Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 1 - Bài 2: Các định nghĩa xác suất

§2 CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

2.1 Định nghĩa cổ điển

a/ ĐN 1. Giả sử một phép thử có n phép thử đồng khả năng, trong

đó có m phép thử thuận lợi cho A

→ P(A) = ^{푆ố 푘ế푡 푐ụ푐 푡ℎ푢ậ푛 푙ợꢀ 푐ℎ표 퐴}= ^푚.

(1)

푇ổ푛ꢁ 푠ố 푘ế푡 푐ụ푐

푛

* Ưu điểm: đơn giản và trực quan

* Nhược điểm: số kết cục hữu hạn và chúng đồng khả năng.

+ Thí dụ 1. Hộp bi có 3 bi đỏ và 5 trắng. lấy ngẫu nhiên ra 3 bi.

Tính XS:

a) trong 3 bi có đúng 1 trắng;

b) 3 bi cùng màu.

Giải:

a) n = 퐶₈³= 56, m = 퐶₃². 5 = 15 → XS = 15/56.

b) n = 56, m = 퐶₃³+ 퐶₅³= 9

→ XS = 9/56.

+ Thí dụ 2. Tính XS khi gieo 4 đồng tiền xuất hiện đúng 2 sấp.

Giải: n = 16 (= 2⁴), m = 퐶₄²= 6 → XS = 3/8.

b/ Tính chất (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(2) P(V) = 0; P(U) = 1;

(3) Nếu A, B xung khắc thì P(A+B) = P(A) + P(B);

̅

(4) P(퐴) = 1 – P(A).

+ Thí dụ 3. Một nhóm có 6 cặp nam nữ, trong đó có 3 cặp là vợ

chồng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người. Tính XS:

a) trong 3 người có ít nhất 1 nữ;

b) trong 3 người không có cặp vợ chồng nào.

Giải:

̅

a) Gọi A - trong 3 người có ít nhất 1 nữ → P(A) = 1 – P(퐴)

= 1 – 퐶₆³/ 퐶₁³₂= 1 – 1/11 = 5/11.

b) Gọi A - trong 3 người không có cặp vợ chồng nào

3

̅

P(A) = 1 – P(퐴) = 1 – 3.10/ 퐶₁₂= 1 – 3/22 = 19/22.

+ Thí dụ 4. Cậu bé có 6 bi đỏ và 4 trắng. Một hôm cậu thấy mất 1

bi (mà không biết màu). Tính XS để lấy ngẫu nhiên ra 1 bi thì đó là

bi đỏ.

Giải: n = 9.10; m = 6.5 +4.6 → XS = 0,6

(chú ý thông tin không đổi thì XS không đổi!).

Để khắc phục hạn chế của ĐN1 về sự hữu hạn kết cục, người

ta đưa ra định nghĩa hình học của xác suất: Giả sử tập vô hạn các

kết cục đồng khả năng của phép thử có thể biểu thị bởi một miền

hình học G, còn tập các kết cục thuận lợi cho A bởi một miền con S

nào đó, S ⊆ G. Khi đó

Độ đ표 푆

b/ ĐN 2.

P(A) =

.

(2)

Độ đ표 퐺

+ Thí dụ 5. Đường đây điện thoại ngầm nối tổng đài với một trạm

dài 1 km. Tính XS để dây bị đứt tại nơi cách tổng đài không quá

100 m.

Giải: Có thể coi nơi đứt dây là đồng khả năng ở một điểm bất kỳ

trên toàn chiều dài của dây. Từ đó theo (2)

P(A) = 100/1000 = 0,1

(chú ý sự kiện có XS = 0 vẫn có thể xảy ra!)

+ Thí dụ 6. (coi như bài tập) Hai người hẹn gặp nhau ở quán từ 8

giờ đến 9 giờ với quy ước ai đến trước sẽ đợi người đến sau 15

phút, sau đó bỏ đi. Tính XS hai người đó gặp được nhau, biết rằng

thời điểm đến quán của mỗi người là đồng khả năng trong khoảng

thời gian nói trên.

2.1 Định nghĩa thống kê (theo tần suất)

Điều kiện ĐN cổ điển của XS rất khó được đảm bảo, vì vậy tính

khả thi của nó rất hạn chế.

Người ta tiến hành loạt n phép thử cùng loại và nếu sự kiện A

nào đó xuất hiện trong m phép thử thì tỷ số m/n được gọi là tần

suất xuất hiện A. Trên cơ sở quan sát khi n đủ lớn người ta thấy

tần suất này rất ổn định, thay đổi ít và dao động xung quanh một

hằng số nào đó. Từ đó có thể cho rằng hằng số đó là một xấp xỉ tốt

cho XS khi số phép thử tăng cao. Nhưng do hằng số đó chưa biết,

nên trong thực tế người ta lấy ngay tần suất đó làm XS xuất hiện

sự kiện. Cách tiếp cận như vậy được gọi là định nghĩa thống kê của

XS (về mặt toán học có thể hiểu như là giới hạn của tần suất khi

số phép thử tăng vô hạn) và có tính thực tiễn cao.

