›
›

Giáo trình Giải tích 1 - Bài 15: Cực trị có điều kiện - Nguyễn Xuân Thảo

Download
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
GIẢI TÍCH I  
BÀI 15  
§3.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ (TT)  
III. Cực trị có điều kiện  
Đặt vấn đề  
Ta thường gặp bài toán tìm cực trị của biểu thức với điều kiện ràng buộc nào  
đó đối với các biến  
Tuy nhiên việc thay các điều kiện ràng buộc vào hàm ban đầu để đưa về bài  
toán đã biết không phải luôn thuận lợi. Ta cần khắc phục như thế nào?  
Phương pháp nhân tử Lagrange đã khắc phục được khó khăn trên, đây là  
công cụ quan trọng trong kinh tế, hình học vi phân và lý thuyết cơ học nâng cao.  
1. Cực trị của hàm số z = f(x, y) với điều kiện g(x, y) = 0  
Tìm giá trị cực trị của hàm số z = f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = 0.  
Đặt L(x, y, ) = f(x, y) + g(x, y)  
L  
x  
L  
y  
L  
 
0 ,  
0 ,  
0  
, ở đó biến được gọi là biến Lagrange.  
Ta có  
Như vậy bài toán tìm cực trị z = f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x,y)=0 được  
chuyển về bài toán cực trị của hàm L(x, y, ). Đây là phương pháp nhân tử  
Lagrange.  
Phương pháp nhân tử Lagrange rất quan trọng trong lý thuyết, ngoài ra trong  
thực hành có ưu điểm sau:  
Không phải băn khoăn về tính đối xứng trong bài toán vì có thể lựa chọn một  
biến độc lập bất kì.  
Việc đưa thêm vào như một biến khác sẽ khử đi một ràng buộc  
Dễ dàng mở rộng cho trường hợp nhiều biến hơn và nhiều ràng buộc hơn  
Ví dụ 1. Tìm cực trị có điều kiện  
x y  
z x 2y, x2 y2 5  
2
2
a)  
b)  
d)  
z x y ,   1  
2 3  
z xy, x2 y2 2x  
c) z xy, x y 1  
z xm ym m 1 , x y 2, x, y 0  
e)  
f)  
1 1  
z   ,  
x y  
1
1
1
x2 y2 a2  
2) Cực trị của hàm số u = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = 0  
Tìm cực trị của hàm w = f(x, y, z), với điều kiện g(x, y, z) = 0.  
Đặt L(x, y, z, ) = f(x, y, z) + g(x, y, z)  
L  
x  
L  
y  
L  
z  
L  
  
0 ,  
0,  
0,  
0  
Có  
Như vậy bài toán tìm cực trị của hàm w = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = 0  
được chuyển về bài toán tìm cực trị của hàm: L(x, y, z, ) = f(x, y, z) + g(x, y, z).  
83  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
Ví dụ 2. Tìm cực trị có điều kiện  
a) u xy2z3, x y z a,  
x 0, y 0, z 0, a 0  
x2 y2  
u x2 y2 z2,  
z2 1  
b)  
4
2
2
x 0, y 0, z 0  
c) u sinxsiny sinz, x y z   
u xyz, xy yz zx 8, x, y, z 0  
d)  
e)  
1 1 1  
u x y z,    1  
x y z  
f) u x 2y 2z, x 2 y 2 z2 9  
xn yn zn  
x 0, y 0, z 0, s 0  
, n > 1  
g)  
u   
, x y z s  
3
3) Cực trị của hàm u = f(x, y, z) với các điều kiện g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0  
Tương tự đặt L = f(x, y, z) +g(x, y, z) + h(x, y, z) có  
L  
x  
L  
y  
L  
z  
L  
  
L  
  
0,  
0,  
0,  
0,  
0  
Bài toán tìm cực trị với hai điều kiện ràng buộc nói trên chuyển về bài toán tìm  
cực trị của hàm L(x, y, z, , ) = f(x, y, z) + g(x, y, z) + h(x, y, z)  
Ví dụ 3. Tìm cực trị với điều kiện  
x 0, y 0, z 0  
a) u xy xz, x2 y2 2, x z 2  
b) u xyz,  
x y z 5,  
xy yz zx 8  
Chú ý: Trong kinh tế, phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để giải  
quyết bài toán tối đa hoá tổng sản lượng của một công ty, phụ thuộc vào ràng  
buộc của tài nguyên sẵn có cố định, chẳng hạn: P = f(x, y) = Axy, với điều kiện  
+ = 1, ở đó P là sản lượng (tính bằng đô la) biểu diễn qua x đơn vị của vốn  
và y đơn vị của lao động.  
IV. Giá trị lớn nhất, bé nhất  
Cách tìm.  
1Tìm các điểm dừng (trong miền mở và trên biên)  
2So sánh giá trị của hàm số tại các điểm dừng  
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất  
a) z = x2y, x2 + y2 1  
b)z = x2 + y2 2x y, x 0, y 0, x + y 2  
c) z = sinx +siny + sin(x + y), 0 x, y  /2  
d) u = x + y + z, x2 + y2 z 1  
e) Tìm hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất nội tiếp trong ellipsoide  
f) Tìm điểm trên mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 mà tổng bình phương các khoảng  
cách từ điểm đó đến ba điểm M1(1 ; 2 ; 0), M2(2 ; 0 ; 1), M3(0 ; 1 ; 2) là bé nhất  
84  
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo  
thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  
x2 y2 z2  
a2 b2 c2  
g) Tìm ellipsoide  
1 đi qua (1 ; 2 ; 3) và có thể tích bé nhất  
b c  
(
)
a    
2 3  
x2 y2  
h) Tìm các điểm trênellip  
gần nhất, xa nhất tớiđường thẳng 3x y 9 =0  
1  
4
9
i)(K52) 1.  
, 0 x 2, 0 y 2  
(max z = 1, min z = 4)  
z xy 3 x y  
1
2. z = x2 + y2 + x + y, x + y + 2 = 0, x = 0, y = 0  
(max z = 2, min z =  
)
2
k)(K54)  
x2  
1. z x2 9y2 , trong miền đóng  
(max z = 9, min z = 9)  
(max z = 4, min z = 4)  
y2 1  
9
y2  
x2   
1  
2. z 4x2 y2, trong miền đóng  
4
l) Tìm các bán trục của Ellipse: 5x2 + 8xy + 5y2 = 9  
m)(K57)  
2
3
z cosx cosy cos x y , 0x,y   
Maxz , Minz 1  
1)  
(
)
2
3 3  
x
y
x y  
Max z   
, Minz 1  
)
z sin sin sin  
, 0 x, y  
2)  
(
2
2
2
2
n)(K58)  
1) Tìm điểm thuộc y2 2x sao cho nó gần điểm A(1,4) nhất.  
(
)
M(2,2)  
4x2 y2 4  
2) Tìm điểm thuộc ellipse  
sao cho nó xa điểm A(1,0) nhất.  
1 3  
M(- , 63) N(- ,-  
8 8 8 8  
1 3  
(
,
).  
63)  
o)(K61)  
z x2 y2 xy 7x 8y  
OAB,  
O(0;0),  
Tìm GTLN, GTBN của  
trong miền  
A(6,0), B(0;6).  
(
Maxz(0;0) 0;Minz(2;3)  19  
)
Thank you and Good bye!  
85  
pdf 3 trang Thùy Anh 26/04/2022 6460
Download
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Bài 15: Cực trị có điều kiện - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_1_bai_15_cuc_tri_co_dieu_kien_nguyen_xu.pdf