Giáo trình Toán cao cấp A2 (Phần 3) - Nguyễn Đức Trung
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
NĂM HỌC: 2016 -2017
TRANG CHỦ:
1
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
LỜI NÓI ĐẦU
§TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP
TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2016 - 2017
Chúc mừng các bạn đã bƣớc vào một ngƣỡng cửa mới của cuộc đời. Việc đỗ
Đại học mở ra cho các em một trang mới với đầy cơ hội nhƣng không kém thách
thức. Thách thức không chỉ ở việc học xa nhà hoặc ở môi trƣờng mà cơ hội tiếp
xúc để hỏi đáp với Giảng viên rất hạn chế trên những giảng đƣờng lớn hàng trăm
Sinh viên mà ở khối lƣợng kiến thức đồ xộ.
Tại bậc học Đại học, một môn học đƣợc chia ra làm các phân môn (hay còn
gọi là học phần). Các học phần có tính độc lập tƣơng đối về nội dung kiến thức nên
đƣợc tổ chức học và đánh giá kết quả học tập độc lập hoàn.
Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào cuối §hoặc chuyên đề chứ không
theo bài (các buổi học). Các bài tập cũng đƣợc giải theo tính chủ động học tập của
Sinh viên. Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học ở bậc Đại học nên kết
quả học tập các môn học Đại cƣơng thƣờng thấp hơn những môn học chuyên
ngành ở năm thứ 3, thứ 4 (hoặc thứ 5).
Tuy nhiên, §trình giảng dạy Toán Cao Cấp tại Moon.vn vấn thiết kế bài tập
tại cuối các bài học lý thuyết (qua Video theo truyền thống ở Moon.vn) và cuối các
§(Phần luyện tập chuyên đề). Cũng nhằm để làm quen với cách học ở Đại học, một
số video bài tập đƣợc đƣa ra với mục đích hƣớng dẫn các em cách làm bài tập và
trình bầy ở bậc Đại học.
Thầy thiết kế §trình với lịch phát sóng sớm để các em có cơ hội tiếp cận sớm
với kiến và kỹ năng làm bài tập tốt. Hy vọng với sự chuẩn bị sớm và tốt, các em sẽ
thành đạt bởi theo kinh nghiệm: 95% thành công do việc chuẩn bị.
2
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Để các bạn Sinh viên tiện theo dõi §trình học, Thầy thiết kế §trình đào tạo
đƣợc đánh mã số chi tiết theo các phân đoạn đơn vị kiến thức tuần tự để các em dễ
dàng theo dõi. Các em có thể vào đƣờng link sau để biết rõ về toàn bộ §trình:
Tại bậc Phổ thông, các em học một §trình Toán duy nhất còn đối với Toán Cao
Cấp thì sự khác biệt rất lớn đƣợc thể hiện ở từng Trƣờng, thâm chí từng khối
ngành học trong Trƣờng.
Đối với các khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sƣ phạm, KHTN), Công nghệ,
§trình Toán Cao Cấp đƣợc học là Toán A gồm có 4 học phần riêng biệt với
o Toán A1: Đại số tuyến tính
o Toán A2: Giải tích 1
o Toán A3: Giải tích 2
o Toán A4: Giải tích 3
Đối với các khối ngành Nông – Lâm – Y – Dƣợc, §trình Toán Cao Cấp đƣợc
học là Toán B gồm có 2 học phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán
o Toán B1: Đại số tuyến tính
o Toán B2: Giải tích
Đối với các khối ngành Kinh tế, Thƣơng mại, Tài chính, Ngân hàng, Luật
hoặc Quản trị kinh doan ... §trình Toán Cao Cấp đƣợc học là Toán C gồm có
2 học phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán C
o Toán C1: Đại số tuyến tính
o Toán C2: Giải tích
Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đã đƣợc bố trí với các nội dung chi tiết cho
từng khối ngành thông qua hệ thống video bài giảng cùng giáo trình đầy đủ cũng
nhƣ các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài tập cho cả Toán
A, Toán B và Toán C. Đi kèm lý thuyết cơ bản là một kho dữ liệu khổng bài tập
đƣợc tổng hợp từ các Đề thi giữa và cuối Học kỳ các năm gần đây của các khối
ngành:
Toán A1, A2, A3 và A4: hơn 3500 bài tập
3
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Toán B1 và B2: gần 2000 bài tập
Toán C1 và C2: gần 2000 bài tập
Các bài tập trọng yếu đƣợc quay Video đi kèm lời giải giúp các em ôn tập dễ
dàng, tiếp cận phƣơng pháp giải nhanh chóng và chính xác.