Có thể tham khảo hai trường hợp cổ điển sau đây. Đầu tiên là

tần suất xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng tiền nhiều lần

Người thí nghiệm

Buýt-phông

Piếc-xơn

Số lần gieo

4040

Số lần sấp

2048

Tần suất

0,5080

0,5016

0,5005

12000

6019

Piếc-xơn

24000

12012

Một thí dụ khác khi xác định XS phân rã của một nguyên tử chất

phóng xạ Ra sau 100 năm là 0,04184 (độ chính xác tới 5 chữ số

sau dấu phảy), số lượng nguyên tử tham gia thí nghiệm rất lớn

(cỡ 10²³– 10²⁴).

2.3 Định nghĩa tiên đề

Xét không gian các sự kiện sơ cấp  và xác định hệ thống A các

tập con của , các phần tử của A được coi là các sự kiện ngẫu

nhiên. Yêu cầu A là đại số Bull

(i)

A chứa ;

Nếu A và B ∈ A, thì 퐴, 퐵, A+B, AB ∈ A.

̅

(ii)

Khi có thêm điều kiện

(iii)

Nếu A₁, A₂, …, A_n, … ∈ A, thì A₁+A₂+… +A_n+… và A₁A₂…

A_n… cũng ∈ A,

thì ta có một trường Borell hay 휎 − đại số.

Định nghĩa. Ta gọi xác suất trên (,A) là một hàm số xác định trên

A có giá trị trong [0, 1] và thoả mãn 3 tiên đề:

(T₁) P() = 1;

(T₂) P(A+B) = P(A) +P(B), A, B xung khắc;

(T₃) Nếu dãy {A_n} có tính chất A_j⇒A_i, ∀ i ≤ j và

A₁A₂… A_n… = V, thì P(A_n) → 0 khi n → ∞.

Tuy nhiên cách chọn XS theo định nghĩa trên không duy nhất!

Có thể thay thế tiên đề 2 và 3 bằng tiên đề công mở rộng

(T₊) Nếu dãy {A_n} có tính chất xung khắc từng đôi và

∞

∑

퐴 = _푛=1퐴_푛∈ A, thì

∞

∑

P(A) = P(A₁) + P(A₂) +...+ P(A_n) +… = _푛=1푃(퐴_푛).

• P(.) là độ đo không âm, trực chuẩn, cộng tính.

• Tổ hợp {, A, P} thường được gọi là không gian xác suất.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Barnes J. W. Statistical analysis for engineers and scientists.

McGraw – Hill, 2008.

2. Monfort A. Cours de statistique mathématique. Economica,

Paris, 1982.

3. Tống Đình Quỳ. Giáo trình xác suất thống kê. NXB Bách khoa

Hà Nội, 2018 (tái bản).

BÀI TẬP

1. Một lô hàng có 18 sản phẩm, trong đó có 12 sản phẩm loại A,

5 loại B và 1 loại C. Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tính XS

để trong 3 sản phẩm đó:

a) có 2 loại A và 1 loại B;

b) có ít nhất 1 sản phẩm loại A;

c) có cả 3 loại sản phẩm.

2. Một khách sạn có 5 phòng đơn, trong khi đó có 8 khách đến

thuê phòng (5 nam, 3 nữ). Chọn ngẫu nhiên 5 người, tính xác

suất để trong đó:

a) có 3 nam, 2 nữ;

b) cả 5 người cùng giới;

c) có ít nhất 1 nữ.

3. Một công ty cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người đến thi tuyển,

trong đó có 4 nữ và 2 nam (giả sử khả năng được tuyển của

mỗi người là như nhau).

a) Trong 4 nữ có một cô tên Hoa, tính xác suất để Hoa được

chọn.

b) Tính xác suất để có 2 nữ đươc chọn.

4. Đội A và đội B đều có 3 người cùng tham gia một cuộc thi

chạy, giả sử khả năng mỗi người là như nhau. Tính xác suất

để 3 người đội A về nhất, nhì, ba.

5. Trong tuần ở một thành phố có 7 tai nạn giao thông. Tính xác

suất để mỗi ngày trong tuần có đúng 1 tai nạn.

6. Ở một vùng có 40% thích xem bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 12

người. Tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem

bóng đá.

7. Trong ga có một đoàn tầu 4 toa. 4 hành khách lên tầu, mỗi

người chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất trong đó:

a) trong 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người;

b) 1 toa có ít nhất 2 người;

c) toa thứ nhất có đúng 3 người lên.

8. Chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số. Tính xác suất:

a) trong số của vé không có chữ số 1 và không có chữ số 5;

b) trong số vé có chữ số 5 và chữ số chẵn.

9. Xếp ngẫu nhiên 5 người ngồi quanh một chiếc bàn tròn 5

ghế.

a) Tính xác suất để 2 người định trước được ngồi cạnh nhau.

b) Tính như vậy cho trường hợp bàn dài.

10.

Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 chiếc phong bì

đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng

phong bì của nó.

11.

Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa

chén và giả sử ba người “khéo léo” như nhau. Trong một

tháng có 4 chén bị vỡ. Tính xác suất để:

a) A đánh vỡ 3 chén và B đánh vỡ 1 chén;

b) một trong 3 người đánh vỡ 3 chén;

c) một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén.

12.

suất:

Xếp ngẫu nhiên 8 quyển sách vào 2 ngăn kéo. Tính xác

a) ngăn kéo nào cũng có sách;

b) ngăn kéo thứ nhất có 2 quyển sách, còn ngăn thứ hai có 6

quyển.

Giáo trình Xác suất thống kê - Chương 1 - Bài 2: Các định nghĩa xác suất - Tống Đình Quỳ