Bài giảng Phương pháp tính - Chương 1: Giải phương trình f(x)=0 - Ngô Thu Lương
Chöông I : Giaûi phöông trình f(x)=0
û
1)Ñònh nghóa:
Khoaûng [a , b] goïi laø moät
khoaûng caùch ly nghieäm neáu trong khoaûng ñoù
û ù
ä
phöông trình f (x) =0 chæ coù duy nhaát moät
ù
Ñònh lyù:
ù
á
Neáu
á
f (x) khaû vi lieân tuïc treân [a,b]
1) f '(x) giöõ daáu treân [a,b]
2) f (a) f (b) < 0
thì
[a,b] laø khoaûng caùch ly nghieäm .
4
ï
Ví duï :
ï
Phöông trình x − 4x −1= 0
f (1.5)=−1.94< 0
f (2)= 7 > 0
.
f '(x) > 0
Haøm ñôn ñieäu trong [1.5 , 2]
khoaûng caùch ly nghieäm : [1.5 , 2]
khoaûng caùch ly nghieäm thứ 2 : [−1 , 0]
(BTập)
2)Coâng thöùc sai soá toång quaùt :
â ù
á å ù
x
x
: nghieäm ñuùng cuûa f (x) =0
: nghieäm gaàn ñuùng.
gd
f (x )
gd
Coâng thöùc sai soá : x − x ≤
gd d
(1)
Kyù hieäu :
(1)
m =Min f '(x)
,
x
[a,b]
4
ï
Ví duï :
ï
Phöông trình x − 4x −1= 0 xeùt trong
khoaûng caùch ly nghieäm :
[1.5, 2]
giaû söû x =1.663 . Ñaùnh giaù sai soá tuyeät ñoái
gd
f (1.663) = 0.003629
m =9.5
0.003629
sai soá :
1.663−x* ≤
≈
0.0004
ù
â
â
3)Phöông phaùp chia ñoâi :
ù
ä
a)Noäi dung :
ä
Neáu [a,b] laø khoaûng caùch ly nghieäm thì
a + b a + b
[a, ] hoaëc [ , b] seõ laø khoaûng caùch
Laëp laïi quaù trình phaân chia naøy nhieàu laàn .
ù
ù
á
á
b) Ñaùnh giaù sai soá :
ù
ù
(b − a)
x − x ≤
n d
n+1
ä ù
c)Nhaän xeùt :
ä ù
Giaûi thuaät ñôn giaûn.
Toác ñoä hoäi tuï khaù chaäm .
ï
Ví duï 1:
ï
Phöông trình x − cos x = 0 vôùi
khoaûng caùch ly nghieäm [0, 1] , chia ñoâi tôùi
x
Keát quaû cho theo baûng sau
ù
phöông phaùp chia đôi
Sai soá
ù
laø
b − a 1
= = 0.3125
5
32
−x
ï
Ví duï 2 :
ï
Giaûi phöông trình vôùi
khoaûng caùch ly nghieäm [0,1] ñeán
x
0.5625
ù ë
2) Phöông phaùp laëp ñôn
ù ë
ù å
(phöông phaùp ñieåm baát ñoäng, phöông
ù å á ä
á ä
ù ù ï
phaùp aùnh xaï co )
ù ù ï
ä
a) Noäi dung :
ä
*) Ñöa phöông trình f (x) = 0 veà daïng
töông ñöông
x = ϕ(x)
Max
ϕ '(x) = q < 1 x [a,b]
ø ù
tuøy yù
laø moät giaù trò ban ñaàu ø ù [ a, b ]
*) Laáy
x
Xaây döïng daõy laëp : x =ϕ( x )
x =ϕ( x )
x
=ϕ( x )
õ ï
n höõu haïn
õ ï
Laáy
x = x
n gd
ù
ù
á
b) Ñaùnh giaù sai soá :
ù
ù
á
n
q x − x
1 0
1) x − x* ≤
n
1− q
ä
tieân nghieäm
( ñaùnh giaù
â
)
q x − x
n n−1
2) x − x* ≤
n
1− q
ä
ä
ä
haäu nghieäm
( ñaùnh giaù
ä
)
ä ù
c) Nhaän xeùt :
ä ù
â á
voâ soá
Coù â á caùch choïn haøm ϕ(x)
ø
haøm co
Haøm ϕ(x) coù tính chaát q <1 goïi laø
ø
ä á
heä soá co
laø ä á
q
q
caøng nhoû thì toác ñoä hoäi tuï caøng cao
q ≥1 Khoâng söû duïng ñöôïc
3
ï
Ví duï1 :
ï
Xeùt phöông trình x + x −1000=0
trong khoaûng caùch ly nghieäm [9,10]
3
a)
x + x −1000=0
3
x =1000 − x
3
2
ϕ '(x) =−3x
2
ϕ '(x) = 3x
> 1
q = Max ϕ'(x) = 300
Khoâng söû duïng ñöôïc
3
b)
x + x −1000=0
3
x =1000 − x
3
x = 1000 − x
3
ϕ(x)= 1000− x
−1
2
3
3 (1000− x)
1
ϕ'(x) =
2
3
3 (1000− x)
1
q = Max
2
3
3 (1000 − x)
x0=10.0
9.966554934
9.966667166
9.966666789
9.966666791
−12
Sai số hậu nghiệm x4
3
c)
x + x −1000=0
3
x =1000 − x
1000 − x
2
x =
1000 − x
x =
1000− x
ϕ(x) =
x
x = 9,966666791
Vôùi x =10 ta coù
vôùi soá
0
gd
böôùc laëp
ù
Phöông phaùp Newton
ù
ù á
( Phöông phaùp Tieáp tuyeán )
ù á
á
á
ä
a) Noäi dung :
ä
Ñöa f (x) = 0 veà daïng laëp
f (x)
.
= ϕ(x)
x = x−
f '(x)
f (x )
0
x = x −
1 0
f '(x )
f (x )
1
x = x −
2 1
f '(x )
ù
ù
á
á
b) Ñaùnh giaù sai soá :
ù
ù
Sai soá theo coâng thöùc sai soá toång quaùt
f (x )
gd
x − x * ≤
gd
(1)
ä ù
c)Nhaän xeùt :
ä ù
khoâng ñoåi daáu treân khoaûng caùch ly nghieäm .
Ñieåm
x
laø ñieåm Fourier neáu f (x ) cuøng daáu
0 0
vôùi f ''(x )
å
ñieåm Fourier
Choïn x=a, x =b neáu a , b laø
å
0
3
ï
Víduï:
ï
Phöông trình x + x−1000=0 vôùi khoaûng
caùch ly nghieäm [9, 10]
Ñieåm naøo laø ñieåm Fourier trong hai ñieåm 9 , 10
Vôùi
x
tìm ñöôïc , tính
x
.
Ñaùnh giaù sai soá cuûa
x
20 trang
28/04/2022
3420
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương 1: Giải phương trình f(x)=0 - Ngô Thu Lương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_1_giai_phuong_trinh_fx0_ng.pdf