Thầy và đội ngũ các Supper Mods (cũng đều là các Giảng viên dạy Đại học) rất
vui đƣợc trao đổi trên diễn đàn Toán cao cấp tại Moon.VN trên Facebook với
Các em cũng có thể thắc trực tiếp với thầy tại trang Facebook cá nhân với
Chúc các em nhanh chóng thu lƣợm đƣợc những kiến thức, hoàn thiện kỹ năng
và vận dụng sáng tạo !
4
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
MỤC LỤC
1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 1 .........................................................8
2. Phƣơng trình phân ly..........................................................................................9
3. Phƣơng trình thuần nhất...................................................................................10
4. Phƣơng trình khuyết biến.................................................................................10
5. Phƣơng trình tuyến tính. ..................................................................................12
6. Phƣơng trình Bernoulli. ...................................................................................14
7. Phƣơng trình vi phân toàn phần.......................................................................15
1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 2. ......................................................17
2. Phƣơng trình khuyết.........................................................................................18
3. Phƣơng trình tuyến tính thuần nhất..................................................................19
4. Phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất. .....................................................21
1. Đại cƣơng.........................................................................................................30
2. Cách giải hệ phƣơng trình vi phân...................................................................30
PHẦN II. LÝ THUYẾT CHUỖI.............................................................................32
1. Chuỗi số ...........................................................................................................32
2. Tính chất ..........................................................................................................33
§2. CHUỖI SỐ DƢƠNG .........................................................................................34
1. Định nghĩa ......................................................................................................34
5
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
2. Các định lý so sánh ..........................................................................................34
3. Các tiêu chuẩn hội tụ........................................................................................35
1. Chuỗi với số hạng có dấu bất kỳ......................................................................39
2. Chuỗi đan dấu ..................................................................................................39
3. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối ................................................................40
§4. CHUỖI HÀM SỐ...............................................................................................42
1. Chuỗi hàm số hội tụ.........................................................................................42
2. Chuỗi hàm số hội tụ đều ..................................................................................42
3. Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều ............................................................43
§5. CHUỖI LŨY THỪA .........................................................................................45
1. Định nghĩa........................................................................................................45
2. Các tính chất của chuỗi lũy thừa......................................................................47
3. Khai triển thành chuỗi lũy thừa .......................................................................48
4. Khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản ..........................................................49
§6. CHUỖI FOURIER.............................................................................................52
1. Chuỗi lƣợng giác chuỗi fourier........................................................................52
3. Khai triển hàm chẵn lẻ.....................................................................................54
1. Phép biến đổi Laplace......................................................................................57
2. Định nghĩa........................................................................................................57
3. Tính chất của phép biến đổi Laplace ...............................................................58
4. Phép biến đổi Laplace ngƣợc...........................................................................60
1. Phép biến đổi của đạo hàm ..............................................................................64
6
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
3. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính.................................................................66
4. Những kỹ thuật biến đổi bổ sung.....................................................................67
1. Mở đầu .............................................................................................................69
2. Quy tắc phân thức đơn giản.............................................................................69
3. Sự cộng hƣởng và nhân tử tích lặp bậc 2.........................................................70
1. Mở đầu .............................................................................................................72
2. Tích chập của hai hàm .....................................................................................72
3. Vi phân của phép biến đổi ...............................................................................73
4. Tích phân của phép biến đổi............................................................................75
5. Phép biến đổi của hàm liên tục từng khúc.......................................................75
7
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
PHẦN I. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phƣơng trình vi phân là phƣơng trình có dạng F(x, y, y', y", ... , y(n)) = 0,
trong đó x là biến độc lập, y = y(x) là hàm phải tìm, y', ... , y(n) là các đạo hàm của
nó.
