
Hình 4. 2. 6. Các hàm định vị
và
x 2y x 0, x 0 0
b)
x y y 0, y 0 1
Tác động toán tử Laplace, sử dụng điều kiện ban đầu có
s 1 X s 2sY s 2
sX s 2 sY s 1 X s 0
sX s 1 s Y s 1
sX s sY s 1 Y s 0
Giải hệ 2 phương trình tuyến tính cấp 1 ta có
2
2
1/ 3
2
t
X s
+)
L sinh
.
3s2 1
2
2
3
3
3
s 1/ 3
3s 1
s 1/ 3
s
1
1/ 3
Y s
.
3s2 1 s2 1/ 3
2
2
2
2
3
s 1/ 3
s 1/ 3
t
1
t
L cosh
L sinh
3
3
3
2
t
t
1
3
t
x t
,
y t cosh
+)
c)
sinh
sinh
3
3
3
3
x x 2y
t
y x e , x 0 0 y 0
2
1
2t
t
t
2t
t
t
(x t e e 3te , y t e e 6te
)
9
9
x 2x 4y 0, x 0 y 0 0
d)
y x 2y 0, x 0 y 0 1
1
1
(x t 2t 3sin2t , y t 2t 3sin2t )
4
8
x 3y x 0, x 0 0
e) 1/
x y y 0, y 0 2
t
t
t
(x t 3sinh , y t 2cosh sinh )
2
2
2
88
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
x 3y x 0, x 0 0
2/
x y y 0, y 0 2
t
t
t
(x t 3 2 sin , y t 2cos
2 sin
)
2
2
2
x 3x y
f) 1)
,
,
x 0 x 0 y 0 y 0 0
y 2x 2y 3 sin t 3
x 2x 2y 3 sin t 3
2)
x 0 x 0 y 0 y 0 0
y x 3y
1
x(t) (2sint sin2t)
x 3x y, x(0) 0 x (0)
6
1
g)
,
y 2x 2y, y(0) 0,y (0) 1
y(t) (sin2t 4sint)
6
5. Những kỹ thuật biến đổi bổ sung
1
at
Ví dụ 5. Chứng minh rằng L te
2
s a
at
at
at . Do đó có
f t te
Đặt
thì có
f 0 0, f t e ate
at
at
at
L e ate L f t sL f t sL te
at
at
at
Do phép biến đổi tuyến tính nên có:
L e aL te sL te
at
L e
1
1
at
at
Do đó
(Do L e
)
L te
2
s a
s a
s a
Ví dụ 6. Tìm
L t sinkt
Đặt
thì có f 0 0, f t sinkt kt coskt, f 0 0
f t t sinkt
2
f t 2k coskt k t sinkt
s
2
,
L coskt
Mặt khác
nên có
L f t s L f t
s2 k2
2ks
s2 k2
2
2
k L t sinkt s L t sinkt
2ks
Do đó
L t sinkt
(s2 k2)2
Định lí 2. Phép biến đổi của tích phân
f t
Nếu
liên tục từng khúc với
và là bậc mũ khi
thì
t
t 0
t
F s
1
với
s c
L
f( )d L f t
s
s
0
89
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
t
t
F(s)
1
hay là: L 1
F d
f d L
s
0
0
t
Chứng minh. +) f liên tục từng khúc
liên tục, trơn từng khúc với
g t f d
0
t
t
M
C
M
ct
c
và có
e 1 ect
g t f d M e d
t 0
C
0
0
g t
là hàm bậc mũ khi
t
g 0
+) Sử dụng định lí 1 ta có L f t L
g t
sL
g t
t
1
g 0 0
f d L
+) Do
nên ta có
L
g t
L f t
s
0
1
Ví dụ 6. Tìm nghịch đảo của phép biến đổi Laplace của
G(s)
s2(s a)
1
t
t
1
1
1
at
L 1
d ead e 1
Ta có L 1
L 1
s a
s(s a)
s
s a
a
0
0
1
t
1
1
1
1s s a
Từ đó và tiếp tục có L 1
L
L
d
s2(s a)
s s a
s
0
t
t
1
1 1
1
a2
ea
(eat at 1).
a
e 1 d
0 a
a a
0
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
90
7 trang
26/04/2022
7740
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 13: Phép biến đổi của bài toán giá trị ban đầu - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_13_phep_bien_doi_cua_bai_toan_gia.pdf