Cấp cao nhất của đạo hàm có trong phƣơng trình, gọi là cấp của phƣơng
trình. Giáo trình này chỉ xét các phƣơng trình cấp 1 và 2.
Nghiệm của phƣơng trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phƣơng trình đã cho.
Nghiệm của phƣơng trình có thể tìm đƣợc dƣới dạng tƣờng minh y = y(x),
hoặc dạng tham số x = x(t); y = y(t); hoặc dạng ẩn (x,y) = 0.
§1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I.
1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 1
Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân cấp 1 là phƣơng trình dạng F(x,y,y') = 0. Nếu
từ phƣơng trình đã cho giải đƣợc theo y' thì phƣơng trình có dạng y' = f(x,y).
Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình y' = f(x,y) thỏa
mãn điều kiện y(x0) = y0, trong đó (x0, y0) là các giá trị cho trƣớc. Bài toán Cauchy
đƣợc viết
y' f x,y
1
y0
y
2
xx0
Điều kiện (2) gọi là điều kiện ban đầu, hay điều kiện Cauchy.
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Xét bài toán Cauchy (1), (2). Giả sử
f(x,y) liên tục trên D , và x ,y D. Khi đó, trong một lân cận nào đó của
0
0
x0, bài toán Cauchy (1), (2) luôn có nghiệm. Nếu có thêm điều kiện f ' x,y liên
y
tục trên D, thì nghiệm là duy nhất.
8
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Nghiệm tổng quát. Ta gọi ghiệm tổng quát của phƣơng trình y' = f(x,y) là hàm
số y (x,C) , trong đó C là hằng số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Hàm số y (x,C) thỏa mãn phƣơng trình đã cho với mọi giá trị của C.
b)
, với D là miền mà điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm
x ,y D
0
0
đƣợc thỏa mãn, luôn tìm đƣợc giá trị của hằng số C C0 , sao cho nghiệm
y (x,C0) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2).
Nghiệm riêng, tích phân riêng. Nếu trong công thức nghiệm tổng quát hoặc tích
phân tổng quát, ta cho C giá trị cụ thể C0, thì nghiệm nhận đƣợc gọi là nghiệm
riêng hoặc tích phân riêng.
Nghiệm kỳ dị. Có thể tồn tại các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát.
Những nghiệm nhƣ vậy gọi là nghiệm kỳ dị.
2. Phƣơng trình phân ly.
Là phƣơng trình dạng f(x)dx + g(y)dy = 0.
Cách giải: Tích phân hai vế phƣơng trình, đƣợc
f(x)dx g(y)dy C
.
Gọi F(x) và G(y) là các nguyên hàm tƣơng ứng, thì tích phân tổng quát của
phƣơng
trình là F(x) + G(y) =C.
Ví dụ: Giải phƣơng trình ex 1 ydx y 1 dy 0
.
1
Giải: Nếu y 0, chia hai vế cho y, đƣợc ex 1 dx 1 dy 0 Tích phân
y
x
hai vế,đƣợc
. Ngoài ra, y(x) 0 cũng là nghiệm. Nghiệm này
e x y ln y C
không nằm trong họ nghiệm tổng quát, nên là nghiệm kỳ dị .
9
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
3. Phƣơng trình thuần nhất.
y
Là phƣơng trình có dạng
.
y' f
x
Cách giải: Đặt y = tx. Đạo hàm theo x, đƣợc y' = xt' + t. Thế vào phƣơng trình
đã cho,đƣợc
. Nếu
, chia hai vế cho x(f(t) - t) đƣợc
xt' f t t
f t t 0
y
x
dt
dx
dt
f t t dxx
ln x t lnC x Ce
.
f t t
x
t
Nếu f(t) t, thì y' = y/x. Nghiệm tổng quát là y = Cx.
Nếu tồn tại t0 sao cho f(t0) = t0 thì thử trực tiếp, thấy y = t0x là nghiệm riêng.
x y
Ví dụ: Giải phƣơng trình y'
.
x y
Giải: Chia tử và mẫu cho x, dễ thấy đây là phƣơng trình thuần nhất. Đặt y = tx,
đƣợc
1 t
1 t
1 t
1 t
1 t2
1 t
dx 1 t
x
xt' t
xt'
t
dt.
1 t2
1
Tích phận hai vế, đƣợc ln x arctant ln(1 t2) + lnC. Vậy
2
y
x
arctan
x2 y2 Ce
.
4. Phƣơng trình khuyết biến.
a) Phƣơng trình khuyết y. Dạng phƣơng trình là F(x,y') = 0.
f x dx + C.
+ Nếu giải đƣợc y' = f(x) thì nghiệm tổng quát là y =
10
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
+
Nếu giải đƣợc
x
=
g(y') thì đặt y'
=
t
đƣợc
dy tdx tg' t dt y tg' t dt
Ngoài ra x = g(t). Vậy nghiệm tổng quát dạng tham số là x = g(t);
y tg' t dt
Ví dụ: Giải phƣơng trình x = y'2 + y' + 1.
Giải: Đặt y' = t, đƣợc x = t2 + t + 1. Từ đó dy = tdx = t(2t + 1)dt,
2t3
3
t
2t3
3
t
. Nghiệm của phƣơng trình là
; x = t2 + t + 1.
y
C
y
C
2
2
+ Nếu giải đƣợc x, y' dạng tham số x = f(t) ; y' = g(t) thì dy = f(t)dx = g(t)f
'(t)dt.
x f t
g t f ' t dt+C. Vậy nghiệm tổng quát là
Do đó y =
y g t f ' t dt C
Ví dụ: x2 + y'2 = 1.
2
Giải: đặt x = cost ; y' = sint. Từ đó
.
dy sintdx sin tdt 1 cos2t dt / 2
t sin2t
t sin2t
Vậy y
C . Đáp số { x = cost ; y
C }.
4
4
b) Phƣơng trình khuyết x. Dạng phƣơng trình là F(y,y') = 0.
dy
dy
dx x
C
.
+ Nếu giải đƣợc y' = f(y) thì
f y
ln y
+ Nếu giải đƣợc y = g(y') thì đặt y' = t. Do dy = tdx nên g'(t)dt = tdx. Vậy
g' t
g' t dt
dx
C. Vậy nghiệm tổng quát là
dt x
t
t
11
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
g' t dt
C
x
t
y g t
2
Ví dụ: Giải phƣơng trình y y' ey'
.
Giải: Đặt y' = t, nhận đƣợc
y t2et. Có dy y'dx 2t t2 etdt tdx dx 2 t etdt x t 1 et
t
2 t
. Vậy nghiệm tổng quát là
.
x t 1 e C; y t e
+ Nếu giải đƣợc y, y' dạng tham số y = f(t) ; y' = g(t) thì do dy = y'dx,
f ' t dt
nên f '(t)dt = g(t)dx. Do đó
dt C Vậy nghiệm tổng quát là
x
g t
y f t
f ' t dt
x
C
g t
2
2
Ví dụ:
.
y y' 1
Giải: Từ phƣơng trình đã cho, đƣợc y cost ; y sint . Do dy = y'dx
nên costdt = costdx, dt = dx, x = t + C. Đáp số y sint sin(x C)
.
5. Phƣơng trình tuyến tính.
Là phƣơng trình có dạng y' + p(x)y = f(x).
Nếu f(x)
0 thì phƣơng trình trên đƣợc gọi là phƣơng trình thuần nhất
a) Giải phƣơng trình thuần nhất y' + p(x)y = 0.
Nếu y 0, chia hai vế cho y, phƣơng trình trở thành phân ly biến
12
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
dy
y
p x dx
. Trƣờng hợp y = 0 cũng là
p x dx, ln y p x dx ; y Ce
nghiệm
và là nghiệm riêng khi C = 0
b) Giải phƣơng trình không thuần nhất y' + p(x)y = f(x).
p x dx
Chúng ta tìm nghiệm dƣới dạng y C x e
, trong đó C(x) là hàm số cần
tìm.
Tính đạo hàm từ biểu thức của y rồi thế vào phƣơng trình đã cho, đƣợc
p x dx
p x dx
p x dx
C' x e
p x C x e
p x C x e
f x
x
p x dx
p x dx
'
C x f x e
dx
; C x f x e
x
p x dx
p x dx
Vậy nghiệm tổng quát là y f x e
dx K e
.
Phƣơng pháp tìm nghiệm nhƣ trên gọi là phƣơng pháp biến thiên hằng số. Nếu
đã biết
một nghiệm riêng thì ta dễ dàng tìm đƣợc nghiệm tổng quát nhờ định lý sau:
Định lý. Gọi Y(x) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất y' + p(x)y =
0
và gọi y*(x) là nghiệm riêng của phƣơng trình không thuần y' + p(x)y = f(x),
thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất là y = Y(x) + y*(x).
y
Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình y' x2, y(1) = 1.
x
13
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Giải:
Theo
công
thức
x3
nghiệm
tổng
quát,
đƣợc
dx
dx
x
2
x
y e
Kx
.
K x e
2
Khi x = 1, thay vào nghiệm tổng quát, đƣợc K = 1/2. Vậy nghiệm riêng cần tìm là
y = x(1 + x2)/2 .
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình ey xey 1 y' 0
.
Giải: Coi x là hàm của y, phƣơng trình đã cho viết thành eyx' + (xey - 1) = 0, hay
dy
dy
x' + x = e-y. Vậy nghiệm tổng quát là x e
K y
y
y
K e e dy e
6. Phƣơng trình Bernoulli.
Là phƣơng trình có dạng
(với 1).
y p(x)y y q(x)
-
1-
1
Cách giải: Chia hai vế cho , đƣợc
. Đặt
,
y
y y' p(x)y q(x)
z y
đƣợc
. Phƣơng trình trở thành z (1)z (1)q(x)
.
z (1 )y y
Đây là phƣơng trình tuyến tính đã biết cách giải.
y
Ví dụ: y' x2y4
.
x
y3
x
Giải: Chia hai vế cho y4 đƣợc y4y'
x2 . Đặt z = y-3, đƣợc z' = -3y-4y'.
3z
Phƣơng trình trở thành y4y' 3x2. Nghiệm tổng quát là
x
3dx
3dx
1
2
3
3
x
x
z e
x K 3ln x , Thay z y , thì y
K 3x e
x.3 K ln x
14
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
7. Phƣơng trình vi phân toàn phần.
Là phƣơng trình dạng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
trong đó P, Q liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trên miên D nào đó.
'
y
'
y
Ngoài ra
.
P Q , x,y D
Cách giải: Với điểu kiện đã cho, vế trái của phƣơng trình là vi phân toàn phần
của hàm u(x,y) xác định bởi một trong hai công thức sau
y
X
u x,y P x ,y dx Q x,y dy
hoặc
0
X0
y0
y
X
u x,y P x,y dx Q x,y dy
0
X0
y0
Trong đó (x0, y0) là điểm bất kỳ trong miền D. Khi đã có hàm u(x,y) nhƣ trên
thì nghiệm tổng quát là u(x,y) = C.
Ví dụ: Giải phƣơng trình (4xy2 + y)dx + (4x2y + x)dy = 0.
Giải: Dễ kiểm tra điều kiện để vế phải là vi phân toàn phần. vậy tích phân tổng
quát của phƣơng trình là
1
1
0dx 4x2y x dy C 2x2y2 xy C
.
0
0
Nhận xét: trong trƣờng hợp P' Q' , x,y D mà tồn tại hàm (x,y)để
y
y
phƣơng trình
là phƣơng trình vi phân toàn
(x,y)P x,y dx Q x,y dy 0
phần.Khi đó hàm
(x,y) đƣợc gọi là thừa số tích phân.Nói chung không có phƣơng pháp
chung để tìm (x,y)khi nó phụ thuộc vào cả hai biến x,y.
Đặc biệt khi (x)thì ta có
15
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
Py Qx
P
y
d
dx
Q d
P Q Q
y x
x
Q
Py Qx
d
Tƣơng tự khi (y)thì ta cũng tính đƣợc
qua đó ta tìm đƣợc
P
thừa số tích phân tƣơng ứng,từ đó có đƣợc phƣơng trình vi phân toàn phần và tìm
đƣợc nghiệm tƣơng ứng.
16
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
§2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI
1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 2.
Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân cấp 2 là phƣơng trình dạng F(x,y,y',y'') = 0.
Nếu giải đƣợc phƣơng trình trên theo y' thì nó có dạng y'' = f(x,y,y').
Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình y' = f(x,y,y') thỏa
mãn điều kiện y(x0) = y0, y'(x0) = y0' , trong đó x0, y0 ,y0' là các giá trị cho trƣớc.
Bài toán Cauchy đƣợc viết
y' f x,y,y'
3
y
y0 ; y'
y'0
xx0
4
xx0
Điều kiện (4) gọi là điều kiện ban đầu, hay điều kiện Cauchy
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Xét bài toán Cauchy (3, 4). Giả sử các
hàm số
f x,y,y' f x,y,y'
f x,y,y' ,
,
liên tục trên miền V
.
y
y'
Khi đó, với x y ,y' V ,thì trong một lân cận nào đó của điểm x0, tồn tại
0
0 0
nghiệm
duy nhất y = y(x) của phƣơng trình (3) thỏa mãn điều kiện ban đầu (4).
Nghiệm tổng quát. Ta gọi nghiệm tổng quát của phƣơng trình y' = f(x,y,y') là
hàm số
y (x,C1,C2), trong đó C1,C2 là hằng số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Hàm số y (x,C1,C2) thỏa mãn phƣơng trình đã cho với mọi C1, C2.
b) x ,y ,y' D, với D là miền mà điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm
0
0
0
đƣợc
17
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
thỏa mãn, luôn tìm đƣợc giá trị của các hằng số C1, C2 sao cho nghiệm
y (x,C1,C2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (4).
Nghiệm riêng, tích phân riêng. Nếu trong công thức nghiệm tổng quát ta cho
C1, C2 các
giá trị cụ thể thì nghiệm nhận đƣợc gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm kỳ dị. Có thể tồn tại các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng
quát.
Những nghiệm nhƣ vậy gọi là nghiệm kỳ dị.
2. Phƣơng trình khuyết.
a) Phƣơng trình khuyết y, y'. Dạng phƣơng trình F(x,y'') = 0.
Đặt y' = t, đƣợc F(x,t') = 0. Đây là phƣơng trình cấp 1 khuyết biến t đã biết cách
giải.
Nếu nghiệm của phƣơng trình này là t = f(x,C) thì nghiệm phƣơng trình ban
đầu là
y = T(x,C) + D, trong đó T(x) là nguyên hàm của f(x).
Ví dụ: Giải phƣơng trình y'' = x2 + xex + 1.
Giải:
x3
x4 x2
y' x2 xex 1 dx xex ex x C y
xex Cx D
3
12
2
b) Phƣơng trình khuyết y. Dạng phƣơng trình là F(x,y',y'') = 0.
Đặt y' = t, đƣợc F(x,t,t') = 0. Đó là phƣơng trình cấp 1 đối với t.
Ví dụ: Giải phƣơng trình y'' 1 x2 2xy' ; y x0 1, y' x0 3
.
18
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
t'
t
2x
1+x2
C
2xdx
1+x2
Đặt t = y', đƣợc t'(1 + x2) = 2xt
ln t
ln 1 x2 lnC
t C 1 x2 y' C 1 x2 y x3 Cx D
3
Thay điều kiện đầu đƣợc
Nên y = x3 + 3x +1.
y x0 D 1; y' x0 C 3.
c) Phƣơng trình khuyết x. Dạng phƣơng trình là F(y,y',y'')= 0.
Đặt y' = t, đƣợc y'' t'y.y'x t t'y. Thế vào phƣơng trình, đƣợc F(y, t, tt'y ) = 0.
Đây là phƣơng trình cấp 1 đối với t(y).
Ví dụ: Giải phƣơng trình 2yy'' = y'2 +1.
2
Đặt y' = t, đƣợc
. Thế vào phƣơng trình đã cho, đƣợc
;
y t.ty
2yt ty t 1
2tdt dy
ln t2 1 ln y lnC y C t2 1
.
t2 1
y
Mặt khác, do y' = t, nên dy = tdx. Thế y từ kết quả trên vào đây,
đƣợc C2tdt tdx x 2Ct D
.
Đáp số y = C(t2 + 1) ; x = 2Ct + D (dễ dàng viết dàng tƣờng minh).
3. Phƣơng trình tuyến tính thuần nhất.
Đó là phƣơng trình dạng y'' + p(x)y' + q(x)y = 0.
a) Cấu trúc nghiệm tổng quát.
(5)
Định lý. Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phƣơng trình thuần nhất (5),
thì y x Cy x Dy x cũng là nghiệm của phƣơng trình này.
1
2
Nếu có thêm điều kiện hai nghiệm riêng y1(x) và y2(x) độc lập tuyến tính thì
nghiệm
y = C y1(x) + D y2(x) là nghiệm tổng quát của (5).
19
TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH 3 (NĂM HỌC 2016 -2017)
GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG
(Hai hàm số y1(x), y2(x) đƣợc gọi là độc lập tuyến tính nếu phân thức
y1(x)/y2(x)
không đồng nhất bằng hằng số)
Chứng minh: Dễ kiểm tra rằng nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm của (5) thì y(x)
cũng là nghiệm của (5). Ta sẽ chứng minh y(x) là nghiệm tổng quát. Xét điều kiện
y Cy x Dy x
1 2
0
0
0
y'0
. Khi đó
đầu bất kỳ
y xx y0 ; y'
xx0
y' Cy' x Dy' x
1 2
0
0
0
0
Đây là hệ phƣơng trình đại số tuyến tính với định thức của hệ khác 0(do giải
thiết về tính độc lập tuyến tính của y1 và y2). Vậy, hệ luôn có nghiệm, tức là luôn
tìm đƣợc các hằng số C, D để nghiệm y thỏa mãn điều kiện ban đầu. ĐFCM.
Định lý trên cho thấy, để tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất, chỉ
việc tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là đƣợc. Ngƣời ta chƣa có cách chung
để tìm hai nghiệm này. Tuy nhiên, nếu đã biết một nghiệm riêng thì có thể tìm
đƣợc nghiệm riêng thứ hai bằng phƣơng pháp dƣới đây.
b) Phƣơng pháp tìm nghiêm riêng thứ hai.
Bổ đề . Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm riêng của phƣơng trình (5) thì định thức
y x y x
y' x y' x
1 2
1
2
-p x dx
Wronsky W=
thỏa mãn hệ thức W Ce
.
Chứng minh. Vì y1(x), y2(x) là hai nghiệm của phƣơng trình (5), nên
y p(x)y q(x)y 0
1
1
1
y p(x)y2 q(x)y2 0
2
Nhân hệ thức đầu với -y2, sau với y1, rồi cộng lại, đƣợc
1 2
y y y y p x y y y y 0Mà
2 1
2 1
1 2
'
1 2
.
W y y y y , W y y y y y y y y y y y y
2 1
2 1
2 1
1 2
1 2
1 2
2 1
Thế vào kết quả trên, đƣợc
20
Tải về để xem bản đầy đủ
78 trang
18240
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp A2 (Phần 3) - Nguyễn Đức Trung", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_cao_cap_a2_phan_3_nguyen_duc_trung.pdf
